2018-2019学年高中数学_第三章 函数的应用 3.2.1 几类不同增长的函数模型课件 新人教a版必修1

3 2函数模型及其应用3 2 1几类不同增长的函数模型 目标导航 新知探求 课堂探究 新知探求 素养养成 情境导学 导入在同一坐标系内观察图象 1 y 2x y 3x y 4x 2 y log2x y log3x y log4x 3 y x2 y x3 y x4 4 y 2x y log2x y x2 想一想指数函数 对数函数底数大于1时增长快慢有什么规律 幂函数的幂指数大于0且不相同时增长快慢如何 由图象可知 指数函数在x 0时 底数越大增长得越快 对数函数在x 1时底数越大增长得越慢 幂函数在x 1时指数越大增长得越快 知识探究 1 三种函数模型的性质 上升 上升 上升 2 三种函数的增长速度比较 1 在区间 0 上 函数y ax a 1 y logax a 1 和y xn n 0 都是 但不同 且不在同一个 档次 上 增函数 增长速度 2 随着x的增大 y ax a 1 增长速度越来越快 会超过并远远大于y xn n 0 的增长速度 而y logax a 1 的增长速度 3 存在一个x0 当x x0时 有 越来越慢 logax xn ax 拓展延伸 三种函数模型的增长差异 1 指数型函数模型 y k ax b 当k 0 a 1或k0 01时 在 0 上为减函数 2 对数型函数模型 y k logax b 当k 0 a 1或k0 01时 在 0 上为减函数 3 幂型函数模型 y kxn b 当k 0 n 0时 在 0 上为增函数 y kxn b 当k0时 在 0 上为减函数 自我检测 1 单调性 下列函数在 0 上单调递增的是 C 2 增长速度比较 当x越来越大时 下列函数中 增长速度最快的应该是 A y 100 x B y log100 x C y x100 D y 100 x D 解析 几种函数模型中 指数函数增长速度最快 故选D C 3 函数模型 对于两个变量x y有如下一组数据 则x y间拟合效果最好的曲线方程是 A y log2x B y 2x C y 2x D y x2 4 函数模型 若长方形的长x是宽的2倍 则该长方形的面积y与x之间的关系式为 题型一 图象信息迁移问题 课堂探究 素养提升 例1 如图所示 折线是某电信局规定打长途电话所需要付的电话费y 元 与通话时间t 分钟 之间的函数关系图象 根据图象填空 解析 1 由题中图象可知 当0 t 3时 电话费都是3 6元 2 由题中图象可知 当t 5时 y 6 需付电话费6元 1 通话2分钟 需付电话费元 2 通话5分钟 需付电话费元 3 如果t 3 则电话费y 元 与通话时间t 分钟 之间的函数关系式为 答案 1 3 6 2 6 3 y 1 2t t 3 方法技巧解答图象信息迁移题的方法 1 明确横轴 纵轴的意义 如本题中横轴t表示通话时间 纵轴y表示电话费 2 从图象形状上判定函数模型 如本题中在区间 0 3 和 3 上均是直线型 3 抓住特殊点的实际意义 特殊点一般包括最高点 最大值点 最低点 最小值点 及折线的拐角点等 4 通过方程 不等式 函数等数学模型化实际问题为数学问题 即时训练1 1 某工厂6年来生产某种产品的情况是 前三年年产量的增长速度越来越快 后三年年产量的增长速度保持不变 则可以用来描述该厂前t年这种产品的年产量c与时间t的函数关系的是 解析 注意以下几种情形 图 表示不再增长 图 表示增速恒定不变 图 表示增长速度越来越快 图 表示增长速度逐渐变慢 故选A 备用例1 一天 亮亮发烧了 早晨他烧得很厉害 吃过药后感觉好多了 中午时亮亮的体温基本正常 但是下午他的体温又开始上升 直到半夜亮亮才感觉身上不那么发烫 下列各图中能基本上反映出亮亮这一天 0时 24时 体温的变化情况的是 解析 观察图象A 体温逐渐降低 不合题意 图象B不能反映 下午体温又开始上升 图象D不能体现 下午体温又开始上升 与 直到半夜才感觉身上不那么发烫 故选C 题型二 常见函数模型增长趋势的比较 例2 函数f x 2x和g x x3 x 0 的图象 如图所示 设两函数的图象交于点A x1 y1 B x2 y2 且x1 x2 解 1 C1对应的函数为g x x3 x 0 C2对应的函数为f x 2x 1 请指出示意图中曲线C1 C2分别对应哪一个函数 2 结合函数图象 比较f 8 g 8 f 2015 g 2015 的大小 解 2 因为g 1 1 f 1 2 g 2 8 f 2 4 g 9 729 f 9 512 g 10 1000 f 10 1024 所以f 1 g 1 f 2 g 10 所以1x2时 f x g x 且g x 在 0 上是增函数 所以f 2015 g 2015 g 8 f 8 方法技巧由指数函数 对数函数增长的规律识别图象 即指数函数增长的速度越来越快 在某一位置会远远超过幂函数的增长 总存在x0 使x x0时 ax x 即时训练2 1 函数f x lgx g x 0 3x 1的图象如图所示 1 指出图中曲线C1 C2分别对应哪一个函数 2 比较两函数的增长差异 以两图象交点为分界点 对f x g x 的大小进行比较 解 1 C1对应的函数为g x 0 3x 1 C2对应的函数为f x lgx 2 当x 0 x1 时 g x f x 当x x1 x2 时 g x f x 题型三 函数模型的选取 例3 某工厂今年1月 2月 3月生产某种产品分别为1万件 1 2万件 1 3万件 为估测以后每个月的产量 以这三个月的产量为依据 用一个函数模拟该产品的月产量y和月份x的关系 模拟函数可以选用二次函数y ax2 bx c或函数y a bx c 其中a b c为常数 a 0 b 0且b 1 已知4月份该产品的产量为1 37万件 问用上述哪一种函数作为模拟函数好 请说明理由 方法技巧开放型的探究题 函数模型不是确定的 需要我们去探索 去尝试 找到最合适的模型 解题过程一般为 1 用待定系数法求出函数解析式 2 检验 将 1 中求出的几个函数模型进行比较 验证 得出最适合的函数模型 3 利用所求出的函数模型解决问题 即时训练3 1 某工厂生产一种电脑元件 每月的生产数据如表 为估计以后每月对该电脑元件的产量 以这三个月的产量为依据 用函数y ax b或y ax b a b为常数 且a 0 来模拟这种电脑元件的月产量y千件与月份x的关系 请问 用以上哪个模拟函数较好 说明理由 备用例2 某地区植被被破坏 土地沙化越来越严重 最近三年测得沙漠增加值分别为0 2万公顷 0 4万公顷 0 76万公顷 则沙漠增加数y 万公顷 关于年数x的函数关系较为近似的是 题型四 建立函数模型解决实际问题 例4 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上 游回产地产卵 记鲑鱼的游速为v m s 鲑鱼的耗氧量的单位数为Q 研究中发现v与log3成正比 且当Q 900时 v 1 1 求出v关于Q的函数解析式 2 计算一条鲑鱼的游速是1 5m s时耗氧量的单位数 方法技巧数学建模中要对所给条件进行简化及合理的假设 从中区分出主要条件及次要条件 再根据要求选取合适的数学知识来求解 即时训练4 1 为了发展电信事业 方便用户 电信公司对移动电话采用不同的收费方式 其中所使用的 如意卡 与 便民卡 在某市范围内每月 30天 的通话时间x 分 与通话费用y 元 的关系如图所示 1 分别求出通话费用y1 y2与通话时间x之间的函数解析式 2 请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜 题型五 易错辨析 增长趋势把握不准致误 例5 甲 乙 丙 丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动 其路程fi x i 1 2 3 4 关于时间x x 0 的函数关系式分别为f1 x 2x 1 f2 x x2 f3 x x