广州市海珠区高二下学期期末联考数学(理)试题.doc

海珠区2013-2014学年下学期期末联考试题高二数学本试卷共4页，20小题，满分150分考试用时120分钟注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班级、姓名、考室号、座位号填写在答题卡上；填写考生编号，并用2B铅笔把对应号码的标号涂黑。2选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试卷上。3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按要求作答的答案无效。4考生必须保持答题卡的整洁，考试结束，将答题卡交回监考老师，试卷自己保管。5本次考试不允许使用计算器。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.下列求导运算正确的是( )A. B.C. D.2.已知是实数，是纯实数，则等于（ ）A. B. C. D.3.已知向量，且，则（ ）A. B. C. D.4.已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则的值为（ ）A. B. C.10 D.45.设集合，那么“aM”是“aN”的（ ）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件6.在高台跳水运动，运动员相对于水面的高度（单位：）与起跳后的时间（单位：）存在函数关系，则瞬时速度为的时刻是（ ）A. B. C. D.7.下列选项中，说法正确的是( )A.命题“若,则”的否命题为:“若,则”.B.命题“若，则”的逆命题是真命题.C.命题“”的否定是:“”.D.命题“若,则”的逆否命题为真命题.8.抛物线的焦点为，其准线经过双曲线的左顶点，点 为这两条曲线的一个交点，且，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分9.定积分 = .10.在二项式的展开式中,含项的系数是 .11.从5本不同的书中选3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法有 种.（用数字作答）12.已知随机变量的分布列是0120.4第13题则 .13.右图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽 4米，水位上升1米后，水面宽 米.14.若等差数列的公差为，前项和为.则数列为等差数列，公差为.类似地，若正项等比数列的公差为，前n项和为.则数列 为等比数列，公差为 三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤15.（本小题满分12分）在中，三个内角、的对边分别为、，且、成等差数列，（）求的值；（）若、成等比数列, 求证:为等边三角形.16.（本小题满分12分）已知函数的图像过点，且在点处的切线方 程为.（）求的值；（）求函数的单调区间.17.（本小题满分14分）已知盒中有2个红球和2个黑球.盒中有2个红球和3个黑球，现从盒与盒中各取一个球出来再放入对方盒中.（）求盒中有2个红球的概率；（）求盒中红球数的分布列及数学期望18（本小题满分14分）如图，在等腰直角三角形中， .点、分别是PB，的中点，现将沿着边折起到位置，使，连结，.（）求证:；（）求二面角的平面角的余弦值.19（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，直线的方程为，过点且与直线相切的动圆的圆心为点，记点得轨迹为曲线.（）求曲线的方程;（）若直线与曲线相交于B，C两点，过B点作直线的垂线，垂足为D，O为坐标原点，判断D，O，C三点是否共线？并证明你的结论.20 （本小题满分14分）已知函数（）若时，函数的图像恒在直线上方，求实数的取值范围；（）证明：当时，.海珠区2013-2014学年下学期期末联考参考答案及评分标准高二数学一、选择题（每小题5分，共8小题，共40分）题号12345678答案CBCDBADA 二、填空题（每小题5分，共6小题，共30分）9. 10. 240 11. 60 12.0.6 13. 14.三、解答题（共6小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15. （本小题满分12分）证明：（）由成等差数列，有， 2分 因为为的内角，所以， 3分 4分（）由成等比数列， 6分由余弦定理可得，8分代入得，即，因此， 10分从而， 由此可得， 11分所以为等边三角形. 12分16. （本小题满分12分）解：（）点在切线上，. 1分又函数图象在点处的切线斜率为8， ， 2分又， 3分. 4分解方程组，可得 6分（）由（）得，令解得 8分由，可得； 9分由，可得. 10分函数的单调增区间为，单调减区间为.12分17（本小题满分14分）解:（）盒与盒中各取一个球出来再放入对方盒中后，盒中还有2个红球有下面两种情况：互换的是红球，将该事件记为，则：； 3分互换的是黑球，将该事件记为，则：； 6分故盒中有2个红球的概率为； 8分（） 盒中红球数的所有可能取值为1，2，3. 9分而； ；12分因而的分布列为： 12313分. 14分18.（本小题满分14分） 解：（）点分别是、的中点， 1分 ， , -2分, -3分平面. -4分 平面, . -5分（）法1：取的中点，连结、 -6分, . -7分 , 平面. -8分平面, . -9分 平面. -10分平面, . -11分是二面角的平面角. -12分在Rt中, ，在Rt中, ， -13分 二面角的平面角,. -14分法2：由题意知，建立如图所示的空间直角坐标系 -6分 则（1，0，0），（2，1，0），（0，0，1）. -7分=（1，1，0），=（1，0，1）, -8分设平面的法向量为，则：， -9分 令，得， -10分=（1，1，1）. -11分显然，是平面的一个法向量，=（） -12分cos= -13分二面角的平面角的余弦值是. -14分19（本小题满分14分）（）解法1：由题意, 点到点的距离等于它到直线的距离, 故点的轨迹是以点为焦点, 为准线的抛物线. 2分 曲线的方程为. 4分解法2：设点的坐标为,依题意, 得, 即, 2分 化简得. 曲线的方程为. 4分（）答：三点共线. 5分证明: 设点的坐标分别为， 6分依题意得，. 7分 由消去得， 9分 解得. . 11分直线的斜率， 12分 直线的斜率， 13分，故三点共线. 14分20. （本小题满分14分）解：（）当时，函数的图像恒在直线上方，等价于当时，恒成立， 1分即恒成立， 2分令，则 3分当时，故在上递增， 当时，故在上递减，4分为在区间上的极小值，仅有一个极值点故为最小值，时， 5分所以实数的取值范围是 6分 （）证明1(构造函数法)：由（1）知当，时，,即 8分令，则， 10分即得 11分 1