高三数学复习专题讲座(第一讲)集合与集合思想.doc

向往阳光数学教学工作室 QQ：861791625 1943580574第一讲、对集合的理解及集合思想应用的问题一、1、集合语言是一种特殊的符号语言，是现代数学的基本语言，所以要学好高中的数学，首先必须深层次的理解集合的概念及其内涵，跟我们生活是一样的，如果连语言都不通的话，就跟谈不上很好的交流和表达了。2、集合的学习，不仅仅局限与集合里面简单的计算，而需要更深层次的理解集合思想内涵，许多同学在学习集合，在学习高中数学的时候，有种“力不从心”的感觉，总是“一看就会，一听就懂，一做就错”，很大程度上是因为没有真正理解其中的思想内涵，仅仅是停留在表面的理解。3、集合是个原始概念，只作描述性的解释：若干个确定对象的全体，可以看作一个集合，组成集合的对象称为集合的元素。从这个概念，至少可以看到三个研究方向：集合中元素的研究；单个集合本身的研究；若干个集合之间关系的研究（函数就是两个集合之间按照一定规则的对应关系）。2、 透过集合的描述法理解集合。对于用描述法给出的集合x|xP1、 翻译，高中数学的学习，要注意自然语言，符号语言，图像语言之间的相互转化。代表元素x可以翻译成：是什么？它所具有的性质P可以翻译成：有多少？2、 研究两个集合之间的关系，也就可以通过研究集合里面元素之间的关系来解决。3、 形式：对于性质P，在数学语言中，代表着一种形式，也就是说，只要满足这样形式的个体x，则可以看着是集合的元素。在许多的数学题型中，需要对数学表达式进行变形，变成我们需要或者是熟悉的能够解决问题的形式。如：，的最小值，这里有两种方式：1、用消元法，2、讲即：=原式，这里显然方法第二种形式要简洁一些。如：，（1）判断集合的关系（2）证明之间的关系解析：（1）这作为一个判断题目，可以通过对集合的翻译研究他们之间的关系 对集合A：1、x：数2、奇数3、观察，x可以去到-3,-2,1,34、A集合为全体奇数，同理：B集合也是全体奇数，故：A=B（2） 要证明A=B，即需要证明A，B互为彼此的子集，即，这里也就需要证明A中的元素能够表示成B中元素具有的形式P的形式，反之亦然。证明：一方面：任取：（下面需要写成4的整数倍的形式） 1、若 2、若 另一方面：任取： 1、若 2、若 综上：A=B注：代表元： 1、在集合中，字母只是一个代号，不同集合中相同的字母不一定代表相同的含义或者相同的数字。2、 不同的字母可以表达相同的含义，如是同一个方程。这涉及到后面的换元法。4、 整体思想。从上面的例题，我们不难发现，在研究两个集合的关系的时候，事实上，我们需要将两个集合看成不同的整体，在换元法中，我们常常将一个表达式看成整体，这样可以使得运算和解答变得简洁。3、 透过文氏图看数形结合。数行结合许多时候能够将复杂的东西简单化。如，在命题中，命题P：我们都去看电影，那么非P是_刚刚开始学习时候会觉得这个题目有点绕，因为在我们自然语言中，一般的理解方式是：非P为_我们都不去看电影，但是这答案是错误的。通过图形理解：P应该是，所以：非P应该是，即，我不去看电影或者你不去看电影（或者写成我们之间至少有一个人不去看电影），事实上：，这里其实蕴含着分类讨论的思想。如：1、 用形式转化，设转化为三角函数的最值（通过辅助角公式）2、 用数形结合，注：翻译，包括：文字（自然语言），数学表达式，图形（包括示意图，或者自己便于理解构造的图形符号）之间的相互转化。4、 透过差集对看“拆分”。在数学的许多模型中，我们需要对原来的数学表达式，进行拆分，以便于计算或者与题目的已知条件联系起来。如：，证明为增函数 解析：证明函数的单调性，我们一般用定义，按照格式： （若题目告知,可以拆分，有时候需要利用商的形式进行拆分）如，研究的性质，用到分子常数化=1、 定义域：2、 值域：3、 渐近线：4、 单调区间：单调减区间：（因为不连续，所以这里不能用并）5、 对称中心：5、 集合之间关系与命题的联系。1、 2、 3、6、 例题讲解：1、 设集合（1） 属于M的两个整数，其积是否仍属于M，为什么？（2） 9,10是否属于M，为什么？解析：（1）考察了对集合的翻译：M：所有能写成两个整数平方差的数，要证明一个数在M内，需要证明：1、是整数，2、能写成两个整数平方差的形式 任取,则 （2）涉及到具体的数字，1、若能够找到集合要求的两个整数，即在M中，2、若找不到，可以用反证法。假设，显然两方程组无整数解，所以2、 ，若,求的取值解析：对集合意义的理解，数形结合，分类讨论。对A：直线上去掉（1,2）剩下的点构成的点集。对B：是一直线，或者是（这里用到直线的表达式：）(1) 、(2) 两直线平行（斜率相同），写出两直线，说明不重合。满足题意(3) （1,2）3、设f(x)=x2+px+q,A=x|x=f(x),B=x|ff(x)=x (1)求证 AB;(2)如果A=1，3，求B 解析：(1)用定义证明即可：证明 任取x0Ax0=f(x0) 即有ff(x0)=f(x0)=x0,x0B,故AB (2)证明 A=1,3=x|x2+px+q=x,方程x2+(p1)x+q=0有两根1和3，应用韦达定理，得f(x)=x2x3 于是集合B的元素是方程ff(x)=xx=1,3, 故B=，1，3 4、已知集合A=(x,y)|x2+mxy+2=0,B=(x,y)|xy+1=0,且0x2,如果AB,求实数m的取值范围 解析：已知集合A=(x,y)|x2+mxy+2=0,B=(x,y)|xy+1=0,且0x2,如果AB,求实数m的取值范围 解 翻译：AB，x2+(m1)x+1=00，2上至少有一个实数解 方法一，利用根与系数的关系：=(m1)240,m3或m1,（1）若m3，x1+x2=(m1)0及x1x2=10知，方程只有负根，不符合要求 （2）当m1时，由x1+x2=(m1)0及x1x2=10知，方程只有正根，且必有一根在区间(0，1内，从而方程至少有一个根在区间0，2内 故所求m的取值范围是m1 方法二，参变量分离 （这里考察了双钩函数的值域问题）7、 练习题：1、 ，2、 已知集合，求3、 设4、 已知（1） 若是否属于Z（2） 当可以表示成两个有