高考数学专题突破-导数与积分之导数与“恒成立”问题.doc

高考数学专题突破导数与积分导数与“恒成立”问题（学生版，后附教师版）【知识梳理】恒成立问题是高考数学中的热点问题，此类问题往往融函数、导数、不等式等知识于一体，多以函数知识为载体，利用导数为工具研究函数的性质（单调性、极值、最值等），综合性较强，涉及多类数学思想，对于培养我们分析问题、解决问题的能力，训练数学思维有很大的益处函数在给定区间上的有关结论恒成立问题，其表现形式通常有：在给定区间上，某关系式恒成立；某函数的定义域为全体实数；某不等式的解为一切实数；某表达式的值恒大于 【基础考点突破】考点1分离变量法解决恒成立问题【例1 】当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是_考点2 构造函数解决恒成立问题【例2】 已知函数，其中（1）若对任意实数，都有，求的取值范围；（2）若对任意实数，都有，求的取值范围【归纳总结】本题2个问题都是恒成立问题，题目貌似相同 仔细分析，可发现它们实则不一样第（1）问中，若对任意实数，都有，此时的，能同时使取得最大值和取得最小值第（2）问中，若对任意实数，都有 此时的，不是同时使取得最大值和取得最小值的 因此，只有分别求出和，才能求解变式训练1（2013年高考新课标）设函数，曲线和曲线都过点，且在点处有相同的切线（1）求、的值；（2）若时，恒成立，求的取值范围变式训练2（2014年新课标）设函数，曲线在点处的切线为 （1）求； （2）证明：考点3利用导数证明不等式恒成立问题：不等式恒成立问题是中学数学中常见的问题之一，解答这类问题常常有如下3种常用的技巧和思路：利用判别式；借用重要结论“不等式恒成立”和“不等式恒成立”；利用图形辅助求解【例3】已知函数，当时，求证【基础练习巩固】1（2016年北京模拟）设函数，若对任意的，都有成立，则实数的值为 2.【2015高考福建改编】已知函数，()证明：当；()证明：当时，存在,使得对3【2016高考山东理数】已知（1）讨论的单调性；（2）当时，证明对于任意的成立高考数学专题突破导数与积分导数与“恒成立”问题（教师版）【知识梳理】恒成立问题是高考数学中的热点问题，此类问题往往融函数、导数、不等式等知识于一体，多以函数知识为载体，利用导数为工具研究函数的性质（单调性、极值、最值等），综合性较强，涉及多类数学思想，对于培养我们分析问题、解决问题的能力，训练数学思维有很大的益处函数在给定区间上的有关结论恒成立问题，其表现形式通常有：在给定区间上，某关系式恒成立；某函数的定义域为全体实数；某不等式的解为一切实数；某表达式的值恒大于 【基础考点突破】考点1分离变量法解决恒成立问题【例1 】当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是_分析：讨论的取值情况，并分离字母，利用基本不等式恒成立，求解的取值范围解析：当时，原不等式变为：，显然恒成立，此时；当时， 设，则，从而在上单调递增，此时，从而当时， ，由上述易知：当时，；当时， 从而在上单调递减，在上单调递增当时，有极小值，也为最小值 故：，从而综上所述：的取值范围为考点2 构造函数解决恒成立问题【例2】 已知函数，其中（1）若对任意实数，都有，求的取值范围；（2）若对任意实数，都有，求的取值范围解：（1）先求在上的最小值 易求，令，解得： 在上，当变化时，与的变化情况如下表所示易知：，从而，即：所求的取值范围为（2）对任意实数，都有对任意实数，都有先求的最大值，再求的最小值，令，可得：或比较的大小，可得：代入，得：，解得：，即所求的取值范围为【归纳总结】本题2个问题都是恒成立问题，题目貌似相同 仔细分析，可发现它们实则不一样第（1）问中，若对任意实数，都有此时的，能同时使取得最大值和取得最小值第（2）问中，若对任意实数，都有 此时的，不是同时使取得最大值和取得最小值的 因此，只有分别求出和，才能求解变式训练1（2013年高考新课标）设函数，曲线和曲线都过点，且在点处有相同的切线（1）求、的值；（2）若时，恒成立，求的取值范围解析：（1），（2）由（1）知，构造函数：，则由题意可得，即令，得，（）若，则，从而当时，；当时，即在上单调递减，在上单调递增，故在上的最小值为故当时，即恒成立（）若，则当时，即在上单调递增而，故当时，即恒成立综上所述，的取值范围是变式训练2（2014年新课标卷理科21题）设函数，曲线在点处的切线为 （1）求； （2）证明：解 （1）（过程略）（）由（）知，从而，等价于 记，因为，所以，当时，；当时，故在内单调递减，在内单调递增，从而在内的最小值为 又因为，所以，当时，；当时，故在内单调递增，在内单调递减，从而在内的最大值为 综上：当时，即，即考点3利用导数证明不等式恒成立问题：不等式恒成立问题是中学数学中常见的问题之一，解答这类问题常常有如下3种常用的技巧和思路：利用判别式；借用重要结论“不等式恒成立”和“不等式恒成立”；利用图形辅助求解【例3】已知函数，当时，求证解：要证，即证，令，则，当时，可得在上为增函数，故要证，也就是证，即证，也就是证，令，则，当时，可得在上为增函数，故综上可得：【基础练习巩固】1（2016年北京模拟）设函数，若对任意的，都有成立，则实数的值为 解析：由，得，构造函数（1）当时，原不等式恒成立，可以取任意实数（2）当时，可得恒成立，即令，易求得三次函数在上的最大值为，所以综上可得：评析：在参数分离的过程中，因的范围既有正又有负，因此在参数分离过程中不等号的方向发生了改变，需要注意另外在具体参数分离的过程中，如果不能实现参数的单独分离，可考虑整体分离2.【2015高考福建改编】已知函数，()证明：当；()证明：当时，存在,使得对解析：解法一：(1)令，则有当 ，所以在上单调递减；故当时，即当时， (2)令，则有.当，所以在上单调递增，.故对任意正实数，均满足题意.当时，令，得.取，对任意，恒有，所以在上单调递增，即.综上，当时，总存在，使得对任意，恒有.3【2016高考山东理数】已知（1）讨论的单调性；（2）当时，证明对于任意的成立解析：（）的定义域为，.当，时，单调递增；时，单调递减.当，.（1），当或时，单调递增；当时，单调递减；（2）时，在内，单调递增；（3）时，当或时，单调递增；当时，单调递减综上所述，当时，函数在内单调递增，在内单调递减；当时，在内单调递增，在内单调递减，在