高考数学大一轮复习 第十四章 选考部分 14_1 坐标系与参数方程 第1课时 坐标系课件 理 新人教版

14 1坐标系与参数方程 第1课时坐标系 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 设点P x y 是平面直角坐标系中的任意一点 在变换 的作用下 点P x y 对应到点P x y 称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 简称伸缩变换 1 平面直角坐标系 知识梳理 2 极坐标系 1 极坐标与极坐标系的概念在平面内取一个定点O 自点O引一条射线Ox 同时确定一个长度单位和计算角度的正方向 通常取逆时针方向 这样就建立了一个极坐标系 点O称为极点 射线Ox称为极轴 平面内任一点M的位置可以由线段OM的长度 和从射线Ox到射线OM的角度 来刻画 如图所示 这两个数组成的有序数对 称为点M的极坐标 称为点M的 称为点M的 一般认为 0 当极角 的取值范围是 0 2 时 平面上的点 除去极点 就与极坐标 0 建立一一对应的关系 我们设定 极点的极坐标中 极径 0 极角 可取任意角 极径 极角 2 极坐标与直角坐标的互化设M为平面内的一点 它的直角坐标为 x y 极坐标为 由图可知下面关系式成立 这就是极坐标与直角坐标的互化公式 3 常见曲线的极坐标方程 r 0 2 2rcos 2rsin 0 sin a 0 1 2016 北京西城区模拟 求在极坐标系中 过点 2 且与极轴平行的直线方程 考点自测 解答 过点 0 2 且与x轴平行的直线方程为y 2 即为 sin 2 解答 3 在以O为极点的极坐标系中 圆 4sin 和直线 sin a相交于A B两点 当 AOB是等边三角形时 求a的值 解答 由 4sin 可得x2 y2 4y 即x2 y 2 2 4 由 sin a可得y a 设圆的圆心为O y a与x2 y 2 2 4的两交点A B与O构成等边三角形 如图所示 由对称性知 O OB 30 OD a 题型分类深度剖析 题型一极坐标与直角坐标的互化 例1 1 以直角坐标系的原点为极点 x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 求线段y 1 x 0 x 1 的极坐标方程 解答 y 1 x化成极坐标方程为 cos sin 1 0 x 1 线段在第一象限内 含端点 2 在极坐标系中 曲线C1和C2的方程分别为 sin2 cos 和 sin 1 以极点为平面直角坐标系的原点 极轴为x轴的正半轴 建立平面直角坐标系 求曲线C1和C2交点的直角坐标 解答 因为x cos y sin 由 sin2 cos 得 2sin2 cos 所以曲线C1的直角坐标方程为y2 x 由 sin 1 得曲线C2的直角坐标方程为y 1 思维升华 1 极坐标与直角坐标互化的前提条件 极点与原点重合 极轴与x轴的正半轴重合 取相同的单位长度 2 直角坐标方程化为极坐标方程比较容易 只要运用公式x cos 及y sin 直接代入并化简即可 而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些 解此类问题常通过变形 构造形如 cos sin 2的形式 进行整体代换 跟踪训练1 1 曲线C的直角坐标方程为x2 y2 2x 0 以原点为极点 x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 求曲线C的极坐标方程 解答 将x2 y2 2 x cos 代入x2 y2 2x 0 得 2 2 cos 0 整理得 2cos 2 求在极坐标系中 圆 2cos 垂直于极轴的两条切线方程 解答 由 2cos 得 2 2 cos 化为直角坐标方程为x2 y2 2x 0 即 x 1 2 y2 1 其垂直于x轴的两条切线方程为x 0和x 2 题型二求曲线的极坐标方程 例2将圆x2 y2 1上每一点的横坐标保持不变 纵坐标变为原来的2倍 得曲线C 1 写出曲线C的方程 解答 设 x1 y1 为圆上的点 在已知变换下变为曲线C上的点 x y 2 设直线l 2x y 2 0与C的交点为P1 P2 以坐标原点为极点 x轴正半轴为极轴建立极坐标系 求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程 解答 化为极坐标方程 并整理得2 cos 4 sin 3 思维升华 求曲线的极坐标方程的步骤 1 建立适当的极坐标系 设P 是曲线上任意一点 2 由曲线上的点所适合的条件 列出曲线上任意一点的极径 和极角 之间的关系式 3 将列出的关系式进行整理 化简 得出曲线的极坐标方程 跟踪训练2在极坐标系中 已知圆C经过点P 圆心为直线与极轴的交点 求圆C的极坐标方程 解答 令 0 得 1 所以圆C的圆心坐标为 1 0 如图所示 因为圆C经过点 于是圆C过极点 所以圆C的极坐标方程为 2cos 题型三极坐标方程的应用 例3 2015 课标全国 在直角坐标系xOy中 直线C1 x 2 圆C2 x 1 2 y 2 2 1 以坐标原点为极点 x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 1 求C1 C2的极坐标方程 解答 因为x cos y sin 所以C1的极坐标方程为 cos 2 C2的极坐标方程为 2 2 cos 4 sin 4 0 由于C2的半径为1 所以 C2MN为等腰直角三角形 解答 思维升华 1 已知极坐标系方程讨论位置关系时 可以先化为直角坐标方程 2 在曲线的方程进行互化时 一定要注意变量的范围 注意转化的等价性 跟踪训练3 2017 广州调研 在极坐标系中 求直线 sin 2被圆 4截得的弦长 解答 课时作业 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 在极坐标系 0 2 中 求曲线 cos sin 1与 sin cos 1的交点的极坐标 解答 曲线 cos sin 1化为直角坐标方程为x y 1 sin cos 1化为直角坐标方程为y x 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3 在极坐标系中 已知圆 3cos 与直线2 cos 4 sin a 0相切 求实数a的值 解答 圆 3cos 的直角坐标方程为x2 y2 3x 直线2 cos 4 sin a 0的直角坐标方程为2x 4y a 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 以极点为坐标原点 极轴为x轴建立直角坐标系 则曲线 2cos 的直角坐标方程为 x 1 2 y2 1 且圆心为 1 0 因为圆心 1 0 关于y x的对称点为 0 1 所以圆 x 1 2 y2 1关于y x的对称曲线为x2 y 1 2 1 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 对曲线C1的极坐标方程进行转化 12sin 2 12 sin x2 y2 12y 0 即x2 y 6 2 36 对曲线C2的极坐标方程进行转化 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解答 OA 4 OB 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7 已知P 5 O为极点 求使 POP 为正三角形的点P 的坐标 解答 设P 点的极坐标为 POP 为正三角形 如图所示 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8 在极坐标系中 判断直线 cos sin 1 0与圆 2sin 的位置关系 直线 cos sin 1 0可化成x y 1 0 圆 2sin 可化为x2 y2 2y 即x2 y 1 2 1 解答 故直线与圆相交 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解答 1 将M N P三点的极坐标化为直角坐标 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解答 2 判断M N P三点是否在一条直线上 kMN kNP M N P三点在一条直线上 1 2