石大概率5-2.ppt

课前复习 基本概念 1 总体和个体 总体的r v 表示 2 样本与样本观察值样本 样本容量 样本观察值 样本的二重性3 简单随机样本 一 代表性 二 独立性 注 样本是一个n维随机变量 且各分量相互独立并与总体同分布 4 统计量 定义 统计量 设为总体X的一个样本 为一个连续函数 如果不含有任何未知参数 则称为 一个 统计量 注 统计量具有二重性 一些常见的统计量 定理1设为总体X的一样本 则 结论1设 则 结论2设为总体X的一样本 且 则有 EXk存在 是样本k阶原点矩 练习 设总体X 试写出样本的联合密度函数 解样本的联合密度函数为 几个常用统计量的分布 一 分布 构造性定义 图形特点 常见性质 概率计算 结论1 设 结论2 二 t 分布 定义设且X Y独立 则称随机变量 服从自由度为n的t分布 记为 注 1 t分布的密度函数为 注 2 t分布的密度函数的图形 特点 单峰 对称对称轴为y轴 三 F分布 定义设且U V独立 服从自由度为m n的F分布 记为 则称随机变量 注 1 F分布的密度函数为 注 2 F分布的密度函数的图形 特点 单峰 不对称 性质2 设 易证 证明略 结论1设为总体的样本 分别是样本均值和样本方差 则 注 此结论在数理统计的理论中占有重要地位 证明略 结论2设为总体的样本 分别是样本均值和样本方差 则 证由结论1知 且二者独立 由t分布的定义知 第二节参数估计 统计推断的基本问题有两类 参数估计和假设检验 参数估计的方法常用的有两种 点估计和区间估计 一 点估计 定义 点估计 设为未知参数 一般用样本构造一个统计量 来作为参数真值的估计 我们称为未知参数的估计量 也称为的点估计 点估计方法有 矩估计法和最大似然估计法 1 矩估计法 即取 也可取 例1设总体X在 a b 上服从均匀分布 a b均为未知 试求a b的矩估计 令 即 解得 例2设总体X的均值及方差都存在 但均为未知 又设为X的一个样本 试求的矩估计 注意本例的结果与总体服从什么分布无关 解由题 令 特别当总体X 的矩估计量为 解1 由 练习 1 设求的矩估计 2 设求的矩估计 知 解2 由 知 又由 知 由此可见 矩估计量可能不唯一 例3设为X的一个样本 总体分布密度为其中未知 求的矩估计量 解由于 令 即 解得的矩估计为 最大似然估计法是点估计的一种重要方法 2 最大似然估计法 引例 设罐中装有许多白球和黑球 只知两种球的比数是3 1 但不知道是白球多还是黑球多 今若随机抽取两球 每次取一只 有放回 全为黑球 试估计从罐中任取一球得黑球的概率p 分析 设抽取一球是黑球的概率为p A表示 第一次取到黑球 B表示 第二次取到黑球 则两次都取到黑球的概率为P AB 由所给条件知 估计更合理一些 这种选取估计的思想是 选取p的估计值 是使得在时 已经发生的事件的概率要达到最大 选择使达最大的作为未知参数的真实值的估计 这种估计法称为最大似然估计法 即 常称 式为对数似然方程 解 似然函数 因此p的极大似然估计为 解 似然函数 因此的极大似然估计为 例2 求 的最大似然估计 解得 通常称上述方程组为 对数 似然方程组 解 似然函数为 解方程组得 故的极大似然估计量为 最大似然估计有如下性质 若的最大似然估计 有单值反函数 则的最大似然估计 如上例中 有单值反函数 所以的最大似然估计为 求最大似然估计的方法除上述解似然方程外 常用的还有观察法 例设总体X在 a b 上服从均匀分布 a b均为未知 为来自X的一个样本值 试求a b的最大似然估计量 解先写出似然函数 下面用观察法求a b的最大似然估计量 注意到似然函数可以写成如下形式 故知 要使似然函数达到最大 a b应满足 由此得a b的