（试题 试卷 真题）矩形问题精选解析（三）

2012届中考数学压轴题矩形问题精选解析(三)例5 如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为A（5，0），C（0，3）射线ykx交折线ABC于点P，点A关于OP的对称点为A（1）当点A 恰好在CB边上时，求CA 的长及k的值；（2）若经过O、A、A 三点的抛物线恰好以A 为顶点，求k的值及该抛物线的解析式；（3）如图2，当点P在AB边上，点A 在CB上方时，连接AO、AP分别交CB边于点E、F是否存在实数k使AEFBPF？若存在，求出k值；若不存在，说明理由；（4）以OP为直径作M，则M与矩形OABC最多有_个公共点，直接写出公共点个数最多时k的取值范围BACxOy备用图BACxOyPA图1BACxOyPA图2EPFP解析：（1）当点A 恰好在CB边上时，连接AO、AP，如图1OAOA5，OC3BACxOyPA图1CA 4ABCBCA541设PAx，则APPAx，BP3x在RtAPB中，AB 2BP 2AP 21 2( 3x )2x 2，解得x ，P（5，）k （2）连接AO、AP、AA，设AA交射线OP于点D，如图2BACxOyPA图2D则OP垂直平分AA经过O、A、A 三点的抛物线恰好以A 为顶点由抛物线的对称性可知AOAA2ADAOD30，AODAOD30PA OA ，P（5，）k 可得AOA60，AOA是等边三角形点A 的坐标为（ ，）设抛物线的解析式为为ya( x )2 把O（0，0）代入上式，得0a( 0 )2 解得a BACxOyPA图3EPFP抛物线的解析式为为y ( x )2 （3）假设存在实数k，使AEFBPF，如图3AB90，AFEBFPAEBP，AFBF设AEBPa，AFBFb则APPA3a，EFPF3ab，OE5aCE5( 3ab )b2a在RtOCE中，OC 2CE 2OE 2BACxOyP图4M3 2( 2a )2( 5a )2，解得a PA3 ，P（5，）k （4）以OP为直径的M与矩形OABC最多有6个公共点提示：OAP90当点P在AB边上时，M经过O、A、P三点，如图4COP90，M必与OC边交于另一点又M与BC边最多有2个公共点M与矩形OABC最多有6个公共点当点P在BC边上时，情况亦然BACxOyP图5DPMEP当M与BC边相切于点D时，连接DM并延长交OA于E，如图5则MDBC，DEABOC，DEOC3M是OP的中点，E是OA的中点ME PA设PAx，则ME x，DM OP DMMEDE， x3解得x ，P（5，）BACxOyE图6DPPPMk 当M与AB边相切于点E时，连接EM并延长交OC于D，如图6设CPx，则DM x，ME OP DMMEDE， x 5解得x ，P（ ，3）k 又当点P与点B重合时，M经过O、A、B、C四点，此时k 当M与矩形OABC有6个公共点时，k的取值范围是：k 且k 例6 DBACOABCD如图，矩形ABCD中，AB1，BC，将矩形ABCD绕中心O顺时针旋转90得到矩形ABCD（1）求点A在旋转过程中所走过的路径的长；（2）求矩形ABCD在旋转过程中所扫过的面积；（3）若点P为线段BC上一点，且使得APA60，则满足条件的点P有几个？请你选择一个点P求APA 的面积解析：（1）易知点A的路径是以O为圆心、以OA长为半径、圆心角为90 的一段圆弧AB1，BC，AC2，OA1点A在旋转过程中所走过的路径的长为： （2）如图，将矩形ABCD绕它的对称中心O旋转90，扫过的面积是图中阴影部分的面积AB1，ADBC，DBAOCCDABEFOGAGDGBECE AB1，ADADBDBC30，OFCACDBDC60AODBOC30S阴影SO 2( S扇形BOD 2 SBOE )SO 2 S扇形BOD 4 SBOE )1 22 4 （cm2）（3）满足条件的点P有2个DBACCDABEP1P2HG提示：在BC上取点P1，使BP1 则AP1B60，P1H AH tanAP1H ，AP1H60AP1A60在BC上取点P2，使P2HAG 则AP2HAAG，AP2AA BP2 1AB，AP2AP2AP2AA，AP2A 是等边三角形AP2A60又AP2A 的外接圆与BC最多有2个交点满足条件