角动量-补充.ppt

刚体力学 角动量 补充内容 1刚体和刚体的基本运动 1 1刚体的概念 在力作用下 大小和形状都保持不变的物体称为刚体 特殊的质点系 理想化模型 形状和体积不变化 在力作用下 组成物体的所有质点间的距离始终保持不变 1 2刚体的平动和定轴转动 1 刚体的平动 刚体运动时 在刚体内所作的任一条直线都始终保持和自身平行 说说日常生活中刚体平动的例子 平动的特点 平动过程中刚体中各质点的运动情况相同 对刚体的平动研究可归结为对质点运动的研究 O 2 刚体绕定轴的转动 转轴固定不动 定轴转动 刚体内各点都绕同一直线 转轴 作圆周运动 刚体转动 定轴转动的运动特点 转角相同 位移不同 角量相同 线量不同 定义角量描述转动 3 刚体一般运动 例 空间旋转 滚动 刚体一般运动 质心平动 绕质心转动 角坐标 描述刚体绕定轴转动的角量 运动学方程 角速度 角加速度 说明 1 角速度 角加速度在本质上是矢量 2 角速度方向按右手螺旋法则定义 3 角速度增加时 角加速度与其同向 否则 反向 4 定轴转动用正负号表达角速度 投影 方向 绕定轴转动刚体内各点的速度和加速度 当 与质点的匀加速直线运动公式相似 M 刚体 z O rM 任意点都绕同一轴作圆周运动 且 都相同 2 1力矩 2力矩刚体绕定轴转动微分方程 力 改变质点的运动状态 质点获得加速度 力矩 改变刚体的转动状态 刚体获得角加速度 1 力F对z轴的力矩 h A 力不在垂直于轴的平面内 力F在垂直于轴的平面内 写成矢量形式 2 力对点的力矩 O 大小 指向由右螺旋法则确定 例 试证两个质点间相互作用的内力对转轴的合力矩为零 因两叉积矢量夹角为量零 所以 i j 结论 内力的力矩矢量和为零 2 2转动定律 第i个质元 切线方向 在上式两边同乘以ri 对所有质元求和 内力矩之和为0 转动惯量I 刚体绕定轴转动微分方程 刚体的转动定律 与牛顿第二定律比较 ri 刚体绕定轴转动时 刚体对该轴的转动惯量与角加速度的乘积 等于作用在刚体上所有外力对该轴之矩的代数和 2 3转动惯量的计算 定义 质量不连续分布 质量连续分布 确定转动惯量的三个要素 1 总质量 2 质量分布 3 转轴的位置 I与刚体的总质量有关 例如等长的细木棒和细铁棒绕端点轴转动惯量 L z O x dx M I的单位 kg m2 刚体上各质点的质量与该质点到转轴垂直距离平方的乘积之和 I与质量分布有关 例如圆环绕中心轴旋转的转动惯量 例如圆盘绕中心轴旋转的转动惯量 dl O m R O m r dr R O L x dx M z L O x dx M 平行轴定理 z L C M z z I与转轴的位置有关 刚体绕任意轴的转动惯量 刚体绕通过质心的轴 两轴间垂直距离 注意 1 I只是对某个轴的 2 dm的取法 需使dm上各点的r相等 质量为线分布 质量为面分布 质量为体分布 其中 分别为质量的线密度 面密度和体密度 线分布 面分布 体分布 dm为质量元 简称质元 其计算方法如下 1 飞轮的角加速度 2 如以重量P 98N的物体挂在绳端 试计算飞轮的角加速 解 1 2 两者区别 5 2 4转动定律的应用举例 例 求 一轻绳绕在半径r 20cm的飞轮边缘 在绳端施以F 98N的拉力 飞轮的转动惯量I 0 5kg m2 飞轮与转轴间的摩擦不计 见图 一定滑轮的质量为m 半径为r 不能伸长的轻绳两边分别系m1和m2的物体挂于滑轮上 绳与滑轮间无相对滑动 设轮轴光滑无摩擦 滑轮的初角速度为零 例 求 滑轮转动角速度随时间变化的规律 解 以m1 m2 m为研究对象 受力分析 滑轮m 物体m1 物体m2 如图所示的系统 滑轮可视为半径为R 质量为M的均质圆盘 滑轮与绳子间无滑动 水平面光滑 若m1 50kg m2 200kg M 15kg R 0 1m 求物体的加速度及两段绳子的张力 课后习题 m1 m2 M R 3绕定轴转动刚体的动能动能定理 3 1绕定轴转动刚体的动能 z O 的动能为 刚体的总动能 P 绕定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转动惯量与其角速度平方乘积的一半 结论 3 2力矩的功 O 根据功的定义 力矩做功的微分形式 对一有限过程 若M C P 在外力矩的作用下绕定轴转动的刚体产生角位移时 力矩便对刚体做了功 这就是力矩的空间累积效应 3 3转动动能定理 合力矩功的效果 对于一有限过程 绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量 等于在该过程中作用在刚体上所有外力所作功的总和 这就是绕定轴转动刚体的 动能定理 2 力矩的功就是力的功 3 内力矩作功之和为零 讨论 1 合力矩的功 例一根长为l 质量为m的均匀细直棒 可绕轴O在竖直平面内转动 初始时它在水平位置 解 由动能定理 求它由此下摆 角时的 此题也可用机械能守恒定律方便求解 4角动量和角动量守恒定律 4 1质点角动量 动量矩 定理和角动量守恒定律 1 质点的角动量 对O点 其大小 质点的动量矩与质点的动量及位矢 取决于固定点的选择 有关 特例 质点作圆周运动 O S 惯性参照系 力矩作用于刚体总是在一定的时间和空间进行 为了讨论力矩对时间的累积作用 引入新的物理量 角动量 也称动量矩 来讨论物体的转动问题 质点沿任一路径运动 在任一时刻 可定义质点相对O的动量矩 例 一质点m 速度为v 如图所示 A B C分别为三个参考点 此时m相对三个点的距离分别为d1 d2 d3 求此时刻质点对三个参考点的角动量 解 质点角动量定理的积分形式 质点角动量定理的微分形式 2 质点的角动量定理 质点所受合力矩的冲量矩等于质点的角动量的增量 说明 冲量矩是质点角动量变化的原因 质点角动量的变化是力矩对时间的积累结果 3 质点角动量守恒定律 质点角动量守恒 1 守恒条件 2 有心力的角动量守恒 讨论 M O mv1 mv2 应用举例 行星运动的开普勒第二定律 行星对太阳的位矢在相等的时间内扫过相等的面积 当飞船静止于空间距行星中心4R时 以速度v0发射一 求 角及着陆滑行时的速度多大 解 引力场 有心力 质点的角动量守恒 系统的机械能守恒 例发射一宇宙飞船去考察一质量为M 半径为R的行星 质量为m的仪器 要使该仪器恰好掠过行星表面 4 2刚体绕定轴转动情况下的角动量定理和角动量守恒定律 1 刚体定轴转动的角动量 O 质点对Z轴的角动量 刚体上任一质点对Z轴的角动量为 且刚体上任一质点对Z轴的角动量具有相同的方向 所有质元对Z轴的角动量之和 2 刚体定轴转动的角动量定理 对定轴转动刚体 Iz为常量 角动量定理积分形式 定轴转动刚体所受合外力矩的冲量矩等于其角动量的增量 这就是说 如果物体所受的合外力矩等于零 或者不受外力矩的作用 物体的角动量保持不变 这个结论叫做角动量守恒定律 3 刚体定轴转动的角动量守恒定律 对定轴转动刚体 注意 F 0 变形体绕某轴转动时 若 说明 则变形体对该轴的角动量 角动量守恒举例 花样滑冰 跳水 芭蕾舞等 例一均质棒 长度为L 质量为M 现有一子弹在距轴为y处水平射入细棒 子弹的质量为m 速度为v0 求子弹细棒共同的角速度 解 其中 m 讨论 在子弹打中细棒的瞬间 子弹 细棒系统的角动量守恒 水平方向动量守恒 1 合力是质心速度改变的原因 2 合力矩是刚体转动速度改变的原因 两类物理量的对应性 有一圆板状水平转台 质量为M 200kg 半径为R 3m 台上有一人 质量为m 50kg 当他站在离转轴r 1m处时 转台和人一起以 1 1 35rad s