函数的单调性与导数.ppt

3 3 1函数的单调性与导数 函数y f x 在给定区间G上 当x1 x2 G且x1 x2时 函数单调性判定 单调函数的图象特征 1 都有f x1 f x2 则f x 在G上是增函数 2 都有f x1 f x2 则f x 在G上是减函数 若f x 在G上是增函数或减函数 增函数 减函数 则f x 在G上具有严格的单调性 G称为单调区间 G a b 一 复习引入 单调性的概念 对于给定区间上的函数f x 1 如果对于这个区间上的任意两个自变量x1 x2 当x1 x2时 都有f x1 f x2 那么就说f x 在这个区间上是增函数 2 如果对于这个区间上的任意两个自变量x1 x2 当x1f x2 那么就说f x 在这个区间上是减函数 对于函数y f x 在某个区间上单调递增或单调递减的性质 叫做f x 在这个区间上的单调性 这个区间叫做f x 的单调区间 1 函数的单调性也叫函数的增减性 2 函数的单调性是对某个区间而言的 它是个局部概念 这个区间是定义域的子集 3 单调区间 针对自变量x而言的 若函数在此区间上是增函数 则为单调递增区间 若函数在此区间上是减函数 则为单调递减区间 以前 我们用定义来判断函数的单调性 在假设x1 x2的前提下 比较f x1 f x2 与的大小 在函数y f x 比较复杂的情况下 比较f x1 与f x2 的大小并不很容易 如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单 在 0 和 0 上分别是减函数 但在定义域上不是减函数 在 1 上是减函数 在 1 上是增函数 在 上是增函数 画出下列函数的图象 并根据图象指出每个函数的单调区间 观察 下图 1 表示高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数的图象 图 2 表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数的图象 运动员从起跳到最高点 以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别 a a b b t t v h O O 运动员从起跳到最高点 离水面的高度h随时间t的增加而增加 即h t 是增函数 相应地 从最高点到入水 运动员离水面的高度h随时间t的增加而减少 即h t 是减函数 相应地 1 2 x y O x y O x y O x y O y x y x2 y x3 观察下面一些函数的图象 探讨函数的单调性与其导函数正负的关系 在某个区间 a b 内 如果 那么函数在这个区间内单调递增 如果 那么函数在这个区间内单调递减 y 1 在x 1的左边函数图像的单调性如何 二 新课讲解 2 在x 1的左边函数图像上的各点切线的倾斜角为 锐角 钝角 他的斜率有什么特征 3 由导数的几何意义 你可以得到什么结论 4 在x 1的右边时 同时回答上述问题 定理 一般地 函数y f x 在某个区间内可导 如果恒有f x 0 则f x 是增函数 如果恒有f x 0 则f x 是减函数 如果恒有f x 0 则f x 是常函数 例1已知导函数的下列信息 当1 x 4时 当x 4 或x 1时 当x 4 或x 1时 试画出函数的图象的大致形状 解 当1 x 4时 可知在此区间内单调递增 当x 4 或x 1时 可知在此区间内单调递减 当x 4 或x 1时 综上 函数图象的大致形状如右图所示 变式如图 水以常速 即单位时间内注入水的体积相同 注入下面四种底面积相同的容器中 请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象 A B C D h t O h t O h t O h t O 解 一般地 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大 那么函数在这个范围内变化得快 这时 函数的图象就比较 陡峭 向上或向下 反之 函数的图象就 平缓 一些 如图 函数在或内的图象 陡峭 在或内的图象平缓 练习 函数的图象如图所示 试画出导函数图象的大致形状 例2判断下列函数的单调性 并求出单调区间 解 1 因为 所以 因此 函数在上单调递增 2 因为 所以 当 即时 函数单调递增 当 即时 函数单调递减 解 3 因为 所以 因此 函数在上单调递减 4 因为 所以 当 即时 函数单调递增 当 即时 函数单调递减 变式 求证 函数在内是减函数 解 由 解得 所以函数的递减区间是 即函数在内是减函数 练习 1 判断下列函数的单调性 并求出单调区间 练习 2 讨论二次函数的单调区间 解 由 得 即函数的递增区间是 相应地 函数的递减区间是 由 得 即函数的递增区间是 相应地 函数的递减区间是 1 求可导函数f x 单调区间的步骤 1 求f x 2 解不等式f x 0 或f x 0 3 确认并指出递增区间 或递减区间 2 证明可导函数f x 在 a b 内的单调性的方法 1 求f x 2 确认f x 在 a b 内的符号 3 作出结论 总结 解析 解法一 区间法 f x x2 ax a 1 令f x 0 所以x 1或x a 1 当a 1 1 即a 2时 函数f x 在 1 内单调递增 不合题意 当a 1 1 即a 2时 f x 在 1 和 a 1 上单调递增 在 1 a 1 上单调递减 由题意知 1 4 1 a 1 且 6 a 1 所以4 a 1 6 即5 a 7 解法二 数形结合 如图所示 f x x 1 x a 1 若在 1 4 内f x 0 6 内f x 0 且f x 0有一根为1 则另一根在 4 6 上 解法三 转化为不等式的恒成立问题 f x x2 ax a 1 因为f x 在 1 4 内单调递减 所以f x 0在 1 4 上恒成立 即a x 1 x2 1在 1 4 上恒成立 所以a x 1 因为2 x 1 5 所以当a 5时 f x 0在 1 4 上恒成立 又因为f x 在 6 上单调递增 所以f x 0在 6 上恒成立 所以a x 1 因为x 1 7 所以a 7时 f x 0在 6 上恒成立 由题意知5 a 7 点评 本题是含参数单调性问题 是高考的重点和热点 体现了数学上的数形结合与转化思想 解 由已知得 因为函数在 0 1 上单调递增 变式 本题用到一个重要的转化 练习1 0 a 4 在某个区间上 f x 在这个区间上单调递增 递减 但由f x 在这个区间上单调递增 递减 而仅仅得到是不够的 还有可能导数等于0也能使f x 在这个区间上单调 所以对于能否取到等号的问题需要单独验证 总结 补例 方程根的问题求证 方程只有一个根 已知 x 0 求证 x sinx 解析 设f x x sinx x 0 f x 1 cosx 0对x 0 恒成立 函数f x x sinx在 0 上是单调增函数又f 0 0 f x 0对x 0 恒成立即 x sinx x 0 补例 不等式证明问题 补充练习 1 判断下列函数的单调性 1 f x x3 3x 2 f x sinx x x 0 3 f x 2x3 3x2 24x 1 4 f x ex x 2 已知函数f x ax 3x x 1在R上是减函数 求a的取值范