2019_2020学年高中数学第2章数列2.3.1等比数列（第2课时）等比数列的性质学案新人教B版必修5.docx

第2课时等比数列的性质学 习 目 标核 心 素 养1.掌握等比数列的性质及其应用(重点)2.熟练掌握等比数列与等差数列的综合应用(难点、易错点)3.能用递推公式求通项公式(难点)1.通过等比数列性质的学习，培养学生的逻辑推理的素养2.通过等比数列与等差数列的综合应用的学习，提升学生的数学运算素养.1“子数列”性质对于无穷等比数列an，若将其前k项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为ak1，公比为q；若取出所有的k的倍数项，组成的数列仍为等比数列，首项为ak，公比为qk.2等比数列项的运算性质在等比数列an中，若mnpq(m，n，p，qN)，则amanapaq.特别地，当mn2k(m，n，kN)时，amana.对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1ana2an1akank1.3两个等比数列合成数列的性质若数列an，bn均为等比数列，c为不等于0的常数，则数列can，anbn，也为等比数列4等比数列的单调性公比q单调性首项a1q10q1q1q0递增数列递减数列常数数列摆动数列a10，且a2a42a3a5a4a636，求a3a5的值；(2)若a1a2a37，a1a2a38，求数列an的通项公式解(1)a2a42a3a5a4a636，a2a3a5a36，(a3a5)236，又an0，a3a56.(2)aa1a3代入已知，得a8，a22.设前三项为，2,2q，则有22q7.整理，得2q25q20，q2或q.或an2n1或an23n.在等比数列的有关运算中，常常涉及到次数较高的指数运算若按常规解法，往往是建立a1，q的方程组，这样解起来很麻烦通过本例可以看出：结合等比数列的性质进行整体变换，会起到化繁为简的效果1在等比数列an中，已知a4a72，a5a68，求a1a10.解因为数列an为等比数列，所以a5a6a4a78.联立可解得或当时，q3，故a1a10a7q37；当时，q32，同理，有a1a107.灵活设项求解等比数列【例2】有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数解法一：设四个数依次为ad，a，ad，由条件得解得或所以，当a4，d4时，所求四个数为0,4,8,16；当a9，d6时，所求四个数为15,9,3,1.故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.法二：设四个数依次为a，a，aq(a0)，由条件得解得或当a8，q2时，所求四个数为0,4,8,16；当a3，q时，所求四个数为15,9,3,1.故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.合理地设出所求数中的三个数，根据题意再表示出另一个是解决这类问题的关键，一般地，三个数成等比数列，可设为，a，aq；三个数成等差数列，可设为ad，a，ad2三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则这三个数成等差数列，求这三个数解设三个数依次为，a，aq，aaq512，a8.(aq2)2a，2q25q20，q2或q，这三个数为4,8,16或16,8,4.由递推公式转化为等比数列求通项探究问题1如果数列an满足a11，an12an1(nN)，你能判断出an是等差数列，还是等比数列吗？提示由等差数列与等比数列的递推关系，可知数列an既不是等差数列，也不是等比数列2在探究1中，若将an12an1两边都加1，再观察等式的特点，你能构造出一个等比数列吗？提示在an12an1两边都加1得an112(an1)，显然数列an1是以a112为首项，以q2为公比的等比数列3在探究1中，若将an12an1改为an13an5，又应如何构造出一个等比数列？你能求出an吗？提示设将an13an5变形为an1x3(anx)将该式整理为an13an2x与an13an5对比可知2x5，即x；所以在an13an5两边都加，可构造出等比数列.利用等比数列求出an即可求出an.【例3】已知数列an的前n项和为Sn，数列bn中，b1a1，bnanan1(n2)，且anSnn.(1)设cnan1，求证：cn是等比数列；(2)求数列bn的通项公式思路探究(1)先由anSnn，利用Sn与an的关系得an的递推关系式，然后构造出数列an1，利用定义证明即可(2)由(1)求出an代入bnanan1(n2)即可解(1)证明：anSnn，an1Sn1n1.得an1anan11.2an1an1，2(an11)an1，.首项c1a11，又a1a11，a1，又cnan1，c1，cn是以为首项，公比为的等比数列(2)由(1)可知cnn1n，ancn11n.当n2时，bnanan11n1n1n1nn.又b1a1，代入上式也符合，bnn.1已知数列的前n项和或前n项和与通项的关系求通项，常用an与Sn的关系求解2由递推关系an1AanB(A，B为常数，且A0，A1)求an时，由待定系数法设an1A(an)可得，这样就构造了等比数列an3已知数列an中，a11，an1，bn，求数列bn的通项公式解an122，2，即bn14bn2，bn14.又a11，故b11，所以是首项为，公比为4的等比数列，所以bn4n1，bn.1本节课的重点是等比数列性质的应用，难点是等比数列性质的推导2要重点掌握等比数列的常用性质：(1)如果mnkl，则有amanakal；(2)如果mn2k，amana；(3)若m，n，p成等差数列，am，an，ap成等比数列；(4)在等比数列an中，每隔k项(kN)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列；(5)如果an，bn均为等比数列，且公比分别为q1，q2，那么数列，anbn，|an|仍是等比数列，且公比分别为，q1q2，|q1|；(6)等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1ana2an1a3an2.1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积()(2)当q1时，an为递增数列()(3)当q1时，an为常数列()答案(1)(2)(3)2将公比为q的等比数列an依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2，a2a3，a3a4，.此数列是()A公比为q的等比数列B公比为q2的等比数列C公比为q3的等比数列D不一定是等比数列B由于qqq2，n2且nN，anan1是以q2为公比的等比数列，故选B3在等比数列an中，各项都是正数，a6a10a3a541，a4a84，则a4a8_.7a6a10a，a3a5a，aa41.又a4a84，(a4a8)2aa2a4a84