2019_2020学年高中数学第一章立体几何初步6.2垂直关系的性质学案北师大版必修2.docx

6.2垂直关系的性质学习目标1.理解直线和平面垂直、平面与平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理2.会用线面垂直、面面垂直的性质定理证明相关问题3.理解“平行”与“垂直”之间的相互转化.【主干自填】1直线与平面垂直的性质定理2平面与平面垂直的性质定理3平面与平面垂直的其他性质(1)如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内(2)如果两个平面垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面(3)如果两个平面垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内【即时小测】1思考下列问题(1)一般地，如果直线a，直线b，这时，a和b平行吗？你能给出证明吗？提示：a和b平行证明如下：如图，假定a和b不平行设a，b，垂足分别为A，B.过点B作a的平行线b，由异面直线垂直的定义，b与平面内过点A的任意直线都垂直，也即有b，bbB，故直线b与b确定一个平面，记为，且记l，在平面内，过点B有且仅有一条直线垂直于l，故b与b重合，a与b平行(2)一般地，平面，MN，AB，ABMN于点B，这时，直线AB和平面垂直吗？你能给出证明吗？提示：直线AB和平面垂直证明如下：如图，在平面内作直线BCMN，则ABC是二面角MN的平面角，因为平面平面，所以ABC90，即ABBC，又已知ABMN，从而AB.2ABC所在的平面为，直线lAB，lAC，直线mBC，mAC，则直线l，m的位置关系是()A相交 B异面 C平行 D不确定提示：C因为lAB，lAC，AB，AC，且ABACA，所以l，同理可证m，所以lm.3若m、n表示直线，表示平面，则下列判断中，正确判断的个数为()n； mn；mn; n.A1 B2 C3 D4提示：C正确，中n与平面可能有：n或n或相交(包括n)4在斜三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，BC1AC，则点C1在底面ABC上的投影H必在()A直线AB上 B直线BC上C直线AC上 D不能确定提示：A由ACBC1，ACAB，得AC平面ABC1，又AC平面ABC，平面ABC1平面ABC.C1在底面ABC上的投影H必在交线AB上例1如图，已知平面平面l，EA，垂足为A，EB，垂足为B，直线a，aAB.求证：al.证明因为EA，l，即l，所以lEA.同理lEB.又EAEBE，所以l平面EAB.因为EB，a，所以EBa，又aAB，EBABB，所以a平面EAB.由线面垂直的性质定理，得al.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且EFA1D，EFAC.求证：EFBD1.证明如图所示，连接AB1，B1C，BD.DD1平面ABCD，AC平面ABCD，DD1AC.又ACBD且BDDD1D，AC平面BDD1B1.BD1平面BDD1B1，BD1AC.同理BD1B1C，BD1平面AB1C.EFA1D，A1DB1C，EFB1C.又EFAC且ACB1CC，EF平面AB1C.EFBD1.例2已知平面PAB平面ABC，平面PAC平面ABC，AE平面PBC，E为垂足(1)求证：PA平面ABC；(2)当E为PBC的垂心时，求证：ABC是直角三角形证明(1)如图，在平面ABC内取一点D，作DFAC于点F，平面PAC平面ABC，且交线为AC，DF平面PAC.又PA平面PAC，DFAP.作DGAB于点G，同理可证DGAP，DG、DF都在平面ABC内且交点为D，PA平面ABC.(2)连接BE并延长，交PC于点H.E点是PBC的垂心，PCBE.又已知AE是平面PBC的垂线，PCAE.又BEAEE，PC平面ABE.PCAB.又PA平面ABC，PAAB.PAPCP，AB平面PAC.ABAC，即ABC是直角三角形类题通法面面垂直性质定理的转化面面垂直的性质定理可将面面垂直转化为线面垂直、线线垂直应用面面垂直的性质定理，注意以下三点：两个平面垂直是前提条件；直线必须在一个平面内；直线必垂直于它们的交线如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是DAB60且边长为a的菱形侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)若G为AD边的中点，求证：BG平面PAD；(2)求证：ADPB.证明(1)连接PG，BD.由题知PAD为正三角形，G是AD的中点，PGAD.又平面PAD平面ABCD.PG平面ABCD，PGBG.又四边形ABCD是菱形且DAB60，ABD是正三角形，BGAD.又ADPGG，BG平面PAD.(2)由(1)可知BGAD，PGAD.BGPGG，所以AD平面PBG，所以ADPB.例3如图，ABCD是正方形，SA平面ABCD，BKSC于点K，连接DK.求证：(1)平面SBC平面KBD；(2)平面SBC不垂直于平面SDC.证明(1)连接AC.四边形ABCD是正方形，ACBD.又SA平面ABCD，SABD，BD平面SAC，SCBD.又SCBK，BKBDB，SC平面KBD.又SC平面SBC，平面SBC平面KBD.(2)假设平面SBC平面SDC.BKSC，BK平面SDC.DC平面SDC，BKDC，又ABCD，BKAB.ABCD是正方形，ABBC，AB平面SBC，又SB平面SBC，ABSB，这与SBA是RtSAB的一个锐角矛盾，故假设不成立原结论成立，即平面SBC不垂直于平面SDC.类题通法垂直性质的应用常见方法线面平行和线面垂直是立体几何中经常考查的位置关系之一，当已知线面、面面垂直(平行)时可考虑性质定理，要证明线面、面面垂直(平行)时考虑判定定理如图，在三棱锥PABC中，PA平面ABC，平面PAB平面PBC.求证：BCAB.证明在平面PAB内，作ADPB于D.平面PAB平面PBC，且平面PAB平面PBCPB.AD平面PBC.又BC平面PBC，ADBC.又PA平面ABC，BC平面ABC，PABC，又PAADD，BC平面PAB.又AB平面PAB，BCAB.易错点对面面垂直的性质定理理解错误典例如图所示，在四棱锥PABCD中，平面PAB平面ABCD，BC平面PAD，PBC90，PBA90.求证：平面PBC平面PAB.错解PBC90，平面PAB平面ABCD，BC平面PAB.BC平面PBC，平面PBC平面PAB.错因分析面面垂直的性质定理应用错误，由平面PAB平面ABCD得出线面垂直，必须是在其中一个平面内作交线(AB)的垂线，该垂线与另一个平面垂直正解过点P作PHAB于点H.平面PAB平面ABCD，且平面PAB平面ABCDAB，PH平面ABCD.BC平面ABCD，BCPH.PBC90，BCPB.而PBA90，于是点H与点B不重合，即PBPHP.PB，PH平面PAB，BC平面PAB.BC平面PBC，平面PBC平面PAB.课堂小结1.线面垂直的性质定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据.2.面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系，体现了数学中的化归与转化思想，其转化关系如下：1下列说法正确的是()A垂直于同一条直线的两直线平行B垂直于同一条直线的两直线垂直C垂直于同一个平面的两直线平行D垂直于同一条直线的一条直线和平面平行答案C解析垂直于同一条直线的两直线可能平行、可能相交、可能异面，故A、B错误；由线面垂直的性质定理知C正确；D中这条直线可能在平面内，故D错误故选C.2如果直线l，m与平面，满足：l，l，m和m，那么必有()A且lm B且mCm且lm D且答案A解析m，m，l，ml；B错，有可能m或m与相交；C错，有可能m或m与相交；D错，有可能与相交3设l是直二面角，直线a，直线b，a，b与l都不垂直，那么()Aa与b可能垂直，但不可能平行Ba与b可能垂直，也可能平行Ca与b不可能垂直，但可能平行Da与b不可能垂直，也不可能平行答案C解析