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全国高中数学联赛考前热身训练（2014.9.2）排列组合概率1设集合，若中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为，则集合 2现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为 （用数字作答）3. 把扑克牌中的A、2、3、J、Q、K分别看作数字1、2、3、11、12、13，现将一幅扑克牌中的黑桃、红桃各13张放在一起，从中随机取出两张牌，其花色相同且两个数的积是完全平方数的概率为 （用数字作答）4. 两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷先投掷人的获胜概率是 5. 一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是 （可以用指数表示） 6. 甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数的期望为 7. 将24个志愿者名额分配给3个学校，则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有 种8. 将号码分别为1、2、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同. 甲从袋中摸出一个球，其号码为a，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b. 则使不等式a2b+100成立的事件发生的概率等于 9. 将2个a和2个b共4个字母填在如图所示的16个小方格内，每个小方格内至多填1个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有 10.已知A与B是集合1，2，3，100的两个子集，满足：A与B的元 素个数相同，且为AB空集。若nA时总有2n+2B，则集合AB的元素个数最多为 11. 某车站每天，都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为到站时刻概率一旅客到车站，则它候车时间的数学期望为 （精确到分）12. 已知C，则数列中整数项的个数为 立体几何1. 在四面体中，已知，则四面体的外接球的半径为 2. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为6，M、N分别是BB1、B1C1上的点，MB1=NB1=2，S、P分别是线段AD、MN的中点，则异面直线SP与AC1的距离为 3. 正三棱柱的9条棱长都相等，是的中点，二面角，则 4. 已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，以顶点A为球心，为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于 函数方程不等式1函数的值域为 2设为正实数，则 3如果，那么的取值范围是 4. 若ABC的角A、C满足，那么= 5. 已知函数的最小值为，则实数的取值范围是 6. 已知是公差不为0的等差数列，是等比数列，其中，且存在常数，使得对每一个正整数都有，则 7. 函数（，）在区间上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是 8. 设的内角所对的边成等比数列，则的取值范围是 9. 方程组的有理数解的个数 10. 设的最小值为，则 11. 设是定义在上的函数，若 ，且对任意，满足，则= 12. 设实数a使得不等式|2xa|+|3x2a|a2对任意实数x恒成立，则满足条件的a所组成的集合是 13. 设函数f(x)=3sinx+2cosx+1. 若实数a、b、c使得af(x)+bf(xc)=1对任意实数x恒成立,则的值等于 14. 已知函数，则f(x)的最小值为 15. 若方程仅有一个实根，那么的取值范围是 16. 在ABC和AEF中，B是EF的中点，AB=EF=1，BC=6，若，则与的夹角的余弦值等于 17. 求函数的最大和最小值.18. 已知函数（），当时，试求的最大值 19. 设函数，实数满足，求的值20. （本题满分20分）设函数，求所有的正实数对，使得对任意实数 ，有 解析几何1直线与抛物线交于两点，为抛物线上的一点，则点的坐标为 2. 抛物线上动点A到点B（3,0）的距离的最小值记为d（p），满足d（p）=2的所有实数p的和为 3. 椭圆上任意两点，若，则乘积的最小值为 4. 已知过点(0，1)的直线l与曲线C：交于两个不同点M和N.求曲线C在点M、N处切线的交点轨迹.5. 如图，是抛物线上的动点，点在轴上，圆内切于，求面积的最小值6. 设直线（其中，为整数）与椭圆交于不同两点，与双曲线交于不同两点，问是否存在直线，使得向量，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由7. 作斜率为的直线与椭圆：交于两点（如图所示），且 在直线的左上方（1）证明：的内切圆的圆心在一条定直线上；yxOPAB（2）若，求的面积9. 已知抛物线上的两个动点（，）和（，），其中且线段的垂直平分线与轴交于点，求面积的最大值10. 在平面直角坐标系中，椭圆的方程为， 分别为椭圆的左、右顶点，分别为椭圆的左、右焦点.为椭圆上不同于 的任意一点.若平面中两个点满足， 试确定线段的长度与的大小关系，并给出证明. 数列1. 使不等式对一切正整数都成立的最小正整数 的值为 2. 设数列的前项和满足：，则通项= 3. 已知等差数列an的公差d不为0，等比数列bn的公比q是小于1的正有理数。若a1=d，b1=d2，且是正整数，则q等于 4. 设，求证：当正整数n2时，an+10得2b0(1)，(2)，(3)，由此解得。对求导，得，则，于是直线l1的方程为，即，化简后得到直线l1的方程为(4)。同理可求得直线l2的方程为(5)。(4)(5)得，因为x1x2，故有(6)。将(2)(3)两式代入(6)式得xp=2。(4)+(5)得(7)，其中，代入(7)式得2yp=(32k)xp+2，而xp=2，得yp=42k。又由得，即点P的轨迹为(2，2)，(2，2.5)两点间的线段（不含端点）。 数列1. 提示：设显然单调递减. 2. 提示：，即 2 =，由此得 2令， ()，有，故，所以3. 江苏省如皋中学2014年全国高中数学联赛冲刺试题（一）参考答案一、填空题（本题满分64分，每小题8分）1. 2. 3. 4. 5. 6. 或 7. 8. 16二、解答题（本题满分56分）9. (本题满分16分)提示：不存在. 假设存在，利用一元三次方程韦达定理和正弦定理得到， 利用，得知 ，最后推出矛盾.10. (本题满分20分) 提示：设，则,.11. (本题满分20分)提示：由结论想到“单项放缩”，易证，利用数学归纳法证明.江苏省如皋中学2014年全国高中数学联赛冲刺试题（二）参考答案一、填空题（本题满分64分，每小题8分）1. (三角换元) 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 二、解答题（本题满分56分）9. (本题满分16分)提示: 考虑,利用绝对值不等式，当时，.10(本题满分20分) 利用已知条件直接计算为一定值.11. (本题满分20分)的最小值为4.（1）当时，取.(2) 证. 设，则利用均值不等式有，故，假设，则，故，矛盾.江苏省如皋中学2014年全国高中数学联赛冲刺试题（三）参考答案一、填空题（本题满分64分，每小题8分）1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 二、解答题（本题满分56分）9. (本题满分16分)提示：设，取，易得，故分类讨论(1) （2）. 结论：三元数组为.10. (本题满分20分)提示：(1) 利用椭圆的参数方程设点，再用三阶行列式求面积，容易证得.(2) .(3)反证法.设点，利用（1）的结论容易推出矛盾。11.（1）分类讨论去绝对值符号证明：(2)引理：对于四个数的数列，若前三项递增或递减，则交换第二项与第三项所得数列的波动强度增加.首先证明：当时，为递减数列. 用反证法证明，故.设，用反证法证明. 设，再用反证法证明;当时,同理可证.江苏省如皋中学2014年全国高中数学联赛冲刺试题（四）参考答案一、填空题（本题满分64分，每小题8分）1. 2. （三角换元） 3. 4. 5. 6. 7. 8. 二、解答题（本题满分56分）9. (本题满分16)提示：当时，用基本三角恒等变换公式可得；当时，令，易得不是定值.10. (本题满分20分)(1) 或（2）11. (本题满分20分)用数学归纳法证明.其次证明：当充分大时，为定值.由的最小性和易证是不增的数列.又是正整数数列，故存在充分大的正整数，当时，是定值. 最后证明：数列是从某项开始不减的数列.不妨设当时，（定值），则当时，有，由证得.2014年全国高中数学联赛挑战极限-不等式试题1. 已知a，b，c，d是正数，且4证明：2(abcd)4.(2007年波兰数学奥林匹克试题)2. 求证：1()lnn,n1,2,3,.(2009年全国高中数学联赛试题)3. 设实数a,b,c满足abc3,求证：.(2007年中国西部数学奥林匹克试题)4. 设a, b, c, d是正实数, 且满足abcd1,求证:6(a3b3c3d3)(a2b2c2d2). (第8届中国香港数学奥林匹克试题)5. 设a,b,c是正实数，求证：.6. 已知正整数n1, 求证: +.(2007年江苏省数学竞赛试题)7. (1) 证明对任意的x0, y0,有(xy)；(2) 证明：CCCC.(2009年陕西省数学竞赛试题)8. 已知x0, y0, z0, 且xyz1, 证明：12.(2008年山东省数学竞赛试题)9. 已知x1,x2,x3,x4,x5,x60,1,证明：.(1999年乌克兰数学奥林匹克试题)10. 已知是a,b,c正数，求证：. (1967年IMO预选题)11. 对任意实数a, b有()()().(1963年波兰数学竞赛试题)12. a,b,c是正实数,且abc=1, 证明1. (第37届IMO预选试题)13. 证明：对所有正数a,b,c,有.(第26届美国数学奥林匹克试题)14. 已知a,b,c是正实数,且abcabc,则a2b2c2abc.(2001年巴尔干数学奥林匹克试题)15. 已知a,b,c都是正实数, 且abc1,证明：.(2008年塔吉克斯坦数学奥林匹克试题)16. 设x,y,z都是正实数,且满足1.证明：1.(2007年亚太地区数学奥林匹克试题)17已知a1,a2,a3,an是正数,且a1a2a3an1, 证明：a1a2an.(1997年摩尔多瓦数学奥林匹克试题)18若x,y,z0，且满足x2y2z23,求证：(xyz).(2009年中国北方数学邀请赛试题)19. 已知a、b为正实数，且有1，试证：对每一个nN*，都有(ab)nanbn22n2n+1.(1988年全国高中数学联赛题)20在ABC中，证明不等式：a2b(ab)b2c(bc)c2a(ca)0.(第24届IMO试题21. 已知a,b,c是正数, 则.(2006年巴尔干数学奥林匹克试题)22. 设a,b,c是正实数,且a2b2c21,求证：abc4.(2000年哈萨克斯坦数学奥林匹克试题)23. 设xy0，证明：x3.(1981年南斯拉夫数学奥林匹克试题)24. 设a, b, c是正数,且abc1,证明: 8(abbcca)()9.(2006年Macedonian数学奥林匹克试题)25. 设a,b,c为正数,证明：2.(1992年波兰奥地利数学奥林匹克试题)26. 设x,y,z为正数, 求证： .(1997年香港数学奥林匹克集训队试题)27. (1)已知x,y0,证明.(2)已知a, b,c0,证明.(2005年罗马尼亚数学奥林匹克试题)28. 设x, y, z是正实数, x(yz)2, y(zx)2, z(xy)2,求证：a2b2c22(abbcca).(2009年中国东南地区数学奥林匹克试题)29. 数列满足.求证: . 30. 设为非负实数, 求证：31. 设和是大于1的整数，求证：32. 在平面直角坐标系XOY中，y轴正半轴上的点列An与曲线y=(x0)上的点列Bn满足|OAn|=|OBn|=，直线AnBn在x轴上的截距为an，点Bn的横坐标为bn，nN* 证明anan+14，nN*； 证明有n0N*，使得对nn0，都有+n20042014年全国高中数学联赛挑战极限-不等式试题参考答案1. 证明：首先用分析法证明一个引理：如果a，b是正数，则. 事实上，2(a2b2)3(a3b3)(ab)32(a6b63a4b23a2b4)(a3b3)(a3b33a2b3ab2)2(a6b63a4b23a2b4)a6b62a3b33a5b3ab53a4b23a2b4a6b63a4b23a2b42a3b33a5b3ab5a6b62a3b33a4b23a2b43a5b3ab50(a3b3)23ab(a4b4a3bab3)0(a3b3)23ab(a3b3)(ab)0(a3b3)(a3b33ab(ab)(a3b3)(a33a2b3ab2b3)(ab)4(a2abb2)0.于是由引理有. 于是，只要证明2(abcd)4.而ab，同理bc， cd， da，于是只要证明42. 由题设()()()()8，由柯西不等式得()()()()()16，即8()16，从而不等式成立.原不等式得证.2. 证明：首先证明一个不等式：ln(1x)x, x0. 事实上,令h(x)xln(1x), g(x)ln(1x).则对任一x0, h(x)10, g(x)0.于是, h(x)h(0)0, g(x)g(0)0. 不等式得证.在中取x, 得ln(1).令xn()lnn, 取x1, xnxn-1ln(1)0,因此, xnxn-1x1.又因为lnn(lnnln(n1)(ln(n1)ln(n2)(ln2ln1)ln1ln(1).从而xn()ln(1)(ln(1)(ln(1)()11.所以,1()lnn, n1,2,3,.3. 证明：设 f(x), 则f(x), 于是f(x)在(,上单调递增,在,+)上单调递减. 因为f (1),所以 f(x)的图象在点(1,)的切线方程为y(x1),即y(x1).又(x1),所以,当maxa,b,c时, (a1)0, 同理, (b1)0, (c1)0,而abc3,将以上三个不等式相加得.当maxa,b,c时, f(x)在(,上单调递增,在,+)上单调递减. 所以有f(a)f(b)f(c)f()f()f().综上所述, f(a)f(b)f(c).4. 证明： 显然有0a,b,c,d0) 0bn且bn递减，n2bn=n(n)= =单调增 0n且tn单调减由截距式方程知，+=1，(12n2bn=n2bn2) an=()2+()=tn2+tn=(tn+)2(+)2=4且由于tn单调减，知an单调减，即anan+14成立亦可由=bn+2=，得 an=bn+2+， 由bn递减知an递减，且an0+2+=4 即证(1)20041=k2()2()2) (1)(+)+(+)+只要n足够大，就有(1)2004成立33. 求函数的最大和最小值【解析】 函数的定义域为.因为当时等号成立故的最小值为5分又由柯西不等式得 所以 10分由柯西不等式等号成立的条件，得，解得故当时等号成立因此的最大值为15分34. 设，求证：当正整数n2时，an+1an.证明：由于，因此，于是，对任意的正整数n2，有，即an+1an.35. 已知，是实数，方程有两个实根，数列满足，()求数列的通项公式（用，表示）；()若，求的前项和.【解析】 方法一：()由韦达定理知，又，所以，整理得令，则所以是公比为的等比数列数列的首项为：所以，即所以当时，变为整理得，所以，数列成公差为的等差数列，其首项为所以于是数列的通项公式为；5分当时， 整理得，所以，数列成公比为的等比数列，其首项为所以于是数列的通项公式为10分()若，则，此时由第()步的结果得，数列的通项公式为，所以，的前项和为以上两式相减，整理得所以15分方法二：()由韦达定理知，又，所以，特征方程的两个根为，当时，通项由，得， 解得故 5分当时，通项由，得 ， 解得，故 10分()同方法一江苏省如皋中学2014年全国高中数学联赛冲刺试题（六）一试（ 本卷分2大题，11小题。考试用时：80分钟，满分：120分 ）一、填空题（本题满分64分，每小题8分）1. 当时，三项的大小顺序是_.2. 3. 已知四