高三数学高考（理）第一轮复习精品课件：第7单元 立体几何 新人教A版.ppt

第七单元立体几何 第七单元 知识框架 第七单元 知识框架 第七单元 知识框架 第七单元 考试说明 1 空间几何体 1 了解和正方体 球有关的简单组合体的结构特征 理解柱 锥 台 球的结构特征 2 能画出简单空间图形 长方体 球 圆柱 圆锥 棱柱等的简易组合 的三视图 会用斜二测法画出它们的直观图 3 会用平行投影与中心投影两种方法 画出简单空间图形的三视图与直观图 了解空间图形的不同表示形式 4 能识别三视图所表示的空间几何体 理解三视图和直观图的联系 并能进行转化 5 会计算球 柱 锥 台的表面积和体积 不要求记忆公式 2 点 直线 平面之间的位置关系 1 理解空间直线 平面位置关系的定义 并了解如下可以作为推理依据的公理和定理 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内 那么这条直线上所有的点在此平面内 公理2 过不在同一条直线上的三点 有且只有一个平面 公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点 那么它们有且只有一条过该点的公共直线 公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行 定理 空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行 那么这两个角相等或互补 第七单元 考试说明 第七单元 考试说明 2 以立体几何的上述定义 公理和定理为出发点 认识和理解空间中线面平行 垂直的有关性质与判定 理解以下判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行 那么该直线与此平面平行 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行 那么这两个平面平行 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直 那么该直线与此平面垂直 如果一个平面经过另一个平面的垂线 那么这两个平面垂直 第七单元 考试说明 理解以下性质定理 并能够证明 如果一条直线与一个平面平行 经过该直线的任一平面与此平面相交 那么这条直线就和交线平行 如果两个平行平面同时和第三个平面相交 那么它们的交线相互平行 垂直于同一个平面的两条直线平行 如果两个平面垂直 那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直 3 了解两条异面直线所成角 直线与平面所成角 二面角的概念 4 能证明一些空间位置关系的简单命题 1 文科的立体几何试题一般是一大一小两个题目 一道小题重点考查空间几何体的三视图 空间几何体的面积和体积计算 空间基本的位置关系判断 一道大题重点考查空间几何体的结构 空间线面位置关系的证明 2 预计2011年课标区的高考中 立体几何会延续前几年立体几何的命题传统 考查空间几何体的三视图和面积 体积计算 考查空间线面位置关系的证明 可能还是一大一小两个题目 分值在17分左右 第七单元 命题趋势 1 在编写本单元时考虑了如下问题 1 重视了空间几何体的三视图和面积 体积计算 根据近年来课标区的高考命题趋势 空间几何体的三视图结合面积 体积计算几乎是一道必然的考题 2 重视了平面的性质 虽然在高考中单独考查平面性质的试题不多 但这是立体几何的根本所在 3 强化重点 加强了空间平行 垂直关系证明部分的力度 除了在38 39讲分专题讲解空间平行 垂直关系的证明外 还专设第39讲重点讲解空间线面位置关系的证明 第七单元 使用建议 2 教学建议 1 把握好尺度 文科立体几何的考查内容仅仅限定在立体几何初步 考试大纲在空间线面位置关系中仅仅要求会用平面性质和线面平行与垂直的判定与性质的八个定理证明空间图形的位置关系的简单命题 在教学时要把握好这个度 切忌盲目拔高 2 加强几何语言的教学 立体几何的证明题 对使用数学语言有较高的要求 在教学中教师要以身作则 使用规范准确的数学语言 清晰地表达问题的证明过程 3 本单元共6讲 建议每讲一个课时 一个45分钟单元能力训练卷和一个45分钟滚动基础训练卷 每卷一个课时 本单元约需8个课时 第七单元 使用建议 第34讲 空间几何体的表面积与体积 第34讲 知识梳理 1 空间几何体的结构 1 多面体和旋转体 由若干个平面多边形围成的几何体叫做 围成多面体的各个多边形叫做多面体的 相邻两个面的公共边叫做多面体的 棱与棱的公共点叫做多面体的 由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做 定直线叫做旋转体的 多面体 顶点 旋转体 轴 面 棱 第34讲 知识梳理 2 多面体的结构特征 棱柱的结构特征有两个面互相平行 其余各面都是四边形 并且相邻两个四边形的公共边都互相平行 其中两互相平行的面叫做棱柱的 其余各面叫做棱柱的 相邻侧面的公共边叫做棱柱的 侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的 底面是几边形就叫几棱柱 侧面 侧棱 底面 顶点 第34讲 知识梳理 棱锥的结构特征有一个面是多边形 其余各面都是有一个公共顶点的三角形 这个多边形面叫做棱锥的 有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的 各侧面的公共顶点叫做棱锥的 相邻侧面的公共边叫做棱锥的 底面是几边形就叫几棱锥 棱台的结构特征用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥 底面与截面之间的部分叫做 原棱锥的底面与截面分别叫做棱台的和 两底面间的距离叫做棱台的高 棱台也有侧面 侧棱 顶点 棱台侧棱的延长线必相交于一点 上 下底面是相似多边形 底面是几边形就叫几棱台 底面 侧面 侧棱 顶点 棱台 上底面 下底面 第34讲 知识梳理 几种特殊棱柱 棱锥 棱台侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱 底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱 正棱柱的侧面是全等的矩形 底面是全等的正多边形 理解下列关系 正方体 正四棱柱 长方体 直四棱柱 直棱柱 棱柱 第34讲 知识梳理 如果一个棱锥的底面是正多边形并且顶点在底面的射影是底面的中心 这样的棱锥叫做正棱锥 顶点到底面的距离叫做棱锥的高 正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 这些等腰三角形底边上的高都相等 叫做棱锥的斜高 如图35 1 高so 斜高se 由正棱锥截得的棱台叫做正棱台 正棱台各侧面都是全等的等腰梯形 这些等腰梯形的高叫做棱台的斜高 如图35 2所示 高 斜高 第34讲 知识梳理 oo ee 3 旋转体的结构特征 圆柱的结构特征以矩形的一边所在直线为旋转轴 其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做 旋转轴叫做圆柱的轴 垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的 平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的 无论旋转到什么位置 不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的 圆柱和棱柱统称为柱体 圆锥的结构特征以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴 其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做 棱锥与圆锥统称为锥体 第34讲 知识梳理 圆柱 底面 侧面 母线 圆锥 第34讲 知识梳理 圆台的结构特征用平行于圆锥底面的平面去截圆锥 底面与截面之间的部分叫做 与圆柱和圆锥一样 圆台也有轴 底面 侧面 母线 棱台和圆台统称为台体 球的结构特征以半圆的直径所在直线为旋转轴 半圆面旋转一周形成的旋转体叫做 简称 半圆的圆心叫做球的 半圆的半径叫做球的 半圆的直径叫做球的 圆台 球体 球 球心 半径 直径 第34讲 知识梳理 2 空间几何体的表面积与体积 1 旋转体的表面积 圆柱的表面积s 2 r2 2 rl 2 r r l 圆锥的表面积s r2 rl r r l 圆台的表面积s r 2 r2 r l rl 2 多面体的表面积等于各个面的面积之和 3 柱体 锥体与台体的体积 柱体的体积 v sh 锥体的体积 v sh 台体的体积 v 第34讲 知识梳理 4 球的表面积和体积 球的表面积 s 4 r2 球的体积 v r3 探究点1空间几何体的结构 第34讲 要点探究 例1下列几个命题 正确的是 棱柱的侧面都是平行四边形 棱锥的侧面均是三角形 且所有侧面都有一个公共点 多面体至少有四个面 棱台侧棱所在直线均相交于一点 第34讲 要点探究 思路 本题就是考查多面体的定义 解析 由多面体的定义可知 均正确 而 棱台是由棱锥所截而得 所以 也正确 答案 点评 本题就是要熟练掌握多面体的定义 对几何体的结构除掌握定义之外 还要利用空间想象力 理解几何体之间的位置关系 如下变式题 第34讲 要点探究 变式题已知棱长都相等的正三棱锥内接于一个球 某人画出四个过球心的平面截球与正三棱锥所得的图形如下 则正确的有 填序号 第34讲 要点探究 思路 过球心的截面一定过该三棱锥的中心 答案 解析 注意到过球心的条件 易判断 不合题意 正确 探究点2几何体的表面积和体积 第34讲 要点探究 例2 2009 全国卷 直三棱柱 侧棱垂直于底面 abc a1b1c1的各顶点都在同一球面上 若ab ac aa1 2 bac 120 则此球的表面积等于 思路 由已知可求得三角形abc的外接圆半径 构造直角三角形 利用勾股定理可求球半径 答案 20 第34讲 要点探究 解析 在 abc中 ab ac 2 bac 120 得角b 30 在 abc中由正弦定理得 2r 可得 abc外接圆半径r 2 设此圆圆心为o 球心为o 在rt obo 中 oo 1 易得球半径r 故此球的表面积为4 r2 20 点评 本题的关键是理解组合体的结构 在三角形中综合运用正弦定理和勾股定理 求出组合体中球的半径 几何体的表面积和体积 只要求出有关量 代入公式就可计算 第34讲 要点探究 变式题已知一个空间几何体的三视图如图35 4所示 其中正视图 侧视图都是由半圆和矩形组成 根据图中标出的尺寸 单位 cm 可得这个几何体的体积是 a b c d 2 第34讲 要点探究 解析 c由三视图可知 该几何体由一个半球和一个圆柱组成 球半径为1 圆柱的高和底面半径均为1 故该几何体的体积为 13 12 1 探究点3几何体中的最值问题 第34讲 要点探究 思路 画出平面展开图 将空间问题转化为平面问题 例3如图35 5 在直三棱柱abc a1b1c1中 底面abc为直角三角形 acb 90 ac 6 bc cc1 p是bc1上一动点 则cp pa1的最小值是 答案 第34讲 要点探究 解析 把面a1c1b沿bc1展开与 cbc1在同一个平面上 连a1c 如图35 6所示 acb 90 ac 6 bc c1c a1c1b 90 a1c1 6 cc1a1 135 在 cc1a1中 利用余弦定理a1c2 2cc1 a1c1cos cc1a1 50 a1c 5 即cp pa1的最小值为5 第34讲 要点探究 点评 几何体表面的最值问题 一般是利用展开图进行求解 本题最大的困难是正确画出平面展开图 因为a1p在几何体内部 可依据它所在的平面a1c1b绕bc1展到与平面cbb1c1重合 注意想象展开后平面图形的形状 当展开图有多种时注意选择适当的图形 如下变式题 第34讲 要点探究 变式题如图35 7 在正方体abcd a1b1c1d1中 f为棱ab的中点 如果ab 1 一个点从f出发在正方体的表面上依次经过棱bb1 b1c1 c1d1 d1d da上的点 又回到f 指出整个线路的最小值并说明理由 第34讲 要点探究 解答 如图35 8 将正方体六个面展开 从图中f到f 两点之间线段最短 而且依次经过棱bb1 b1c1 c1d1 d1d da上的中点 所求的最小值为3 探究点4折叠问题 第34讲 要点探究 例4给出一边长为2的正三角形纸片 把它折成一个侧棱长与底面边长都相等的三棱锥 并使它的全面积与原三角形面积相等 设计一种折叠方法 用虚线标在图35 9中 并求该三棱锥的体积 第34讲 要点探究 思路 沿正三角形的三条中位线折得三棱锥 构造直角三角形 求三棱锥的高是求体积的关键 解答 如图35 10所示 取等边三角形三边的中点a b c 连接ab bc ca 原三角形三条中位线 得 abc 以中位线为折线折起三角形 使三角形三顶点重合 则得侧棱长与底面边长都等于1的三棱锥s abc 如图35 11 作so 平面abc 则易证点o是 abc的重心 连接co并延长交ab于e 则e是ab的中点 连接se 第34讲 要点探究 o是 abc的重心 oc ce 第34讲 要点探究 在rt soc中 sc 1 so v三棱锥s abc s abc so ce ab so 点评 折叠问题应分清折叠前 后几何图形中变化的量与不变的量 不变的量常常是后续解题的已知条件 第34讲 规律总结 1 几何体的结构是培养空间想象能力的基础 是顺利解决后面 以常见几何体为载体考查空间线面位置 的关键 因为所给几何体的线面位置关系都是作为已知条件的 2 注意空间问题平面化思想的应用 推导表面积公式主要是利用展开图 求经过几何体表面上两点间的最短距离 也是将几何体表面展开 化归为求平面上两点间的最短距离 第34讲 规律总结 3 求体积除了用公式外 还常用割补法 把不规则的几何体割补成易求体积的规则几何体来求 而求三棱锥 平行六面体的体积更灵活 以任何面为底都可以 从而可以利用三棱锥的体积变换求点到平面的距离 4 解决折叠问题的关键是弄清楚折叠前后哪些量没有变化 折叠后位置关系怎么变化 通过空间想象折叠成的几何体的形状来分析已知和待求 是培养空间想象能力的很好的题型 第35讲 空间几何体的三视图和直观图 第35讲 知识梳理 1 中心投影与平行投影 1 光由一点向外散射形成的投影叫做 中心投影的交于一点 2 在一束平行光线照射下形成的投影叫做 平行投影的是平行的 在平行投影中 投影线着投影面时 叫做正投影 否则叫斜投影 说明 从投影线是否平行的角度理解中心投影与平行投影 中心投影 平行投影 正对 投射线 投射线 第35讲 知识梳理 与投影面平行的平面图形 在平行投影下得到的影子与这个平面图形的形状 大小完全相同 在中心投影下的影子与这个平面图形相似 2 三视图三视图是观察者从观察同一个几何体画出的空间几何体图形 直观图是观察者从观察几何体画出的空间几何体的图形 三视图包括 和 说明 三视图的画法关键是要分清观察者的方向 应从前面到后面 左面到右面 上面到下面三个方向去观察图形 画三视图时要做到 长对正 宽相等 高平齐 不同位置 水平方向 正视图 俯视图 第35讲 知识梳理 3 斜二测画法的步骤 1 在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴 两轴相交于点o 画直观图时 把它们画成对应的x 轴和y 轴 两轴交于点o 且使 x o y 它们确定的平面表示水平面 2 已知图形中平行于x轴或y轴的线段 在直观图中分别画成平行于或的线段 3 已知图形中平行于x轴的线段 在直观图中 平行于y轴的线段 长度变为 说明 斜二测画法要注意其规则 特别是与y轴平行或在y轴上的线段 在直观图中长度变为原来的一半 45 或135 原来的一半 x 轴 y 轴 探究点1三视图的画法 第35讲 要点探究 例1画出如图36 1所示几何体的三视图 第35讲 要点探究 思路 图36 1 1 为正六棱柱 可按棱柱画法画出 图36 1 2 为一个圆锥和一个圆台的组合体 按圆锥 圆台的三视图画法画出它们的组合形状 解答 三视图如图36 2所示 第35讲 要点探究 第35讲 要点探究 点评 画简单的组合体的三视图应注意以下问题 1 确定正视 俯视 侧视的方向 同一物体放置的位置不同 所画的三视图可能不同 2 看清简单组合体是由哪几个基本几何体组成的 并注意它们的组成方式 特别是它们的交线位置 3 画出的三视图要检验是否符合 长对正 宽相等 高平齐 的基本特征 特别注意几何体中与投影面垂直或平行的线及面的位置 探究点2与三视图有关的问题 第35讲 要点探究 例2 2009 山东卷 一空间几何体的三视图如图36 3所示 则该几何体的体积为 第35讲 要点探究 a 2 b 4 c 2 d 4 思路 根据三视图确定该几何体的组成 再分别求出各组成部分的体积 第35讲 要点探究 解析 c该空间几何体由一圆柱和一正四棱锥组成 圆柱的底面半径为1 高为2 体积为2 四棱锥的底面边长为 高为 所以体积为所以该几何体的体积为2 点评 高考中对三视图的考查一般都与其他知识相结合 解题关键是正确分析三视图反映的几何体的特征 位置关系和数量关系 想象出该几何体的结构 最好还原出直观图再进行求解 注意几何体有时不按常规放置 如下变式题 第35讲 要点探究 变式题 2009 天津卷 如图36 4所示是一个几何体的三视图 若它的体积是 则a 答案 第35讲 要点探究 解析 由三视图可知 该几何体为横放的三棱柱 底面是底边为2 高为a的三角形 棱柱的高为3 由已知可得 a 探究点3水平放置的平面图形的直观图问题 第35讲 要点探究 例3已知正三角形abc的边长为1 那么 abc的平面直观图 a b c 的面积为 答案 思路 本题先根据平面图画出直观图 然后求解 第35讲 要点探究 解析 如图36 5 1 2 所示的为实际图形和直观图 第35讲 要点探究 由图 2 可知ab a b 1 o c oc 在图 2 中作c p a b 于p 点 则有c p o c s a b c a b c p 点评 斜二侧画法中 关键是记准规则 坐标轴成45 或135 平行于x轴的线段长度不变 平行于y轴的线段长度减半 当由直观图还原平面图时 规则相反 在客观题中可以直接应用以下结论 直观图的面积是平面图的倍 第35讲 要点探究 变式题若一个水平放置的三角形的直观图是边长为1的正三角形 则原来的平面三角形的面积是多少 解答 直观图中 三角形的底边为1 高为 平面图中 三角形的底边为1 高为 平面图中三角形的面积为 探究点4三视图 直观图的综合应用 第35讲 要点探究 例4 2009 广东卷 某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图36 6 a 所示 墩的上半部分是正四棱锥p efgh 下半部分是长方体abcd efgh 图36 6 b 图36 6 c 分别是该标识墩的正 主 视图和俯视图 1 请画出该安全标识墩的侧 左 视图 2 求该安全标识墩的体积 第35讲 要点探究 第35讲 要点探究 思路 由几何体可以想象侧视图形状 由正视图和俯视图确定数量关系 可画侧视图并求体积 解答 1 侧视图同正视图 如图36 7所示 2 该安全标识墩的体积为v vp efgh vabcd efgh 402 60 402 20 32000 32000 64000 cm3 第35讲 要点探究 点评 本题与实际问题相结合 体现了数学的应用性 是高考命题的一个出发点 作图题要规范准确 不要忘记标出有关数据 求体积时注意把不规则几何体割补成规则几何体 本题求体积时 应用 长对正 宽相等 高平齐 是关键 第35讲 规律总结 1 简单几何体的三视图的画法应从以下几个方面加以把握 1 搞清正视 侧视 俯视的方向 同一物体由于放置的位置不同及观察的角度不同 所画的三视图可能不同 2 看清楚简单组合体是由哪几个基本图形组成 3 画三视图时要遵循 长对正 宽相等 高平齐 的原则 这一原则也是解题的依据 4 掌握常见几何体的三视图 对画图 识图和培养空间想象能力都很有帮助 第35讲 规律总结 2 画水平放置的平面图形的直观图应遵循斜二测画法 斜 是轴的夹角为45 或135 二测 是平行于两个坐标轴的线段长度变化不同 第36讲 平面的基本性质 空间两条直线 第36讲 知识梳理 1 平面的基本性质 1 三个公理公理1如果一条直线上的点在一个平面内 那么这条直线在此平面内 公理2过的三点 有且只有一个平面 公理3如果两个不重合的平面有一个公共点 那么它们有且只有过该点的公共直线 不在一条直线上 两 一条 第36讲 知识梳理 2 平面基本性质的推论推论1 经过一条直线和直线外一点 有且只有一个平面 推论2 经过两条相交直线 有且只有一个平面 推论3 经过两条平行直线 有且只有一个平面 2 空间中直线与直线的位置关系 1 空间两条直线的位置关系有且只有三种 共面直线 异面直线 不同在任何一个平面内 没有公共点 相交直线 在同一平面内 有且只有一个公共点 平行直线 在同一平面内 没有公共点 2 空间平行线的传递性 公理4平行于同一条直线的两条直线 3 异面直线所成的角 等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行 那么这两个角 异面直线所成的角的定义已知两条异面直线a b 经过空间任一点o作直线a a b b 我们把a 与b 所成的叫做异面直线a与b所成的角 或夹角 如果两条异面直线所成的角是直角 那么我们就说 异面直线所成角的范围 第36讲 知识梳理 互相平行 相等或互补 锐角 或直角 这两条直线互相垂直 探究点1面的基本性质的应用 第36讲 要点探究 例1下列命题 空间中不同的三点确定一个平面 有三个公共点的两个平面必重合 空间两两相交的三条直线确定一个平面 三角形是平面图形 平行四边形 梯形 四边形都是平面图形 两组对边相等的四边形是平行四边形 其中正确的命题是 第36讲 要点探究 思路 用公理作出判断 注意与平面几何的区别 答案 解析 由公理2知 不共线的三点才能确定一个平面 所以知命题 均错 中有可能出现两平面只有一条公共线 当这三个公共点共线时 空间两两相交的三条直线有三个交点或一个交点 若为三个交点 则这三线共面 若只有一个交点 则可能确定一个平面或三个平面 中平行四边形及梯形由公理2可得必为平面图形 而四边形有可能是空间四边形 如图37 1所示 第36讲 要点探究 如图37 2四边形ad b c中 ad d b b c ca 但它不是平行四边形 所以 也错 正确的命题只有 第36讲 要点探究 探究点2三点共线与三线共点问题 第36讲 要点探究 例2如图37 3所示 已知 abc的三个顶点都不在平面 内 它的三边ab bc ac延长后分别交平面 于点p q r 求证 点p q r在同一条直线上 第36讲 要点探究 解答 由已知ab的延长线交平面 于点p 根据公理3 平面abc与面 必有交线 设为l p 直线ab p 面abc 又 ab 面 p p 面 p是面abc与面 的公共点 面abc 面 l p l 同理q l r l p q r三点共线 思路 要证三点共线 就要证三个点是两个相交平面的公共点 第36讲 要点探究 点评 证三点共线 就是证点p 且p 面abc 则p在面 与面abc的交线上 从而证明点共线问题 例3如图37 4所示 已知在空间四边形abcd中 e f分别是ab ad的中点 g h分别是bc cd上的点 且求证 直线eg fh ac相交于一点 第36讲 要点探究 解答 e f分别是ab ad的中点 ef bd ef bd gh bd gh bd 四边形efhg是梯形 设两腰eg fh相交于点t eg平面abc fh平面acd t 平面abc 且t 平面acd 又平面abc 平面acd ac t ac 直线eg fh ac相交于一点t 第36讲 要点探究 点评 三线共点问题 常用的方法是 证在其中两条直线交于一点 再证交点在第三条直线上 这样就可将问题转化为证明三点共线 探究点3点线共面问题 第36讲 要点探究 思路 运用公理1 公理2进行证明 例4空间四条直线 每两条都相交 每三条不共点 求证 这四条直线共面 解答 已知 直线a b c d a与b相交 a c a b c b 如图37 5 求证 直线a b c d共面 证明 a与b相交 直线a b确定一平面 又 a c a a a 第36讲 要点探究 点评 证明点共面 线共面问题的方法有 先确定一个平面 再证明有关点线在此平面内 过有关点 线分别作多个平面 再证明这些平面重合 反证法 又 a平面 a 平面 同理b 平面 又 a 直线c b 直线c 直线c平面 同理得直线d平面 即a b c d四条直线共面 探究点4异面直线问题 第36讲 要点探究 例5 2009 全国卷 已知正四棱柱abcd a1b1c1d1中 aa1 2ab e为aa1中点 则异面直线be与cd1所形成角的余弦值为 a b c d 思路 平移其中的一条直线 使其与另一条相交 转化为平面角求解 第36讲 要点探究 解析 c连接ba1 因为a1d1与bc平行且相等 所以cd1 ba1 因此 a be就是所求异面直线所成的角 在 eba1中 易知eb ab a1e ab a1b ab 故由余弦定理求得cos a be 点评 1 求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线 把异面问题转化为共面问题来解决 具体步骤如下 利用定义构造角 主要应用平行四边形对边平行 如本例 或三角形的中位线平行于底边 如变式题1 可以平移一条直线 也可以同时平移两条直线 第36讲 要点探究 解答题中需要证明或指明作出的角即为所求角 利用解三角形的方法来求角 注意异面直线所成角的范围是 2 判定两直线是异面直线 定义不易操作 可以用结论 一直线和平面相交 则该直线和平面内不经过交点的直线是异面直线 或用反证法 如变式题2 第36讲 要点探究 变式题1在正方体中abcd a1b1c1d1 m n为棱ab与ad的中点 则异面直线mn与bd1所成角的余弦值是 a b c d 解析 d连接bd 因为m n为棱ab与ad的中点 所以mn bd 所以 dbd1为所求的角 设正方体的棱长为1 在直角三角形dbd1中 易得cos dbd1 第36讲 要点探究 变式题2如图37 6所示 已知两个正方形abcd和dcef不在同一平面内 m n分别为ab df的中点 用反证法证明 直线me与bn是两条异面直线 第36讲 要点探究 解答 假设me与bn共面 则平面mben交平面dcef于en 由已知 dc mb 所以dc 平面mben 所以dc en 这与n为df中点矛盾 所以假设不成立 所以me与bn是异面直线 第36讲 规律总结 1 公理2和平面性质的推论是确定平面的依据 为空间问题平面化提供了可能 2 证三点共线及三线共点 都要转化为证明点在直线上 而要证明点在直线上 可分别证点在两个平面内 从而在两个平面的公共交线上 3 证点共面 线共面 常常先确定一个平面 再证明有关点线也在此平面内 4 求异面直线所成的角 难点是构造两异面直线所成的角 在平移时往往利用三角形的中位线的性质或者平行四边形的对边平行的性质 第37讲 空间中的平行关系 第37讲 知识梳理 1 空间中直线与平面的位置关系 第37讲 知识梳理 2 空间中平面与平面的位置关系 3 直线与直线平行 1 平行公理过直线外一点有且只有直线和这条直线平行 2 公理4平行于同一条直线的两条直线 又叫做空间平行线的传递性 符号表示为 4 直线与平面平行 1 直线和平面平行的判定定理如果平面外的一条直线和此平面内的一条直线平行 则该直线与此平面平行 符号表示为 第37讲 知识梳理 一条 a c b ca b 互相平行 2 直线和平面平行的性质定理一条直线和一个平面平行 则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 符号表示为5 平面与平面平行 1 两个平面平行的判定定理如果一个平面内有直线平行于另一个平面 那么这两个平面平行 符号表示为 第37讲 知识梳理 两条相交 推论 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线 则这两个平面平行 2 两个平面平行的性质定理如果两个平行平面同时与第三个平面相交 那么它们的交线平行 符号表示为 3 三个平面平行的性质两条直线被三个平行平面所截 截得的对应线段成比例 第37讲 知识梳理 探究点1线面平行的证明 第37讲 要点探究 例1 2009 山东卷 如图38 1所示 在直四棱柱abcd a1b1c1d1中 底面abcd为等腰梯形 ab cd ab 2cd e e1 f分别是棱ad aa1 ab的中点 证明 直线ee1 平面fcc1 第37讲 要点探究 思路 本题可以转化为证明ee1平行于平面fcc1内的一条直线或证明平面a1add1与平面fcc1平行 第37讲 要点探究 解答 证法一 在直四棱柱abcd a1b1c1d1中 取a1b1的中点f1 连接a1d c1f1 cf1 因为ab 2cd 且ab cd 所以cda1f1 a1f1cd为平行四边形 所以cf1 a1d 又因为e e1分别是棱ad aa1的中点 所以ee1 a1d 所以cf1 ee1 又因为f1c平面fcc1 所以直线ee1 平面fcc1 第37讲 要点探究 证法二 由已知 dd1 cc1 所以dd1 平面fcc1 又ab cd ab 2cd 所以dcaf 所以四边形afcd是平行四边形 所以ad fc 所以ad 平面fcc1 又ad dd1 d 所以平面a1add1 平面fcc1 因为ee1平面a1add1 所以ee1 平面fcc1 第37讲 要点探究 点评 证明线面平行的方法主要有两种 利用线面平行的判断定理和面面平行的性质定理 定理的条件的叙述要完整 同时也需根据不同特点的题选用不同方法 关键是找到 或作出 平面内与已知直线平行的直线 常用平行四边形的对边平行 如本例 或三角形的中位线的性质 如变式题 还可以逆用线面平行的性质先推测出需要的直线 第37讲 要点探究 变式题 2008 海南宁夏卷 如图38 3所示 是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图和它的正视图 侧视图 单位 cm 1 按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图 2 按照给出的尺寸 求该多面体的体积 3 在所给直观图中连接bc 证明 bc 面efg 第37讲 要点探究 思路 首先正确画出俯视图 求体积用相减的方法 然后用线面平行的判定定理证明 解答 1 俯视图如图38 4所示 第37讲 要点探究 2 所求多面体的体积v v长方体 v正三棱锥 4 4 6 cm3 3 如图38 5所示 在长方体abcd a b c d 中 连接ad 则ad bc 第37讲 要点探究 因为e g分别为aa a d 的中点 所以ad eg 从而eg bc 又eg平面efg bc 平面efg 所以bc 平面efg 探究点2面面平行的证明 第37讲 要点探究 例2如图38 6所示 正四棱锥p abcd中 m n q分别为pa bd ab上的点 且pm ma bn nd bq qa 5 8 求证 平面mnq 平面pbc 第37讲 要点探究 思路 利用两平面平行的判定定理证明 解答 pm ma bq qa 5 8 mq pb mq 平面pbc 连接an并延长交bc于e 连接pe ad bc en na bn nd 5 8 en na pm ma mn pe mn 平面pbc mn mq m pe pb p mn平面mnq mq平面mnq 平面mnq 平面pbc 第37讲 要点探究 点评 1 面面平行与线面平行 线线平行之间可以相互转化 2 要证明两平面平行 只要在一个平面内找两相交直线与另一平面平行即可 第37讲 要点探究 变式题已知p为 abc所在平面外一点 g1 g2 g3分别是 pab pcb pac的重心 1 求证 平面g1g2g3 平面abc 2 求s g1g2g3 s abc 解答 1 如图38 9所示 连接pg1 pg2 pg3并延长分别与边ab bc ac交于点d e f 连接de ef fd 第37讲 要点探究 则有pg1 pd 2 3 pg2 pe 2 3 g1g2 de 又g1g2不在平面abc内 g1g2 平面abc 同理g2g3 平面abc 又 g1g2 g2g3 g2 平面g1g2g3 平面abc 第37讲 要点探究 2 由 1 知 g1g2 de 又de ac g1g2 ac 同理g2g3 ab g1g3 bc g1g2g3 cab 其相似比为1 3 s g1g2g3 s abc 1 9 第37讲 规律总结 1 证明线面平行的常用方法有两个 1 线面平行的判定定理 2 利用面面平行的性质 2 证明面面平行的常用方法主要是面面平行的判定定理 至于它的推论 两个平面同时和第三个平面平行则两平面平行以及由两平面都和某直线垂直得两平面平行 可作为判断命题真假的依据 3 由线面平行 面面平行的性质可得线线平行 作辅助平面 因此这也是证明线线平行的依据和方法 又可以由线线平行列比例关系 解决三角形求边长 角 确定点的位置等问题 第38讲 空间中的垂直关系 第38讲 知识梳理 1 两条直线互相垂直如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点 并且夹角为 则称这两条直线互相垂直 2 直线与平面垂直 1 定义如果直线a与平面 内的直线都垂直 我们就说直线a与平面 互相垂直 记作a 直线a叫做平面 的 平面 叫做直线a的 直线与平面垂直时 它们唯一的公共点叫做 直角 任意一条 垂线 垂面 垂足 2 直线和平面所成的角一条直线pa和一个平面 相交 但不和这个平面垂直 这条直线叫做这个平面的 斜线和平面的交点a叫做 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线po 过垂足o和斜足a的直线ao叫做斜线在这个平面上的 平面的一条斜线和它在这个平面上的射影所成的 叫做 一条直线垂直于平面 我们说它们所成的角为 一条直线和平面平行 或在平面内 我们说它们所成的角是的角 直线和平面所成角的范围是 第38讲 知识梳理 斜足 斜线 射影 锐角 直角 0 3 直线与平面垂直的判定定理一条直线与一个平面内的直线都垂直 则该直线与此平面垂直 符号表示为 4 直线与平面垂直的性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行 符号表示为 第38讲 知识梳理 两条相交 3 平面与平面垂直 1 二面角和二面角的平面角的定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做 这条直线叫做二面角的棱 这两个半平面叫做二面角的面 棱为ab 面分别为 的二面角记作二面角 如果棱为l 那么这个二面角记作 在二面角 l 的棱l上任取一点o 以点o为垂足 在半平面 和 内分别作垂直于棱l的射线oa和ob 则射线oa和ob构成的 aob叫做二面角的 第38讲 知识梳理 ab l 平面角 二面角的大小可以用它的平面角来度量 二面角的平面角是多少度 就说这个二面角是多少度 二面角的取值范围是 0 平面角是直角的二面角叫做 2 平面与平面垂直的定义一般的 两个平面 和 相交 如果它们所成的二面角是 就说这两个平面互相垂直 记做 3 平面与平面垂直的判定定理一个平面过另一个平面的 则这两个平面垂直 符号表示为 第38讲 知识梳理 直二面角 直二面角 垂线 第38讲 知识梳理 4 平面与平面垂直的性质定理两个平面垂直 则一个平面内直线与另一个平面垂直 符号表示为 垂直于交线的 探究点1线面垂直的证明 第38讲 要点探究 例1rt abc所在平面外一点s 且sa sb sc d为斜边ac的中点 如图39 1所示 1 求证 sd 平面abc 2 若ab bc 求证 bd 平面sac 第38讲 要点探究 思路 1 要证线面垂直 就要利用判定定理 2 利用判定定理 证明bd与平面sac内的两条相交的直线都垂直来解决问题 解答 1 取ab中点e 连接se de 在rt abc中 d e分别为ac ab的中点 故de bc 且de ab sa sb sab为等腰三角形 se ab de ab se de e ab 面sde 第38讲 要点探究 而sd面sde ab sd 在 sac中 sa sc d为ac的中点 sd ac 又 sd ab ac ab a sd 平面abc 第38讲 要点探究 2 若ab bc 则bd ac 由 1 可知 sd 面abc 而bd面abc sd bd sd ac d bd 平面sac 点评 线面垂直就是证明直线与平面内两条相交直线垂直 本题利用等腰三角形来证明线线垂直 进而证明线面垂直 证明线线垂直还可以利用勾股定理 菱形的对角线互相垂直 直径所对的圆周角是直角及线面垂直的性质等方法 如变式题 第38讲 要点探究 变式题如图39 3所示 ab是 o的直径 pa垂直于 o所在的平面 c是圆周上不同于a b的任意一点 ae pc于e 求证 ae 平面pbc 第38讲 要点探究 思路 在平面pbc内寻找两条相交直线与ae垂直 解答 设 o所在平面为 由已知条件知pa 而bc在 内 所以pa bc 因为点c是圆周上不同于a b的任意一点 ab是 o的直径 所以 bca是直角 即bc ac 又因为pa与ac是 pac所在平面内的两条相交直线 所以bc 平面pac 故bc ae 又ae pc pc bc c 所以ae 平面pbc 探究点2线面垂直的证明 第38讲 要点探究 例2 2009 北京卷 如图39 4所示 四棱锥p abcd的底面是正方形 pd 底面abcd 点e在棱pb上 1 求证 平面aec 平面pdb 2 当pd ab且e为pb的中点时 求ae与平面pdb所成的角的大小 第38讲 要点探究 思路 由题目条件可证明ac 平面pdb 从而利用面面垂直的判定定理证明 解答 1 四边形abcd是正方形 ac bd pd 底面abcd pd ac ac 平面pdb 平面aec 平面pdb 第38讲 要点探究 2 设ac交bd于点o 连接oe 由 1 知ac 平面pdb于o aeo为ae与平面pdb所的角 o e分别为db pb的中点 oe pd oe pd 又 pd 底面abcd oe 底面abcd oe ao 在rt aoe中 oe pd ab ao aeo 45 即ae与平面pdb所成的角的大小为45 第38讲 要点探究 点评 证明两平面垂直的方法主要有以下两种 1 利用定义 证明两平面所成的二面角是直二面角 2 利用判定定理 证明一个面内的一条直线垂直于另一个平面 探究点3面面垂直的性质的应用 第38讲 要点探究 例3 2009 福建卷 如图39 6所示 平行四边形abcd中 dab 60 ab 2 ad 4 将 cbd沿bd折起到 ebd的位置 使平面edb 平面abd 1 求证 ab de 2 求三棱锥e abd的侧面积 第38讲 要点探究 思路 1 利用面面垂直的性质定理得到线面垂直 进而证明线线垂直 2 先分别求三个侧面的面积 再求和 解答 1 在 abd中 ab 2 ad 4 dab 60 bd ab2 bd2 ad2 ab db 又 平面ebd 平面abd 平面ebd 平面abd bd ab平面abd ab 平面ebd de平面ebd ab de 第38讲 要点探究 2 由 1 知 ab ab cd ab 从而cd bd 即de bd 在rt dbe中 db de dc ab 2 s dbe db de 又 ab 平面ebd be平面ebd ab be be bc ad 4 s abe ab be 4 第38讲 要点探究 de bd 平面ebd 平面abd ed 平面abd 而ad平面abd ed ad s ade ad de 4 综上所述 三棱锥e abd的侧面积s 8 点评 已知面面垂直时 最常用的辅助线就是在一个面内作交线的垂线 进而把面面垂直的条件转化为线面垂直 进一步可得到很多线线垂直关系 可以证明也可以计算 如下变式题 第38讲 要点探究 变式题已知在 bcd中 bcd 90 bc cd 1 ab 平面bcd adb 60 e f分别是ac ad上的动点 且 0 1 1 求证 不论 为何值 总有平面bef 平面abc 2 当 为何值时 平面bef 平面acd 第38讲 要点探究 解答 1 ab 平面bcd ab cd cd bc且ab bc b cd 平面abc 又 0 1 不论 为何值 恒有ef cd ef 平面abc ef 平面bef 不论 为何值恒有平面bef 平面abc 第38讲 要点探究 2 由 1 知 be ef 又平面bef 平面acd be 平面acd be ac bc cd 1 bcd 90 adb 60 bd ab tan60 ac 由ab2 ae ac得ae 故当 时 平面bef 平面acd 探究点4线面角和二面角的求法 第38讲 要点探究 例4 2009 北京卷 如图38 8所示 在三棱锥p abc中 pa 底面abc pa ab abc 60 bca 90 点d e分别在棱pb pc上 且de bc 1 求证 bc 平面pac 2 当d为pb的中点时 求ad与平面pac所成的角的正弦值 3 是否存在点e使得二面角a de p为直二面角 并说明理由 第38讲 要点探究 思路 先利用定义构造线面角和二面角的平面角 然后解直角三角形可得线面角 也可确定存在点e使二面角为直二面角 解答 1 pa 底面abc pa bc 又 bca 90 ac bc bc 平面pac 2 d为pb的中点 de bc de bc 第38讲 要点探究 又由 1 知 bc 平面pac de 平面pac 垂足为点e dae是ad与平面pac所成的角 pa 底面abc pa ab 又pa ab abp为等腰直角三角形 ad ab abc 60 bc ab 在rt ade中 sin dae ad与平面pac所成的角的正弦值是 第38讲 要点探究 3 de bc 又由 1 知 bc 平面pac de 平面pac 又 ae 平面pac pe 平面pac de ae de pe aep为二面角a de p的平面角 在棱pc上存在一点e 使得ae pc 这时 aep 90 故存在点e使得二面角a de p是直二面角 第38讲 要点探究 点评 几何法求线面角和二面角的关键是作出 或证出 相应的平面角 主要是利用定义法 然后解直角三角形或解斜三角形得解 同时步骤中要特别指明所作或所证的角是所求的角 本例中斜线的射影已知 可以直接得到线面角 否则就要先从斜线上某一点向平面作垂线 确定射影再连成线面角 如变式题 第38讲 要点探究 变式题 2009 北京崇文区模拟 已知直四棱柱abcd a1b1c1d1中 ab cd ab ad 1 dd1 cd 2 ab ad 1 求证 bc 面d1db 2 求d1b与平面d1dcc1所成角的正切值 第38讲 要点探究 第38讲 要点探究 第38讲 规律总结 1 证明直线和平面垂直 主要依据就是线面垂直的判定定理 另外由面面垂直也可得到线面垂直 2 证明平面和平面垂直 主要依据就是面面垂直的判定定理 3 由线面垂直 面面垂直都可得到线线垂直 证明两线垂直除此之外还有满足勾股定理 异面直线所成角为90 等腰三角形的底边中线即高等方法 4 线线垂直 线面垂直 面面垂直它们之间的相互转化 体现了化归与转化的思想和普遍联系的观点 解题时要有意识地去应用 第39讲 空间向量及运算 1 空间向量 1 定义与平面向量一样 在空间 把具有大小和方向的量叫做 向量的大小叫做向量的 空间向量也可用有向线段表示 有向线段的长度表示向量的 向量a的模记作 a 向量的模记作 第39讲 知识梳理 空间向量 长度或模 模 第39讲 知识梳理 2 几种特殊向量长度为0的向量叫做 记作0 当有向线段的起点a与终点b重合时 0 长度为1的向量称为 与向量a长度相等而方向相反的向量 称为a的相反向量 记作 a 方向相同且模相等的向量称为 零向量 单位向量 相等向量 第39讲 知识梳理 2 空间向量的运算 1 空间向量的加减运算空间向量的加减和平面向量的加减完全一样 遵偱平行四边形法则和三角形法则 并且空间向量的加法运算满足交换律及结合律 a b b a a b c a b c 第39讲 知识梳理 2 空间向量的数乘运算 定义 实数 与空间向量a的乘积 a仍然是一个向量 称为向量的运算 当 0时 a与向量a方向相同 当 0时 a与向量a方向相反 a的长度是a的长度的 倍 空间向量的数乘运算满足分配律及结合律 分配律 a b a b 结合