2019_2020学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.2.2椭圆的几何性质讲义苏教版.docx

2.2.2椭圆的几何性质学 习 目 标核 心 素 养1.掌握椭圆的简单几何性质(重点)2.感受运用方程研究曲线几何性质的思想方法(难点)3.会用椭圆的方程及性质处理一些实际问题(重点、难点)1.通过研究椭圆的几何性质，提升直观想象素养2.借助直线与椭圆的位置运算，培养数学运算素养.1椭圆的简单几何性质焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程1(ab0)1(ab0)范围axa且bybbxb且aya顶点(a,0)，(0，b)(b,0)，(0，a)轴长长轴长2a，短轴长2b焦点(c,0)(0，c)焦距F1F22c对称轴x轴，y轴对称中心(0,0)离心率e(0e1)2离心率(1)定义：焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率(2)范围：e(0,1)(3)作用：当椭圆的离心率越接近于1时，则椭圆越扁；当椭圆的离心率越接近于0时，则椭圆越接近于圆思考：(1)离心率e能否用表示？(2)离心率相同的椭圆是同一个椭圆吗？提示(1)e212，所以e.(2)不是离心率相同的椭圆焦距与长轴的长的比值相同1椭圆6x2y26的长轴的端点坐标是()A(1,0)，(1,0)B(6,0)，(6,0)C(，0)，(，0)D(0，)，(0，)D椭圆方程可化为x21，则长轴的端点坐标为(0，)2椭圆25x29y2225的长轴长、短轴长、离心率依次是()A5,3,0.8B10,6,0.8C5,3,0.6D10,6,0.6B椭圆方程可化为1，则a5，b3，c4，e，故B.3椭圆1(a2)的离心率e，则实数a的值为_2因为a2，所以e，解得a2.4椭圆y21被过右焦点且垂直于x轴的直线所截得的弦长为_1右焦点为(，0)，把x代入得y21，解得y，所以过焦点且垂直于x轴的直线所截得的弦长为21.由椭圆的方程求其几何性质【例1】(1)椭圆2x23y212的两焦点之间的距离为_(2)求椭圆81x2y281的长轴和短轴的长及其焦点和顶点坐标，离心率思路探究分清椭圆的焦点所在的轴，确定a，b后研究性质(1)2把椭圆2x23y212化为标准方程，得1，易知a26，b24，c2a2b22，c，故2c2.(2)解椭圆的方程可化为x21，a9，b1，c4，椭圆的长轴长和短轴长分别为18,2.椭圆的焦点在y轴上，故其焦点坐标为F1(0，4)，F2(0,4)，顶点坐标为A1(0，9)，A2(0,9)，B1(1,0)，B2(1,0)，e.研究椭圆几何性质的方法求椭圆的几何性质时，应把椭圆化为标准方程，注意分清楚焦点的位置，这样便于直观地写出a，b的数值，进而求出c，求出椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标等几何性质1已知椭圆x2(m3)y2m(m0)的离心率e，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长，焦点坐标，顶点坐标解椭圆方程可化为1(m0)，因为m0，所以m，所以焦点在x轴上，即a2m，b2，c.由e，得e，所以m1.所以椭圆的标准方程为x21.所以a1，b，c，所以椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点坐标分别为F1，F2；四个顶点坐标分别为A1(1,0)，A2(1,0)，B1，B2.由椭圆的几何性质求方程【例2】求适合下列条件的椭圆的标准方程(1)中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴长是6，离心率是；(2)中心在原点，焦点在坐标轴上，在x轴上的一个焦点与短轴的两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.思路探究解(1)设椭圆方程为1(ab0)或1(ab0)由已知得2a6，a3.又e，c2.b2a2c2945.椭圆的标准方程为1或1.(2)由题意知焦点在x轴上，故可设椭圆的标准方程为1(ab0)，且两焦点为F(3，0)，F(3,0)如图所示，A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线，且|OF|c，|A1A2|2b，cb3，a2b2c218.椭圆的标准方程为1.由椭圆的几何性质求方程的方法步骤1利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数法2根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”，即先明确焦点的位置或分类讨论一般步骤是：求出a2，b2的值；确定焦点所在的坐标轴；写出标准方程2已知椭圆C以坐标轴为对称轴，长轴长是短轴长的5倍，且经过点A(5,0)，求该椭圆的标准方程解法一：若椭圆的焦点在x轴上，则设其标准方程为1(ab0)由题意得解得故所求椭圆的标准方程为y21.若椭圆的焦点在y轴上，则设其标准方程为1(ab0)由题意得解得故所求椭圆的标准方程为1.综上可知，所求椭圆的标准方程为y21或1.法二：设椭圆的标准方程为1(m0，n0，mn)，由题意得或解得或故所求椭圆的标准方程为y21或1.求离心率【例3】(1)如图，直线l：x2y20过椭圆的左焦点F1和上顶点B，则该椭圆的离心率为_(2)已知椭圆C的中心在坐标原点，连接椭圆的长轴的一个端点A和短轴的一个端点B，OAB30，则椭圆的离心率为_思路探究(1)求出直线l与x、y轴交点，找出a，b，进而求出离心率e；(2)在直角三角形OAB中，由OAB30，可得a，b的关系，利用这个a，b的关系可求离心率(1)(2)(1)在直线l的方程x2y20中令y0得x2，令x0得y1，故F1(2,0)，B(0,1)，所以c2，b1，故a2b2c25.所以a，因此离心率e.(2)如图所示，不妨设椭圆的焦点在x轴上，由条件得OAB30，OAa，OBb，tan 30，e211，e.求椭圆的离心率，关键是寻找a与c的关系，一般地：1若已知a，c，则直接代入e求解；2若已知a，b，则由e求解；3若已知a，b，c的关系，则可转化为a，c的齐次式，再转化为含e的方程求解即可3A为y轴上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，AF1F2为正三角形，且AF1的中点B恰好在椭圆上，求此椭圆的离心率解如图，连接BF2.AF1F2为正三角形，且B为线段AF1的中点，F2BBF1.又BF2F130，|F1F2|2c，|BF1|c，|BF2|c.据椭圆定义得|BF1|BF2|2a，即cc2a，1.椭圆的离心率e1.直线与椭圆的位置关系探究问题1直线与椭圆有几种位置关系？能否像判断直线与圆的位置关系那样判断？如何判断直线与椭圆的位置关系？提示(1)直线与椭圆有相交、相切和相离三种位置关系，其几何特征分别是直线与椭圆有两个交点、有且只有一个交点、无公共点，并且二者互为充要条件但不能像判断直线与圆的位置关系那样进行判断(2)判断直线与椭圆的位置关系可使用代数法，即先将直线方程与椭圆的方程联立，消去一个未知数y(或x)，得到关于x(或y)的一个一元二次方程利用一元二次方程根的判别式，根据0，b0)的弦AB的中点坐标为(x0，y0)，能否确定直线AB的斜率？提示设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则所以(xx)(yy)0，变形得，即kAB.这种方法叫平方差法，也叫点差法【例4】已知椭圆y21.(1)当m为何值时，直线yxm与椭圆有两个不同的交点？(2)当m2时，求直线yxm被椭圆截得的线段长思路探究解(1)联立消去y，得5x28mx4(m21)0.(*)64m280(m21)0，m，当mb)的长轴长为a，短轴长为b.()(2)椭圆的离心率越大，则椭圆越接近于圆()(3)若一个矩形的四个顶点都在椭圆上，则这四个顶点关于椭圆的中心对称()答案(1)(2)(3)2已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是()A.1B.1C.1 D.1D右焦点为F(1,0)说明两层