高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9_5椭圆课件理苏教版

9 5椭圆 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 椭圆的概念平面内到两个定点F1 F2的距离的和等于常数 大于F1F2 的点的轨迹叫做 两个定点F1 F2叫做椭圆的 两焦点间的距离叫做椭圆的 集合P M MF1 MF2 2a F1F2 2c 其中a 0 c 0 且a c为常数 1 若 则集合P为椭圆 2 若 则集合P为线段 3 若 则集合P为空集 知识梳理 椭圆 焦点 焦距 a c a c a c 2 椭圆的标准方程和几何性质 2a 2b 2c a2 b2 c2 点P x0 y0 和椭圆的关系 1 点P x0 y0 在椭圆内 1 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 平面内到两个定点F1 F2的距离的和等于常数的点的轨迹叫做椭圆 2 椭圆上一点P与两焦点F1 F2构成 PF1F2的周长为2a 2c 其中a为椭圆的长半轴长 c为椭圆的半焦距 3 椭圆的离心率e越大 椭圆就越圆 4 方程mx2 ny2 1 m 0 n 0 m n 表示的曲线是椭圆 5 1 a b 表示焦点在y轴上的椭圆 6 1 a b 0 与 1 a b 0 的焦距相等 考点自测 1 教材改编 椭圆 1的焦距为4 则m 答案 解析 4或8 由题意知 解得m 4或m 8 2 2016 苏州检测 在平面直角坐标系xOy内 动点P到定点F 1 0 的距离与P到定直线x 4的距离的比值为 则动点P的轨迹C的方程为 答案 解析 设点P x y 由题意知 化简得3x2 4y2 12 所以动点P的轨迹C的方程为 1 3 2016 全国乙卷改编 直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点 若椭圆中心到l的距离为其短轴长的 则该椭圆的离心率为 答案 解析 如图 由题意得 BF a OF c OB b OD 2b b 在Rt FOB中 OF OB BF OD 即cb a b 解得a 2c 故椭圆离心率e 4 如果方程x2 ky2 2表示焦点在y轴上的椭圆 那么实数k的取值范围是 答案 解析 0 1 将椭圆方程化为 1 因为焦点在y轴上 则 2 即k 1 又k 0 所以0 k 1 5 教材改编 已知点P是椭圆 1上y轴右侧的一点 且以点P及焦点F1 F2为顶点的三角形的面积等于1 则点P的坐标为 答案 解析 设P x y 由题意知c2 a2 b2 5 4 1 所以c 1 则F1 1 0 F2 1 0 由题意可得点P到x轴的距离为1 所以y 1 把y 1代入 1 得x 又x 0 所以x 所以P点坐标为或 题型分类深度剖析 题型一椭圆的定义及标准方程命题点1利用定义求轨迹例1 2016 徐州模拟 如图所示 一圆形纸片的圆心为O F是圆内一定点 M是圆周上一动点 把纸片折叠使M与F重合 然后抹平纸片 折痕为CD 设CD与OM交于点P 则点P的轨迹是 答案 解析 椭圆 由条件知PM PF PO PF PO PM OM R OF P点的轨迹是以O F为焦点的椭圆 几何画板展示 命题点2利用待定系数法求椭圆方程例2 1 已知椭圆以坐标轴为对称轴 且长轴长是短轴长的3倍 并且过点P 3 0 则椭圆的方程为 答案 解析 y2 1或 1 若焦点在x轴上 设方程为 1 a b 0 椭圆过P 3 0 1 即a 3 又2a 3 2b b 1 椭圆方程为 y2 1 若焦点在y轴上 设方程为 1 a b 0 椭圆过点P 3 0 1 即b 3 又2a 3 2b a 9 椭圆方程为 1 所求椭圆的方程为 y2 1或 1 2 已知椭圆的中心在原点 以坐标轴为对称轴 且经过两点P1 1 P2 则椭圆的方程为 答案 解析 设椭圆方程为mx2 ny2 1 m 0 n 0且m n 椭圆经过点P1 P2 点P1 P2的坐标适合椭圆方程 两式联立 解得 所求椭圆方程为 1 命题点3利用定义解决 焦点三角形 问题例3已知F1 F2是椭圆C 1 a b 0 的两个焦点 P为椭圆C上的一点 且 若 PF1F2的面积为9 则b 答案 解析 3 设PF1 r1 PF2 r2 因为2r1r2 r1 r2 2 4a2 4c2 4b2 又因为 所以b 3 几何画板展示 引申探究1 在例3中 若增加条件 PF1F2的周长为18 其他条件不变 求该椭圆的方程 解答 由原题得b2 a2 c2 9 又2a 2c 18 所以a c 1 解得a 5 故椭圆方程为 1 2 在例3中 若将条件 PF1F2的面积为9 分别改为 F1PF2 60 结果如何 解答 PF1 PF2 2a 又 F1PF2 60 所以 2PF1 PF2cos60 即 PF1 PF2 2 3PF1 PF2 4c2 所以PF1 PF2 b2 所以3PF1 PF2 4a2 4c2 4b2 所以PF1 PF2 又因为 所以b 3 1 求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法 利用椭圆的定义定形状时 一定要注意常数2a F1F2这一条件 2 求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法 具体过程是先定形 再定量 即首先确定焦点所在位置 然后再根据条件建立关于a b的方程组 如果焦点位置不确定 要考虑是否有两解 有时为了解题方便 也可把椭圆方程设为mx2 ny2 1 m 0 n 0 m n 的形式 3 当P在椭圆上时 与椭圆的两焦点F1 F2组成的三角形通常称为 焦点三角形 利用定义可求其周长 利用定义和余弦定理可求PF1 PF2 通过整体代入可求其面积等 思维升华 跟踪训练1 1 2016 盐城模拟 已知两圆C1 x 4 2 y2 169 C2 x 4 2 y2 9 动圆在圆C1内部且和圆C1相内切 和圆C2相外切 则动圆圆心M的轨迹方程为 答案 解析 设圆M的半径为r 则MC1 MC2 13 r 3 r 16 8 C1C2 所以M的轨迹是以C1 C2为焦点的椭圆 且2a 16 2c 8 故所求的轨迹方程为 1 几何画板展示 2 2016 镇江模拟 设F1 F2分别是椭圆 y2 1的左 右焦点 若椭圆上存在一点P 使 0 O为坐标原点 则 F1PF2的面积是 1 PF1 PF2 F1PF2 90 设PF1 m PF2 n 则m n 4 m2 n2 12 2mn 4 答案 解析 题型二椭圆的几何性质例4 1 已知点F1 F2是椭圆x2 2y2 2的左 右焦点 点P是该椭圆上的一个动点 那么的最小值是 2 答案 解析 设P x0 y0 则 1 x0 y0 1 x0 y0 2x0 2y0 点P在椭圆上 0 1 当 1时 取最小值2 2 2016 全国丙卷改编 已知O为坐标原点 F是椭圆C 1 a b 0 的左焦点 A B分别为椭圆C的左 右顶点 P为C上一点 且PF x轴 过点A的直线l与线段PF交于点M 与y轴交于点E 若直线BM经过OE的中点 则C的离心率为 答案 解析 设M c m 则 OE的中点为D 则 又B D M三点共线 所以 a 3c e 1 利用椭圆几何性质的注意点及技巧 注意椭圆几何性质中的不等关系在求与椭圆有关的一些量的范围 或者最大值 最小值时 经常用到椭圆标准方程中x y的范围 离心率的范围等不等关系 利用椭圆几何性质的技巧求解与椭圆几何性质有关的问题时 要结合图形进行分析 当涉及顶点 焦点 长轴 短轴等椭圆的基本量时 要理清它们之间的内在联系 2 求椭圆的离心率问题的一般思路求椭圆的离心率或其范围时 一般是依据题设得出一个关于a b c的等式或不等式 利用a2 b2 c2消去b 即可求得离心率或离心率的范围 思维升华 跟踪训练2 2016 江苏 如图 在平面直角坐标系xOy中 F是椭圆 1 a b 0 的右焦点 直线y 与椭圆交于B C两点 且 BFC 90 则该椭圆的离心率是 答案 解析 联立方程组 解得B C两点坐标为 又F c 0 则 又由 BFC 90 可得 0 代入坐标可得 c2 0 又因为b2 a2 c2 代入 式可化简为 则椭圆离心率为e 题型三直线与椭圆例5 2016 天津 设椭圆 1 a 的右焦点为F 右顶点为A 已知 其中O为原点 e为椭圆的离心率 1 求椭圆的方程 解答 设F c 0 由 可得a2 c2 3c2 又a2 c2 b2 3 所以c2 1 因此a2 4 所以椭圆的方程为 1 2 设过点A的直线l与椭圆交于点B B不在x轴上 垂直于l的直线与l交于点M 与y轴交于点H 若BF HF 且 MOA MAO 求直线l的斜率的取值范围 证明 设直线l的斜率为k k 0 则直线l的方程为y k x 2 设B xB yB 由方程组消去y 整理得 4k2 3 x2 16k2x 16k2 12 0 解得x 2或x 由题意 得xB 从而yB 由 1 知 F 1 0 设H 0 yH 由BF HF 得 0 所以 0 解得yH 设M xM yM 由方程组消去y 因此直线MH的方程为y 设M xM yM 由方程组消去y 在 MAO中 MOA MAO MA MO 即 xM 2 2 化简得xM 1 即 1 解得xM 解得k 或k 所以直线l的斜率的取值范围为 1 解决直线与椭圆的位置关系的相关问题 其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立 消元 化简 然后应用根与系数的关系建立方程 解决相关问题 涉及弦中点的问题时用 点差法 解决 往往会更简单 2 设直线与椭圆的交点坐标为A x1 y1 B x2 y2 则 k为直线斜率 提醒 利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的 不要忽略判别式 思维升华 跟踪训练3如图 已知椭圆O y2 1的右焦点为F B C分别为椭圆O的上 下顶点 P是直线l y 2上的一个动点 与y轴交点除外 直线PC交椭圆O于另一点M 1 当直线PM过椭圆的右焦点F时 求 FBM的面积 解答 由题意知B 0 1 C 0 1 焦点F 0 当直线PM过椭圆O的右焦点F时 直线PM的方程为 1 即y 1 联立 解得或 舍去 即点M的坐标为 连结BF 则直线BF的方程为 1 即x 0 又BF a 2 点M到直线BF的距离为 故 FBM的面积为S MBF 2 记直线BM BP的斜率分别为k1 k2 求证 k1 k2为定值 解答 方法一设P m 2 且m 0 则直线PM的斜率为k 则直线PM的方程为y x 1 联立消去y 得 0 解得点M的坐标为 所以k1 k2 为定值 方法二设点M的坐标为 x0 y0 x0 0 则直线PM的方程为y x 1 令y 2 得点P的坐标为 2 求的取值范围 解答 方法一由 知 m 3 令m2 4 t 4 因为y t 7在t 4 上单调递增 故的取值范围为 9 因为y t 7在t 0 2 上单调递减 令t y0 1 0 2 故的取值范围为 9 考点分析离心率是椭圆的重要几何性质 是高考重点考查的一个知识点 这类问题一般有两类 一类是根据一定的条件求椭圆的离心率 另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围 无论是哪类问题 其难点都是建立关于a b c的关系式 等式或不等式 并且最后要把其中的b用a c表示 转化为关于离心率e的关系式 这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法 高考中求椭圆的离心率问题 高频小考点8 典例1 2015 福建改编 已知椭圆E 1 a b 0 的右焦点为F 短轴的一个端点为M 直线l 3x 4y 0交椭圆E于A B两点 若AF BF 4 点M到直线l的距离不小于 则椭圆E的离心率的取值范围是 答案 解析 左焦点F0 连结F0A F0B 则四边形AFBF0为平行四边形 AF BF 4 AF AF0 4 a 2 设M 0 b 则 1 b 2 典例2 14分 2016 浙江 如图 设椭圆 y2 1 a 1 1 求直线y kx 1被椭圆截得的线段长 用a k表示 2 若任意以点A 0 1 为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点 求椭圆离心率的取值范围 规范解答 解 1 设直线y kx 1被椭圆截得的线段为AM 由得 1 a2k2 x2 2a2kx 0 故x1 0 x2 6分 2 假设圆与椭圆的公共点有4个 由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P Q 满足AP AQ 记直线AP AQ的斜率分别为k1 k2 且k1 k2 0 k1 k2 8分 由k1 k2 k1 k2 0 得1 a2 2 a2 0 因此 1 a2 a2 2 因为 式关于k1 k2的方程有解的充要条件是1 a2 a2 2 1 所以a 12分 因此 任意以点A 0 1 为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1 a 所以离心率的取值范围是 0 14分 课时作业 1 2016 苏北四市联考 已知椭圆的中心在原点 离心率e 且它的一个焦点与抛物线y2 4x的焦点重合 则此椭圆方程为 答案 解析 依题意 可设椭圆的标准方程为 1 a b 0 由已知可得抛物线的焦点为 1 0 所以c 1 又离心率e 解得a 2 b2 a2 c2 3 所以椭圆方程为 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 2016 苏北四市一模 已知椭圆 1 a b 0 点A B1 B2 F依次为其左顶点 下顶点 上顶点和右焦点 若直线AB2与直线B1F的交点恰在直线x 上 则椭圆的离心率为 答案 解析 由题意知直线AB2 1 直线B1F 1 联立解得x 若交点在椭圆的右准线上 则 即2c2 ac a2 0 所以2e2 e 1 0 解得e 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 2017 青岛月考 已知A1 A2分别为椭圆C 1 a b 0 的左 右顶点 P是椭圆C上异于A1 A2的任意一点 若直线PA1 PA2的斜率的乘积为 则椭圆C的离心率为 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4 2016 南昌模拟 已知椭圆 x2 1 过点P 的直线与椭圆相交于A B两点 且弦AB被点P平分 则直线AB的方程为 答案 解析 9x y 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 设A x1 y1 B x2 y2 因为A B在椭圆 x2 1上 即 x1 x2 x1 x2 0 又弦AB被点P 平分 所以x1 x2 1 y1 y2 1 将其代入上式 得 x1 x2 0 得 9 即直线AB的斜率为 9 所以直线AB的方程为y 9 x 即9x y 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 2016 宿迁模拟 已知F1 F2是椭圆 y2 1的两个焦点 P为椭圆上一动点 则使PF1 PF2取得最大值的点P为 答案 解析 0 1 或 0 1 由椭圆定义得PF1 PF2 2a 4 PF1 PF2 2 4 当且仅当PF1 PF2 2 即P 0 1 或 0 1 时 PF1 PF2取得最大值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6 2016 苏州质检 设A1 A2为椭圆 1 a b 0 的左 右顶点 若在椭圆上存在异于A1 A2的点P 使得 0 其中O为坐标原点 则椭圆的离心率e的取值范围是 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A1 a 0 A2 a 0 设P x y 则 x y a x y 0 a x x y y 0 y2 ax x2 0 0 x a 将y2 ax x2代入 1 整理得 b2 a2 x2 a3x a2b2 0 其在 0 a 上有解 令f x b2 a2 x2 a3x a2b2 f 0 a2b2 0 f a 0 如图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 a3 2 4 b2 a2 a2b2 a2 a4 4a2b2 4b4 a2 a2 2b2 2 0 对称轴满足0 a 即0 a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7 若椭圆 1 a 0 b 0 的焦点在x轴上 过点 2 1 作圆x2 y2 4的切线 切点分别为A B 直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点 则椭圆方程为 答案 解析 设切点坐标为 m n 则 1 即m2 n2 n 2m 0 m2 n2 4 2m n 4 0 即直线AB的方程为2x y 4 0 直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点 2c 4 0 b 4 0 解得c 2 b 4 a2 b2 c2 20 椭圆方程为 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8 已知P为椭圆 1上的一点 M N分别为圆 x 3 2 y2 1和圆 x 3 2 y2 4上的点 则PM PN的最小值为 答案 解析 7 由题意知椭圆的两个焦点F1 F2分别是两圆的圆心 且PF1 PF2 10 从而PM PN的最小值为PF1 PF2 1 2 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9 2017 连云港质检 椭圆 y2 1的左 右焦点分别为F1 F2 点P为椭圆上一动点 若 F1PF2为钝角 则点P的横坐标的取值范围是 设椭圆上一点P的坐标为 x y F1PF2为钝角 0 即x2 3 y2 0 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10 已知过椭圆 1 a b 0 的左顶点A a 0 作直线l交y轴于点P 交椭圆于点Q 若 AOP是等腰三角形 且 则椭圆的离心率为 答案 解析 AOP是等腰三角形 A a 0 P 0 a 设Q x0 y0 x0 y0 a 2 a x0 y0 代入椭圆方程化简 可得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11 2016 南京模拟 如图 椭圆C 1 a b 0 的右焦点为F 右顶点 上顶点分别为A B 且AB BF 1 求椭圆C的离心率 解答 由已知AB BF 即 4a2 4b2 5a2 4a2 4 a2 c2 5a2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 若斜率为2的直线l过点 0 2 且l交椭圆C于P Q两点 OP OQ 求直线l的方程及椭圆C的方程 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 设P x1 y1 Q x2 y2 直线l的方程为y 2 2 x 0 即2x y 2 0 由 1 知a2 4b2 椭圆C 1 由消去y 322 16 17 b2 4 0 解得b 得x2 4 2x 2 2 4b2 0 即17x2 32x 16 4b2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 即x1x2 y1y2 0 x1x2 2x1 2 2x2 2 0 5x1x2 4 x1 x2