专题5几何证明选讲.docx

星火教育专题5 几何证明选讲曾繁灼一. 知识梳理平行线等分线段定理平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。推理1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。推理2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。平分线分线段成比例定理平分线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。相似三角形的判定及性质相似三角形的判定：定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）。由于从定义出发判断两个三角形是否相似，需考虑6个元素，即三组对应角是否分别相等，三组对应边是否分别成比例，显然比较麻烦。所以我们曾经给出过如下几个判定两个三角形相似的简单方法：（1）两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；（3）三边对应成比例，两三角形相似。预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与三角形相似。定理：（1）如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似；（2）如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似。定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。相似三角形的性质：（1）相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应平分线的比都等于相似比；（2）相似三角形周长的比等于相似比；（3）相似三角形面积的比等于相似比的平方。相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方。直角三角形的射影定理射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项。圆周定理圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数。推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径。圆内接四边形的性质与判定定理定理1：圆的内接四边形的对角互补。定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。圆内接四边形判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆。圆的切线的性质及判定定理 切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。弦切角的性质弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。与圆有关的比例线段相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。割线定理：从园外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。二. 广东文科数学考试说明几何证明选讲（1）了解平行线截割定理，会证直角三角形射影定理。（2）会证圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理。（3）会证相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理。（4）了解平行投影的含义，通过圆柱与平面的位置关系了解平行投影；会证平面与圆柱面的截线是椭圆（特殊情形是圆）三.高考真题回顾（2007，15）(几何证明选讲选做题)如图所示，圆的直径，为圆周上一点，过作圆的切线，过作的垂线，垂足为， 则= ；（2008，15）（几何证明选讲选做题）已知是圆的切点，切点为，；是圆的直径，与圆交于点，则圆的半径_；OBAC（2009，15）（几何证明选讲选做题）如图 ，点是圆上的点，且，则圆的面积等于 ；（2010，14）（几何证明选讲选做题）如图，在直角梯形中， ，点分别为线段的中点，则=_；（2011，15）（几何证明选讲选做题）如图4，在梯形中，分别为上的点，且，则梯形与梯形的面积比为_；（2012，15）(几何证明选讲选做题)如图所示，直线与圆想切于点，是弦上的点，若，则_。1. （2013,15）（几何证明选讲选做题）如图，在矩形中，垂足为，则=_；四.模拟题大练兵1 （广东省潮州市2013届高三第二次模拟考试数学（文）试题）(几何证明选讲选做题)如图3,圆的割线交圆于、两点,割线经过圆心.已知,.则圆的半径. 图32 （广东省广州市2013届高三4月综合测试（二）数学文试题（WORD版）(几何证明选讲选做题)在中,是边的中点,点在线段上,且满足,延长交于点,则的值为_. 3 （广东省江门佛山两市2013届高三4月教学质量检测（佛山二模）数学文试题）(几何证明选讲)如图,圆的直径,直线与圆O相切于点, 于D,若,设,则_.第15题图4 （广东省茂名市2013届高三4月第二次高考模拟数学文试题（WORD版）(几何证明选做题)如图所示,AB是半径等于3的圆的直径,D是圆O的弦,BA,DC的延长线交于点P 若PA=4,PC=5,则_文字说明、证明过程和演算步骤)5 （广东省汕头市潮阳黄图盛中学2013届高三4月练习数学(文)试题）(几何证明选讲选做题)已知PA是圆O的切点,切点为A,PA=2.AC是圆O的直径,PC与圆O交于B点,PB=1,则圆O的半径R=_.6 （广东省韶关市2013届高三4月第二次调研测试数学文试题）(几何证明选讲选做题)如图所示,O上一点C在直径AB上的射影为D,CD=4,BD=8,则O的半径等于_.7 （广东省深圳市2013届高三第二次调研考试数学文试题）(几何证明选讲)如图,是外一点,与相切于点,割线与相交于点,且,则_.（第14题图）8 （广东省湛江市2013届高三4月高考测试（二）数学文试题（WORD版）(几何证明选讲选做题)如图,点A、B、C都在O上,过点C的切线交AB的延长线于点D,若AB = 5, BC = 3,CD = 6,则线段AC的长为_9 （广东省肇庆市2013届高三4月第二次模拟数学（文）试题）(几何证明选讲选做题)如图,在中,斜边,直角边,如果以C为圆心的圆与AB相切于,则的半径长为_.专题5 几何证明选讲参考答案三.高考真题回顾2007【解析】由某定理可知,又,故；2008【解析】依题意，我们知道,由相似三角形的性质我们有,即。2009【答案】；【解析】连结， 因为 ，所以，为等边三角形,故圆的半径, 圆的面积；2010【答案】；2011【解析】如图，延长， ，2012【解析】_ 得：2013【答案】；【解析】因为在矩形中，