高考数学大一轮复习第十章计数原理10_2排列与组合课件理苏教版

10 2排列与组合 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 排列与组合的概念 知识梳理 一定的顺序 2 排列数与组合数 1 排列数的定义 从n个不同元素中取出m m n 个元素的的个数 叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数 用表示 2 组合数的定义 从n个不同元素中取出m m n 个元素的的个数 叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数 用表示 所有排列 所有组合 3 排列数 组合数的公式及性质 n n 1 n 2 n m 1 1 n 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 所有元素完全相同的两个排列为相同排列 2 一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序 3 两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同 4 n 1 n n n 考点自测 由题意可知 五位数要为奇数 则个位数只能是1 3 5 分为两步 先从1 3 5三个数中选一个作为个位数有种情况 再将剩下的4个数字排列得到种情况 则满足条件的五位数有 个 1 2016 四川改编 用数字1 2 3 4 5组成没有重复数字的五位数 其中奇数的个数为 答案 解析 72 插空法 先排3个空位 形成4个空隙供3人选择就座 因此任何两人不相邻的坐法种数为 4 3 2 24 2 6把椅子摆成一排 3人随机就座 任何两人不相邻的坐法种数为 答案 解析 24 3 2016 苏州模拟 安排6名歌手的演出顺序时 要求歌手乙 丙都排在歌手甲的前面或者后面 则排法的种数为 答案 解析 先全排列有 甲 乙 丙的顺序有 乙 丙都排在歌手甲的前面或者后面的顺序有甲乙丙 甲丙乙 乙丙甲 丙乙甲 共4种顺序 所以不同排法的种数为 480 4 某班级要从4名男生 2名女生中选派4人参加某次社区服务 如果要求至少有1名女生 那么不同的选派方案有 种 答案 解析 14 不同的选派方案有8 6 14 种 5 教材改编 用数字1 2 3 4 5组成的无重复数字的四位数 其中偶数的个数为 答案 解析 48 题型分类深度剖析 题型一排列问题 例1 1 3名男生 4名女生 选其中5人排成一排 则有 种不同的排法 答案 解析 问题即为从7个元素中选出5个全排列 2520 2 六个人从左至右排成一行 最左端只能排甲或乙 最右端不能排甲 则不同的排法共有 种 答案 解析 216 引申探究1 本例 1 中 若将条件 选其中5人排成一排 改为 排成前后两排 前排3人 后排4人 其他条件不变 则有多少种不同的排法 解答 2 本例 1 中 若将条件 选其中5人排成一排 改为 全体站成一排 男 女各站在一起 其他条件不变 则有多少种不同的排法 相邻问题 捆绑法 男生必须站在一起 是男生的全排列 有种排法 女生必须站在一起 是女生的全排列 有种排法 全体男生 女生各视为一个元素 有种排法 根据分步计数原理 共有 种 排法 解答 3 本例 1 中 若将条件 选其中5人排成一排 改为 全体站成一排 男生不能站在一起 其他条件不变 则有多少种不同的排法 不相邻问题 插空法 先安排女生共有种排法 男生在4个女生隔成的5个空中安排共有种排法 故共有 种 排法 解答 4 本例 1 中 若将条件 选其中5人排成一排 改为 全体站成一排 甲不站排头也不站排尾 其他条件不变 则有多少种不同的排法 先安排甲 从除去排头和排尾的5个位置中安排甲 有 5 种 排法 再安排其他人 有 720 种 排法 所以共有 种 排法 解答 排列应用问题的分类与解法 1 对于有限制条件的排列问题 分析问题时有位置分析法 元素分析法 在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则 即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置 对于分类过多的问题可以采用间接法 2 对相邻问题采用捆绑法 不相邻问题采用插空法 定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法 思维升华 跟踪训练1由0 1 2 3 4 5这六个数字组成的无重复数字的自然数 求 1 有多少个含2 3 但它们不相邻的五位数 解答 2 有多少个含数字1 2 3 且必须按由大到小顺序排列的六位数 解答 题型二组合问题 例2 1 若从1 2 3 9这9个整数中同时取4个不同的数 其和为偶数 则不同的取法的种数是 答案 解析 66 因为1 2 3 9中共有4个不同的偶数和5个不同的奇数 要使和为偶数 则4个数全为奇数或全为偶数或2个奇数和2个偶数 故有 种 不同的取法 2 要从12人中选出5人去参加一项活动 A B C三人必须入选 则有 种不同选法 只需从A B C之外的9人中选择2人 即有 36 种 不同的选法 36 答案 解析 引申探究1 本例 2 中 若将条件 A B C三人必须入选 改为 A B C三人都不能入选 其他条件不变 则不同的选法有多少种 解答 2 本例 2 中 若将条件 A B C三人必须入选 改为 A B C三人只有一人入选 其他条件不变 则不同的选法有多少种 解答 3 本例 2 中 若将条件 A B C三人必须入选 改为 A B C三人至少一人入选 其他条件不变 则不同的选法有多少种 解答 组合问题常有以下两类题型变化 1 含有 或 不含有 某些元素的组合题型 含 则先将这些元素取出 再由另外元素补足 不含 则先将这些元素剔除 再从剩下的元素中去选取 2 至少 或 至多 含有几个元素的组合题型 解这类题必须十分重视 至少 与 至多 这两个关键词的含义 谨防重复与漏解 用直接法和间接法都可以求解 通常用直接法分类复杂时 考虑逆向思维 用间接法处理 思维升华 跟踪训练2某市工商局对35种商品进行抽样检查 已知其中有15种假货 现从35种商品中选取3种 1 其中某一种假货必须在内 不同的取法有多少种 从余下的34种商品中 选取2种有 561 种 某一种假货必须在内的不同取法有561种 解答 2 其中某一种假货不能在内 不同的取法有多少种 某一种假货不能在内的不同取法有5984种 解答 3 恰有2种假货在内 不同的取法有多少种 解答 恰有2种假货在内的不同的取法有2100种 4 至少有2种假货在内 不同的取法有多少种 解答 至少有2种假货在内的不同的取法有2555种 5 至多有2种假货在内 不同的取法有多少种 解答 至多有2种假货在内的不同的取法有6090种 题型三排列与组合问题的综合应用 命题点1相邻问题例3 2017 扬州月考 把5件不同的产品摆成一排 若产品A与产品B相邻 且产品A与产品C不相邻 则不同的摆法种数为 答案 解析 36 命题点2相间问题例4某次联欢会要安排3个歌舞类节目 2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序 则同类节目不相邻的排法种数是 答案 解析 120 先安排小品节目和相声节目 然后让歌舞节目去插空 安排小品节目和相声节目的顺序有三种 小品1 小品2 相声 小品1 相声 小品2 和 相声 小品1 小品2 对于第一种情况 形式为 小品1歌舞1小品2 相声 有 种 安排方法 同理 第三种情况也有36种安排方法 对于第二种情况 三个节目形成4个空 其形式为 小品1 相声 小品2 有 种 安排方法 由分类计数原理知共有36 36 48 120 种 安排方法 命题点3特殊元素 位置 问题例5 2016 常州检测 从1 2 3 4 5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数 当三个数字中有2和3时 2需排在3的前面 不一定相邻 这样的三位数有 个 51 答案 解析 分三类 第一类 没有2 3 由其他三个数字组成三位数 有 6 个 第二类 只有2或3其中的一个 需从1 4 5中选两个数字组成三位数 有 个 第三类 2 3均有 再从1 4 5中选一个 因为2需排在3的前面 所以可组成 个 由分类计数原理 知这样的三位数共有51个 排列与组合综合问题的常见类型及解题策略 1 相邻问题捆绑法 在特定条件下 将几个相关元素视为一个元素来考虑 待整个问题排好之后 再考虑它们 内部 的排列 2 相间问题插空法 先把一般元素排好 然后把特定元素插在它们之间或两端的空当中 它与捆绑法有同等作用 3 特殊元素 位置 优先安排法 优先考虑问题中的特殊元素或位置 然后再排列其他一般元素或位置 4 多元问题分类法 将符合条件的排列分为几类 而每一类的排列数较易求出 然后根据分类计数原理求出排列总数 思维升华 跟踪训练3 1 有5名优秀毕业生到母校的3个班去做学习经验交流 则每个班至少去一名的不同分派方法种数为 150 答案 解析 2 将甲 乙 丙 丁 戊五位同学分别保送到北大 上海交大和浙大3所大学 若每所大学至少保送1人 甲不能被保送到北大 则不同的保送方案共有 种 100 答案 解析 先将五人分成三组 因为要求每组至少一人 所以可选择的只有2 2 1或者3 1 1 所以共有 种 分组方法 因为甲不能被保送到北大 所以有甲的那组只有上海交大和浙大两个选择 剩下的两组无限制 一共有4种方法 所以不同的保送方案共有25 4 100 种 现场纠错 纠错心得 错解展示 典例有20个零件 其中16个一等品 4个二等品 若从20个零件中任意取3个 那么至少有1个一等品的不同取法有 种 排列 组合问题 现场纠错系列12 答案2736 返回 解析方法一将 至少有1个是一等品的不同取法 分三类 恰有1个一等品 恰有2个一等品 恰有3个一等品 由分类计数原理 知有 方法二考虑其对立事件 3个都是二等品 用间接法 1136 种 答案1136 返回 课时作业 1 两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩 购票后排队依次入园 为安全起见 首尾一定要排两位爸爸 另外 两个小孩一定要排在一起 则这6人的入园顺序排法种数为 答案 解析 24 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 2016 镇江模拟 某同学忘记了自己的QQ号 但记得QQ号是由一个1 一个2 两个5和两个8组成的六位数 于是用这六个数随意排成一个六位数 输入电脑尝试 那么他找到自己的QQ号最多尝试次数为 答案 解析 根据题意 其QQ号共由6个数字组成 将这6个数字全排列 有种情况 而这6个数字中有两个5和两个8 则共可以组成 180 个 六位数 那么他找到自己的QQ号最多尝试180次 180 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 在航天员进行的一项太空实验中 要先后实施6个程序 其中程序A只能出现在第一或最后一步 程序B和C在实施时必须相邻 问实验顺序的编排方法共有 种 答案 解析 96 由分步计数原理 知实验编排共有2 48 96 种 方法 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4 将A B C D E排成一列 要求A B C在排列中顺序为 A B C 或 C B A 可以不相邻 这样的排列数有 种 答案 解析 40 由于要求A B C的次序一定 按A B C或C B A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5 2017 南京质检 某校高二年级共有6个班级 现从外地转入4名学生 要安排到该年级的两个班级且每班安排2名 则不同的安排方案种数为 90 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6 2016 南京师大附中模拟 用1 2 3 4这四个数字组成无重复数字的四位数 其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的四位数的个数为 答案 解析 首先排两个奇数1 3 有种排法 再在2 4中取一个数放在1 3排列之间 有种方法 然后把这3个数作为一个整体与剩下的另一个偶数全排列 有种排法 即满足条件的四位数的个数为 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7 现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察 要求每个兴趣小组的带队教师至多2人 但其中甲教师和乙教师均不能单独带队 则不同的带队方案有 种 用数字作答 答案 解析 54 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 第一类 把甲 乙看作一个复合元素 另外3人分成两组 再分配到3个小组中 有 18 种 第二类 先把另外的3人分配到3个小组 再把甲 乙分配到其中2个小组 有 36 种 根据分类计数原理可得 共有36 18 54 种 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8 在8张奖券中有一 二 三等奖各1张 其余5张无奖 将这8张奖券分配给4个人 每人2张 不同的获奖情况有 种 用数字作答 答案 解析 分两类 第一类 3张中奖奖券分给3个人 共种分法 第二类 3张中奖奖券分给2个人相当于把3张中奖奖券分两组再分给4人中的2人 共有种分法 总获奖情况共有60 种 60 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析 9 把5件不同产品摆成一排 若产品A与产品B相邻 产品A与产品C不相邻 则不同的摆法有 种 先考虑产品A与B相邻 把A B作为一个元素有种摆法 而A B可交换位置 所以有 48 种 摆法 又当A B相邻且又满足A C相邻 有 12 种 摆法 故满足条件的摆法有48 12 36 种 36 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10 若把英语单词 good 的字母顺序写错了 则可能出现的错误方法共有 种 答案 解析 把g o o d4个字母排一列 可分两步进行 第一步 排g和d 共有种排法 第二步 排两个o 共一种排法 所以总的排法种数为 12 其中正确的有一种 所以错误的共有 1 12 1 11 种 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11 将A B C D E F六个字母排成一排 且A B均在C的同侧 则不同的排法共有 种 用数字作答 从左往右看 若C排在第1位 共有 120 种 排法 若C排在第2位 A和B有C右边的4个位置可以选 共有 72 种 排法 若C排在第3位 则A B可排C的左侧或右侧 共有48 种 排法 若C排在第4 5 6位时 其排法数与排在第3 2 1位相同 故共有2 120 72 48 480 种 排法 480 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12 2016年某通讯公司推出一组手机卡号码 卡号的前七位数字固定 后四位数从 0000 到 9999 共10000个号码中选择 公司规定 凡卡号的后四位恰带有两个数字 6 或恰带有两个数字 8 的一律作为 金猴卡 享受一定优惠政策 如后四位数为 2663 8685 为 金猴卡 求这组号码中 金猴卡 的张数 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 当后四位数恰有2个6时 金猴卡 共有 9 9 486 张 当后四位数恰有2个8时 金猴卡 也共有 9 9 486 张 但这两种情况都包含了后四位数是由2个6和2个8组成的这种情况 所以要减掉 6 即 金猴卡 共有486 2 6 966 张 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13 有9名学生 其中2名会下象棋但不会下围棋 3名会下围棋但不会下象棋 4名既会下围棋又会下象棋 现在要从这9名学生中选出2名学生 一名参加象棋比赛 另一名参加围棋比赛 共有多少种不同的选派方法 解答 1 2 3 4 5 6