山西省大同一中高二数学上学期12月月考试卷 理（含解析）.doc

2015-2016学年山西省大同一中高二（上）12月月考数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）1下列命题中的假命题是（）axr，lgx=0bxr，tanx=1cxr，x30dxr，2x02命题“x0，x2+x0”的否定是（）ax00，x02+x00bx00，x02+x00cx0，x2+x0dx0，x2+x03下列有关命题的说法正确的是（）a命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x1”b“x=1”是“x25x6=0”的必要不充分条件c命题“xr，使得x2+x+10”的否定是：“xr，均有x2+x+10”d命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题4已知：p：|xa|4，q：（x2）（3x）0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（）aa1或a6ba1或a6c1a6d1a65已知命题：p：“x1，2，x2a0”，命题q：“xr，x2+2ax+2a=0”，若“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是（）aa|a2或a=1ba|a1ca|a2或1a2da|2a16已知f1、f2是椭圆的两焦点，过点f2的直线交椭圆于a、b两点，在af1b中，若有两边之和是10，则第三边的长度为（）a6b5c4d37若直线mxny=4与o：x2+y2=4没有交点，则过点p（m，n）的直线与椭圆的交点个数是（）a至多为1b2c1d08已知椭圆c1： =1（ab0）与双曲线c2：x2=1有公共的焦点，c2的一条渐近线与以c1的长轴为直径的圆相交于a，b两点若c1恰好将线段ab三等分，则（）aa2=ba2=3cb2=db2=29椭圆的焦点为f1、f2，点m在椭圆上，则m到y轴的距离为（）abcd10方程为的椭圆左顶点为a，左、右焦点分别为f1、f2，d是它短轴上的一个顶点，若，则该椭圆的离心率为（）abcd11已知椭圆e：，对于任意实数k，下列直线被椭圆e所截弦长与l：y=kx+1被椭圆e所截得的弦长不可能相等的是（）akx+y+k=0bkxy1=0ckx+y2=0dkx+yk=012设f1、f2分别是椭圆+=1（ab0）的左、右焦点，p为椭圆上任一点，点m的坐标为（6，4），则|pm|+|pf1|的最大值为（）a15b13cd二、填空题（共4小题，每小题4分，共16分）13命题“xr，2x23ax+90”为假命题，则实数a的取值范围为14命题p：x2+2x30，命题q：1，若q且p为真，则x的取值范围是15设f1，f2分别为椭圆+y2=1的焦点，点a，b在椭圆上，若=5；则点a的坐标是16如图，已知椭圆的左顶点为a，左焦点为f，上顶点为b，若bao+bfo=90，则该椭圆的离心率是三、解答题（共5小题，共48分）17已知命题p：x1，2，x2a0；命题q：x0r，使得x02+（a1）x0+10若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数a的取值范围18已知命题p方程2x2+axa2=0在1，1上有解；命题q：只有一个实数x0满足不等式x02+2ax0+2a0，若命题“pq”是假命题，求实数a的取值范围19设椭圆c：过点（0，4），离心率为（）求c的方程；（）求过点（3，0）且斜率为的直线被c所截线段的中点坐标20如图，在平面直角坐标系xoy中，m、n分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于p，a两点，其中点p在第一象限，过p作x轴的垂线，垂足为c，连接ac，并延长交椭圆于点b，设直线pa的斜率为k（1）若直线pa平分线段mn，求k的值；（2）当k=2时，求点p到直线ab的距离d；（3）对任意k0，求证：papb21已知椭圆过点（m，0）作圆x2+y2=1的切线i交椭圆g于a，b两点（）求椭圆g的焦点坐标和离心率；（）将|ab|表示为m的函数，并求|ab|的最大值2015-2016学年山西省大同一中高二（上）12月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）1下列命题中的假命题是（）axr，lgx=0bxr，tanx=1cxr，x30dxr，2x0【考点】命题的真假判断与应用【分析】a、b、c可通过取特殊值法来判断；d、由指数函数的值域来判断【解答】解：a、x=1成立；b、x=成立；d、由指数函数的值域来判断对于c选项x=1时，（1）3=10，不正确故选c【点评】本题考查逻辑语言与指数数、二次函数、对数函数、正切函数的值域，属容易题2命题“x0，x2+x0”的否定是（）ax00，x02+x00bx00，x02+x00cx0，x2+x0dx0，x2+x0【考点】命题的否定【专题】简易逻辑【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“x0，x2+x0”的否定为：x00，x02+x00故选：b【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的关系，基本知识的考查3下列有关命题的说法正确的是（）a命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x1”b“x=1”是“x25x6=0”的必要不充分条件c命题“xr，使得x2+x+10”的否定是：“xr，均有x2+x+10”d命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题【考点】命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】对于a：因为否命题是条件和结果都做否定，即“若x21，则x1”，故错误对于b：因为x=1x25x6=0，应为充分条件，故错误对于c：因为命题的否定形式只否定结果，应为xr，均有x2+x+10故错误由排除法即可得到答案【解答】解：对于a：命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x1”因为否命题应为“若x21，则x1”，故错误对于b：“x=1”是“x25x6=0”的必要不充分条件因为x=1x25x6=0，应为充分条件，故错误对于c：命题“xr，使得x2+x+10”的否定是：“xr，均有x2+x+10”因为命题的否定应为xr，均有x2+x+10故错误由排除法得到d正确故答案选择d【点评】此题主要考查命题的否定形式，以及必要条件、充分条件与充要条件的判断，对于命题的否命题和否定形式要注意区分，是易错点4已知：p：|xa|4，q：（x2）（3x）0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（）aa1或a6ba1或a6c1a6d1a6【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】计算题【分析】根据命题p和q，利用绝对值的性质和一元二次方程的解法分别求出命题p和q，p是q的充分不必要条件可以推出qp，从而求出实数a的取值范围；【解答】解：p：|xa|4，q：（x2）（3x）0，命题p，a4xa+4，q，2x3，p是q的充分不必要条件，pq，qp，可得1a6，当a=6时，可得p，2x10，满足题意；当a=1时，可得p，5x3，满足题意；1a6，故选c；【点评】此题主要考查绝对值的性质及一元二次方程的求法，还考查了充分必要条件的定义，是一道基础题；5已知命题：p：“x1，2，x2a0”，命题q：“xr，x2+2ax+2a=0”，若“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是（）aa|a2或a=1ba|a1ca|a2或1a2da|2a1【考点】命题的真假判断与应用【专题】计算题【分析】先化简两个命题，再由“p且q”是真命题知两个命题都是真命题，故求其公共部分即可【解答】解：命题：p：“x1，2，x2a0”，得a1；命题q：“xr，x2+2ax+2a=0”，得0，解得a1或a2“p且q”是真命题a2或a=1故选a【点评】本题考查命题的真假判断与应用，解题的关键是对两个命题进行等价转化，以及正确理解“p且q”是真命题的意义6已知f1、f2是椭圆的两焦点，过点f2的直线交椭圆于a、b两点，在af1b中，若有两边之和是10，则第三边的长度为（）a6b5c4d3【考点】椭圆的简单性质【专题】计算题【分析】由椭圆的定义得，所以|ab|+|af2|+|bf2|=16，由此可求出|ab|的长【解答】解：由椭圆的定义得 两式相加得|ab|+|af2|+|bf2|=16，又因为在af1b中，有两边之和是10，所以第三边的长度为：1610=6故选a【点评】本题考查椭圆的基本性质和应用，解题时要注意公式的合理运用本题主要考查了椭圆的标准方程和椭圆与其他曲线的关系要求学生综合掌握如直线、椭圆、抛物线等圆锥曲线的基本性质7若直线mxny=4与o：x2+y2=4没有交点，则过点p（m，n）的直线与椭圆的交点个数是（）a至多为1b2c1d0【考点】直线与圆锥曲线的关系【专题】计算题【分析】根据直线与圆没有交点得到圆心到直线的距离大于半径列出不等式，化简后得到m2+n24说明p在o的圆内，根据椭圆方程得到短半轴为2，而圆的半径也为2，所以点p在椭圆内部，所以过p的直线与椭圆有两个交点【解答】解：由题意圆心（0，0）到直线mxny=4的距离d=2=r，即m2+n24，点（m，n）在以原点为圆心，2为半径的圆内，与椭圆的交点个数为2，故选b【点评】此题要求学生掌握直线与圆的位置关系，会用点到直线的距离公式化简求值，以及掌握椭圆的简单性质8已知椭圆c1： =1（ab0）与双曲线c2：x2=1有公共的焦点，c2的一条渐近线与以c1的长轴为直径的圆相交于a，b两点若c1恰好将线段ab三等分，则（）aa2=ba2=3cb2=db2=2【考点】椭圆的简单性质；圆锥曲线的综合【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】先由双曲线方程确定一条渐近线方程为y=2x，根据对称性易知ab为圆的直径且ab=2a，利用椭圆与双曲线有公共的焦点，得方程a2b2=5；设c1与y=2x在第一象限的交点的坐标为（x，2x），代入c1的方程得：；对称性知直线y=2x被c1截得的弦长=2x，根据c1恰好将线段ab三等分得：2x=，从而可解出a2，b2的值，故可得结论【解答】解：由题意，c2的焦点为（，0），一条渐近线方程为y=2x，根据对称性易知ab为圆的直径且ab=2ac1的半焦距c=，于是得a2b2=5 设c1与y=2x在第一象限的交点的坐标为（x，2x），代入c1的方程得：，由对称性知直线y=2x被c1截得的弦长=2x，由题得：2x=，所以 由得a2=11b2 由得a2=5.5，b2=0.5 故选c【点评】本题以椭圆，双曲线为载体，考查直线与圆锥曲线的位置关系，解题思路清晰，但计算有点烦琐，需要小心谨慎9椭圆的焦点为f1、f2，点m在椭圆上，则m到y轴的距离为（）abcd【考点】椭圆的简单性质【专题】计算题【分析】m （h，t ），则 由得 h23+t2=0 ，把m （h，t ）代入椭圆方程得 t2=1，把代入可得|h|即为所求【解答】解：由题意得 a=2，b=1，c=，f1（，0）、f2（，0），设m （h，t ），则 由得 （h，t）（h，t）=h23+t2=0 把m （h，t ）代入椭圆方程得 t2=1，把代入可得 h2=，|h|=故选 b【点评】本题考查椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质的应用，两个向量的数量积公式的应用10方程为的椭圆左顶点为a，左、右焦点分别为f1、f2，d是它短轴上的一个顶点，若，则该椭圆的离心率为（）abcd【考点】椭圆的简单性质；向量的加法及其几何意义【专题】计算题【分析】先以圆为中心建立直角坐标系，则d，a，及两个焦点坐标可知，表示出进而求得a和c关系，则离心率可得【解答】解：以椭圆为中心建立直角坐标系，d（0，b），a（a，0） f1（c，0） f2（c，0）3c=a+2c左右两边同除a推出 求得e=故选d【点评】圆锥曲线的概念与性质（特别是离心率）是高考的焦点，每年必考题椭圆、双曲线、抛物线三种曲线都可能考查11已知椭圆e：，对于任意实数k，下列直线被椭圆e所截弦长与l：y=kx+1被椭圆e所截得的弦长不可能相等的是（）akx+y+k=0bkxy1=0ckx+y2=0dkx+yk=0【考点】直线与圆锥曲线的关系【分析】当l过点（1，0）时，直线l和选项a中的直线重合，故不能选 a当l过点（1，0）时，直线l和选项d中的直线关于y轴对称，被椭圆e所截得的弦长相同，当k=0时，直线l和选项b中的直线关于x轴对称，被椭圆e所截得的弦长相同排除a、b、d【解答】解：由数形结合可知，当l过点（1，0）时，直线l和选项a中的直线重合，故不能选 a当l过点（1，0）时，直线l和选项d中的直线关于y轴对称，被椭圆e所截得的弦长相同，故不能选d当k=0时，直线l和选项b中的直线关于x轴对称，被椭圆e所截得的弦长相同，故不能选b直线l斜率为k，在y轴上的截距为1；选项c中的直线kx+y2=0 斜率为k，在y轴上的截距为2，这两直线不关于x轴、y轴、原点对称，故被椭圆e所截得的弦长不可能相等故选c【点评】本题考查直线和椭圆的位置关系，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法12设f1、f2分别是椭圆+=1（ab0）的左、右焦点，p为椭圆上任一点，点m的坐标为（6，4），则|pm|+|pf1|的最大值为（）a15b13cd【考点】椭圆的简单性质【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】求出焦点f1、f2的坐标，根据椭圆的定义得|pm|+|pf1|=10+（|pm|pf2|），运动点p可得当p在mf2的延长线上时等号成立，可得p与图中的p0点重合时|pm|pf2|的最大值为5，由此即可得到|pm|+|pf1|的最大值【解答】解：椭圆+=1中，a=5，b=4c=3，得焦点为f1（3，0），f2（3，0）根据椭圆的定义，得|pm|+|pf1|=|pm|+（2a|pf2|）=10+（|pm|pf2|）|pm|pf2|mf2|，当且仅当p在mf2的延长线上时等号成立点p与图中的p0点重合时，（|pm|pf2|）max=5此时|pm|+|pf1|的最大值为10+5=15故选：a【点评】本题给出椭圆上的动点p，求距离之和的最大值，着重考查了椭圆的定义与标准方程、两点间的距离公式等知识，考查了对平面几何中距离最值的理解，属于中档题二、填空题（共4小题，每小题4分，共16分）13命题“xr，2x23ax+90”为假命题，则实数a的取值范围为2，2【考点】命题的真假判断与应用；函数恒成立问题【分析】根据题意，原命题的否定“xr，2x23ax+90”为真命题，也就是常见的“恒成立”问题，只需0【解答】解：原命题的否定为“xr，2x23ax+90”，且为真命题，则开口向上的二次函数值要想大于等于0恒成立，只需=9a24290，解得：2a2故答案为：2，2【点评】存在性问题在解决问题时一般不好掌握，若考虑不周全、或稍有不慎就会出错所以，可以采用数学上正难则反的思想，去从它的反面即否命题去判定注意“恒成立”条件的使用14命题p：x2+2x30，命题q：1，若q且p为真，则x的取值范围是2x3【考点】复合命题的真假【专题】计算题【分析】通过解不等式求出命题p，q为真时的等价条件，在根据q且p为真，求x的取值范围【解答】解：x2+2x30（x+3）（x1）0x1或x3，命题p为真时，x1或x3，02x3，命题q为真时，2x3，根据复合命题真值表，若q且p为真时，命题p，q都是真命题，x的取值范围是x|x1或x3x|2x3=x|2x3故答案是：2x3【点评】本题考查复合命题的真假判定，关键是求出命题p，q为真时的等价条件15设f1，f2分别为椭圆+y2=1的焦点，点a，b在椭圆上，若=5；则点a的坐标是（0，1）【考点】椭圆的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】作出直线f1a的反向延长线与椭圆交于点b，由椭圆的对称性，得，利用椭圆的焦半径公式及向量共线的坐标表示列出关于x1，x2的方程，解之即可得到点a的坐标【解答】解：方法1：直线f1a的反向延长线与椭圆交于点b又由椭圆的对称性，得设a（x1，y1），b（x2，y2）由于椭圆的a=，b=1，c=e=，f1（，0）|f1a|=|x1|，|f1b|=|x2|，从而有： |x1|=5|x2|，由于x1，x2，x10，x20，即=5=5 又三点a，f1，b共线，（，y10）=5（x2，0y2）由+得：x1=0代入椭圆的方程得：y1=1，点a的坐标为（0，1）或（0，1） 方法2：因为f1，f2分别为椭圆的焦点，则，设a，b的坐标分别为a（xa，ya），b（xb，yb），若；则，所以，因为a，b在椭圆上，所以，代入解得或，故a（0，1）方法三、由e=|，=5，e=，cos=，sin=，k=tan=，由，即可得到a（0，1）故答案为：（0，1）【点评】本小题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的简单性质、向量共线等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想16如图，已知椭圆的左顶点为a，左焦点为f，上顶点为b，若bao+bfo=90，则该椭圆的离心率是【考点】椭圆的简单性质【专题】数形结合【分析】先作出椭圆的右焦点f，根据条件得出abbf再求出a、b、f的坐标，由 两个向量的数量积的性质得出a，b、c的关系建立关于离心率e的方程，解方程求得椭圆c的离心率e【解答】解：设椭圆的右焦点为f，由题意得 a（a，0）、b（0，b），f（c，0），bao+bfo=90，且bfo=bfo，bao+bfo=90，=0，（a，b）（c，b）=acb2=aca2+c2=0，e1+e2=0，解得 e=，故答案为：【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，两个向量的数量积公式的应用，以及一元二次方程的解法三、解答题（共5小题，共48分）17已知命题p：x1，2，x2a0；命题q：x0r，使得x02+（a1）x0+10若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数a的取值范围【考点】复合命题的真假【专题】计算题【分析】先求出命题p，q为真命题时，a的范围，据复合函数的真假得到p，q中必有一个为真，另一个为假，分两类求出a的范围【解答】解：p真，则a1 q真，则=（a1）240即a3或a1 “p或q”为真，“p且q”为假，p，q中必有一个为真，另一个为假 当p真q假时，有得1a1 当p假q真时，有得a3 实数a的取值范围为1a1或a3 【点评】本题考查复合函数的真假与构成其简单命题的真假的关系，解决此类问题应该先求出简单命题为真时参数的范围，属于基础题18已知命题p方程2x2+axa2=0在1，1上有解；命题q：只有一个实数x0满足不等式x02+2ax0+2a0，若命题“pq”是假命题，求实数a的取值范围【考点】复合命题的真假【专题】探究型【分析】分别求出命题p，q成立的等价条件，利用命题“pq”是假命题，求实数a的取值范围【解答】解：由2x2+axa2=0得（2xa）（x+a）=0，当命题p为真命题时即2a2，又“只有一个实数x0满足”，即抛物线y=x2+2ax+2a与x轴只有一个交点，=4a28a=0，a=0或a=2当命题q为真命题时，a=0或a=2命题“pq”为假命题，p，q同时为假命题，即，a2或a2实数a的取值范围的取值范围为（，2）（2，+）【点评】本题主要考查复合命题真假的应用，求出命题成立的等价条件是解决此类问题的关键19设椭圆c：过点（0，4），离心率为（）求c的方程；（）求过点（3，0）且斜率为的直线被c所截线段的中点坐标【考点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系【专题】计算题【分析】（）根据题意，将（0，4）代入c的方程得b的值，进而由椭圆的离心率为，结合椭圆的性质，可得=；解可得a的值，将a、b的值代入方程，可得椭圆的方程（）根据题意，可得直线的方程，设直线与c的交点为a（x1，y1），b（x2，y2），联立直线与椭圆的方程，化简可得方程x23x8=0，解可得x1与x2的值，由中点坐标公式可得中点的横坐标，将其代入直线方程，可得中点的纵坐标，即可得答案【解答】解：（）根据题意，椭圆过点（0，4），将（0，4）代入c的方程得，即b=4又得=；即，a=5c的方程为（）过点（3，0）且斜率为的直线方程为，设直线与c的交点为a（x1，y1），b（x2，y2），将直线方程代入c的方程，得，即x23x8=0，解得，ab的中点坐标，即中点为【点评】本题考查椭圆的性质以及椭圆与直线相交的有关性质，涉及直线与椭圆问题，一般要联立两者的方程，转化为一元二次方程，由韦达定理分析解决20如图，在平面直角坐标系xoy中，m、n分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于p，a两点，其中点p在第一象限，过p作x轴的垂线，垂足为c，连接ac，并延长交椭圆于点b，设直线pa的斜率为k（1）若直线pa平分线段mn，求k的值；（2）当k=2时，求点p到直线ab的距离d；（3）对任意k0，求证：papb【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）由题设写出点m，n的坐标，求出线段mn中点坐标，根据线pa过原点和斜率公式，即可求出k的值；（2）写出直线pa的方程，代入椭圆，求出点p，a的坐标，求出直线ab的方程，根据点到直线的距离公式，即可求得点p到直线ab的距离d；（3）要证papb，只需证直线pb与直线pa的斜率之积为1，根据题意求出它们的斜率，即证的结果【解答】解：（1）由题设知，a=2，b=，故m（2，0），n（0，），所以线段mn中点坐标为（1，）由于直线pa平分线段mn，故直线pa过线段mn的中点，又直线pa过原点