高三数学一轮复习精品课件：函数与方程.ppt

第9课时函数与方程 1 函数的零点 1 对于函数y f x 我们把使f x 0的实数x叫做函数y f x 的 2 方程f x 0有解 函数y f x 的图象 函数y f x 有零点 基础知识梳理 零点 与x轴有交点 基础知识梳理 思考 1 所有的函数都有零点吗 思考 提示 并非任意函数都有零点 只有f x 0有根的函数y f x 才有零点 3 如果函数y f x 在区间 a b 上的图象是连续不断的一条曲线 并且有 那么函数y f x 在区间内有零点 即存在c a b 使得 这个也就是方程f x 0的根 基础知识梳理 f a f b 0 a b f c 0 c 基础知识梳理 思考 2 在上面的条件下 a b 内的零点有几个 思考 提示 在上面的条件下 a b 内的零点至少有一个c 还可能有其他零点 个数不确定 2 二分法 1 二分法的定义对于在区间 a b 上连续不断且的函数y f x 通过不断地把函数f x 的零点所在的区间 使区间的两个端点逐步逼近零点 进而得到零点近似值的方法叫做二分法 基础知识梳理 f a f b 0 一分为二 基础知识梳理 2 用二分法求函数f x 零点近似值的步骤第一步 确定区间 a b 验证 给定精确度 第二步 求区间 a b 的中点x1 f a f b 0 第三步 计算 若 则x1就是函数的零点 若 则令b x1 此时零点x0 a x1 若 则令a x1 此时零点x0 x1 b 基础知识梳理 f x1 0 f a f x1 0 f x1 f b 0 f x1 第四步 判断是否达到精确度 即若 a b 则得到零点近似值a 或b 否则重重复第二 三 四步 基础知识梳理 三基能力强化 1 教材习题改编题 函数图象与x轴均有交点 但不宜用二分法求交点横坐标的是 答案 b 三基能力强化 答案 b 3 函数f x x3 2x2 x的零点是 a 0b 1c 0和1d 0 0 和 1 0 答案 c 三基能力强化 4 若函数f x 2x2 ax 3有一个零点是1 则f 1 答案 10 三基能力强化 5 2009年高考山东卷 若函数f x ax x a a 0且a 1 有两个零点 则实数a的取值范围是 答案 a 1 三基能力强化 函数零点个数的判定有下列几种方法 1 直接求零点 令f x 0 如果能求出解 则有几个解就有几个零点 课堂互动讲练 2 零点存在性定理 利用该定理不仅要求函数在 a b 上是连续的曲线 且f a f b 0 还必须结合函数的图象和性质 如单调性 才能确定函数有多少个零点 课堂互动讲练 3 画两个函数图象 看其交点的个数有几个 其中交点的横坐标有几个不同的值 就有几个不同的零点 课堂互动讲练 课堂互动讲练 判断下列函数在给定区间上是否存在零点 1 f x x2 3x 18 x 1 8 2 f x x3 x 1 x 1 2 3 f x log2 x 2 x x 1 3 思路点拨 判定函数在端点处的函数值正负 然后判断是否存在零点 课堂互动讲练 解 1 法一 因为f 1 200 所以f 1 f 8 0 故f x x2 3x 18 x 1 8 存在零点 法二 令x2 3x 18 0 解得x 3或6 所以函数f x x2 3x 18 x 1 8 存在零点 课堂互动讲练 2 f 1 10 f 1 f 2 log22 1 0 f 3 log2 3 2 3 log28 3 0 f 1 f 3 0 故f x log2 x 2 x x 1 3 存在零点 课堂互动讲练 名师点评 函数的零点存在性问题常用的办法有三种 一是用定理 二是解方程 三是用图象 课堂互动讲练 课堂互动讲练 思路点拨 借助函数零点存在性定理和函数在 1 1 上的单调性来判断 f x 在 1 1 上是单调递增函数 f x 在 1 1 上有且只有一个零点 课堂互动讲练 规律小结 方程的根或函数零点的存在性问题 可以根据区间端点处的函数值的正负来确定 但要确定零点的个数还需进一步研究函数在区间上的单调性 在给定的区间上 如果函数是单调的 它至多有一个零点 如果不是单调的 可继续细分出小的单调区间 再结合这些小的区间的端点处函数值的正负 作出正确判断 课堂互动讲练 课堂互动讲练 互动探究 若例2中x的范围改为r 试回答原来问题 解 f x 4 2x 2x2 令f x 0 x 2 1 x 2是f x 的极大值点 课堂互动讲练 1 用二分法求函数的零点时 最好是利用表格 将计算过程所得到各个区间 中点坐标 区间中点的函数值等置于表格中 可清楚地表示出逐步缩小零点所在区间的过程 有时也可利用数轴来表示这一过程 课堂互动讲练 2 在确定方程近似解所在的区间时 转化为求方程对应函数的零点所在的区间 找出的区间 a b 长度尽可能小 且满足f a f b 0 课堂互动讲练 课堂互动讲练 求方程2x3 3x 3 0的一个近似解 精确度为0 1 思路点拨 令方程左边为f x 找f x 存在零点的区间 a b 用二分法求f x 的零点 得方程的近似解 解 设f x 2x3 3x 3 经计算 f 0 30 所以函数在 0 1 内存在零点 即方程2x3 3x 3 0在 0 1 内有解 取 0 1 的中点0 5 经计算f 0 5 0 所以方程2x3 3x 3 0在 0 5 1 内有解 课堂互动讲练 如此继续下去 得到方程的一个实数解所在的区间 如下表 课堂互动讲练 至此 可以看出方程的根落在区间长度小于0 1的区间 0 6875 0 75 内 可以将区间端点0 6875作为函数f x 零点的近似值 因此0 6875是方程2x3 3x 3 0精确度为0 1的一个近似解 课堂互动讲练 思维总结 求函数零点的近似值的关键是利用二分法求值过程中 区间长度是否小于精确度 当区间长度小于精确度 时 运算即告结束 课堂互动讲练 有些问题利用零点求参数的范围 可利用方程 但有时不易甚至不可能解出 而转化为构造两函数图象求解 使得问题简单明了 这也体现了当不是求零点 而是求零点的个数 或有零点时求参数的范围 一般采用数形结合法求解 课堂互动讲练 课堂互动讲练 解题示范 本题满分12分 1 若g x m有零点 求m的取值范围 2 确定m的取值范围 使得g x f x 0有两个相异实根 思路点拨 1 g x m有零点 可以结合图象也可以解方程 2 利用图象求解 课堂互动讲练 课堂互动讲练 等号成立的条件是x e 3分故g x 的值域是 2e 因而只需m 2e 则g x m就有零点 5分 课堂互动讲练 3分可知若使g x m有零点 则只需m 2e 5分 课堂互动讲练 2 若g x f x 0有两个相异的实根 即g x f x 中g x 与f x 的图象有两个不同的交点 课堂互动讲练 f x x2 2ex m 1 x e 2 m 1 e2 课堂互动讲练 其图象对称轴为x e 开口向下 最大值为m 1 e2 10分故当m 1 e2 2e 即m e2 2e 1时 g x 与f x 有两个交点 即g x f x 0有两个相异实根 m的取值范围是 e2 2e 1 12分 误区警示 在讨论g x f x 0有两个相异实数根时 求g x 的最小值小于f x 的最大值时不能取到等号 课堂互动讲练 本题满分12分 若函数f x 4x x2 a 求满足下列条件a的值 1 有两个零点 2 有三个零点 3 无零点 4 有四个零点 课堂互动讲练 高考检阅 解 函数f x 4x x2 a有零点 等价于 4x x2 a 0有实根 即 4x x2 a有实根 令g x 4x x2 h x a 则上述问题等价于g x 与h x 有交点 故作出g x 的图象 由图象可知 课堂互动讲练 课堂互动讲练 1 当 a 0或 a 4 即a 0或a 4时 g x 与h x 有两个交点 即f x 有两个零点 4分 2 当 a 4 即a 4时 h x 与g x 的图象有三个交点 即f x 有三个零点 6分 课堂互动讲练 3 当 a 0 即a 0时 g x 与h x 图象无交点 即f x 无零点 8分 4 当0 a 4 即 4 a 0时 g x 与h x 图象有四个交点 即f x 有四个零点 10分 综上所述 1 当a 0或a 4时 f x 有两个零点 2 当a 4时 f x 有三个零点 3 当a 0时 f x 无零点 4 当 4 a 0时 f x 有四个零点 12分 课堂互动讲练 1 函数零点的理解 1 函数的零点 方程的根 函数图象与x轴的交点的横坐标 实质是同一个问题的三种不同表达形式 方程根的个数就是函数零点的个数 亦即函数图象与x轴交点的个数 规律方法总结 2 变号零点与不变号零点 若函数f x 在零点x0左右两侧的函数值异号 则称该零点为函数f x 的变号零点 若函数f x 在零点x0左右两侧的函数值同号 则称该零点为函数f x 的不变号零点 若函数f x 在区间 a b 上的图象是一条连续的曲线 则f a f b 0是f x 在区间 a b 内有零点的充分不必要条件 规律方法总结 2 用二分法求曲线交点的坐标应注意的问题 1 曲线交点坐标即为方程组的解 从而转化为求方程的根 2 求曲线y f x 和y g x 的交点的横坐标 实际上就是求函数y f x g x 的零点 即求f x g x 0的