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文档简介

移动最小二乘法 移动最小二乘法是形成无网格方法逼近函数的方法之一 已在无网格方法中得到广泛应用 其优点是有很好的数学理论支持 因为基于最小二乘法 所以数值精度较高 对于每个固定点 移动最小二乘法即为通常的最小二乘法 最小二乘法的缺点也是移动最小二乘法的缺点 即易形成病态或奇异的方程组 移动最小二乘法原理 假设待求函数u x 在求解区域 中的N个节点xi i 1 2 N 处的函数值ui u xi 是已知的 我们的目的是在区域 中构造待求函数u x 的全局近似函数uh x 待求函数在计算点x的领域 x内可以局部近似为 二维空间中单项式基函数分类 线性基 二次基 紧支集 定义域为D的函数f x 具有紧支集是说集合 x f x 0 属于D内部 f x 0在D的边界达到 将求解区域 用N个节点离散 在每个节点xi i 1 2 N 处定义一个权函数 权函数 i只在节点xi周围的有限区域 i中大于零 而在该领域外均为零即该函数式紧支的 区域 i称为权函数 i x 的支撑域也称为节点xi的支撑域或节点xi的影响域 设计算点x的邻域 x包括N个节点 近似函数在这些节点处的误差的加权平方和如下 上式可用矩阵形式表示为 式中 为了得到对J取极值即得 即 式中A x 和B x 分别为 进一步又可得 这样逼近函数uh x 的表达式为 式中 x 为形函数 最小二乘法与移动最小二乘法比较 1 拟合函数的建立不同 移动最小二乘法建立拟合函数不是采用传统的多项式或其它函数 而是由一个系数向量a x 和基函数p x 构成 这里a x 不是常数 而是坐标x的函数 2 引入紧支 CompactSupport 概念 认为点x处的值y只受x附近子域内节点影响 这个子域称作点x的影响区域 支撑域 影响区域外的节点对x的取值没有影响 在影响区域上定义一个权函数 x 如果权函数在整个区域取为常数 就得到传统的最小二乘法 优势 移动最小二乘法的这些改进能够带来许多优点 减缓或解决传统曲线曲面拟合过程中存在的困难 可以取不同阶的基函数
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