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2015年全国高中数学联赛模拟试卷（5） 姓名_1.若函数的图象与直线只有一个交点，则_.2.若，且，则的取值范围是_.3.函数的单调递减区间是_.4.已知，则的最小值是_.5.过双曲线右焦点的直线交双曲线右支于两点，为双曲线左焦点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线的离心率_.6.设函数，其中.函数在上是单调递减函数，则的取值范围是_.7.方程的解是_.8.方程满足的正整数解的个数是_.9.过椭圆的右准线上动点作椭圆的两切线，分别与直线交于点，为椭圆的右顶点.求的值（用表示）.10.已知集合，.试求最大的，使得.11.求所有的整数，使得存在正整数和，满足.2015年全国高中数学联赛模拟试卷（5）参考答案1.若函数的图象与直线只有一个交点，则_.【答案】.2.若，且，则的取值范围是_.【答案】.【解析】在上递增，故.【拓展】不等式的解集为_.【解析】原不等式可化为，即，显然，不等式两边同除以（次数的调整有利于发现结构上的联系），得（注意观察右边的结构），构造函数，不等式即，由于在上递增，故，即，解得，故原不等式解集为3.函数的单调递减区间是_.【答案】.4.已知，则的最小值是_.【答案】.5.过双曲线右焦点的直线交双曲线右支于两点，为双曲线左焦点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线的离心率_.【答案】.【解析】设右焦点为，则，由，即得，.6.设函数，其中.函数在上是单调递减函数，则的取值范围是_.【答案】.【解析】方法1：导数（略）； 方法2：定义.任取，且，则.设，则显然（且可以无限逼近3）.,对恒成立，,故.7.方程的解是_.【答案】.【解析】原式即，设点，则，故点在线段上，易知线段的方程为，故且，整理得，或（舍）.8.方程满足的正整数解的个数是_.【答案】.【解析】所有的正整数解有个，下面不计顺序，考虑取值的组合：满足的有1组；中恰有两个相等的有组；设互不相等的有组，则，解得，（间接法）故满足的正整数解的个数是.9.过椭圆的右准线上动点作椭圆的两切线，分别与直线交于点，为椭圆的右顶点.求的值（用表示）.解：设，切线斜率为，则方程为 ，代入椭圆方程消整理得，化简得，即，则的斜率为上述方程的两根，在式中，令，得，.10.已知集合，.试求最大的，使得.解：易知非空，设，的图象分别是以为顶点的抛物线，且关于点对称，中所包含的最大半径的圆应为其内切圆，下面证明该圆圆心为，否则设圆心为，半径为，设关于的对称点为，则以为圆心，为半径的圆也是的内切圆，作圆与圆的两条外公切线，由于是凸的，两条外公切线与两圆围成的区域在的内部，从而以为圆心，为半径的圆在的内部（不含边界），即以为圆心的内切圆半径大于，矛盾！又由对称性，只需考虑以为圆心，与抛物线相切的情形，设切点为， ，抛物线在点处的切线的斜率为，由，故，整理得，即，或，经检验，满足题意，故.11.求所有的整数，使得存在正整数和，满足.解：对于固定的，在满足题设条件的中，取
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