药物中问题.doc

。数模作业 -施救药物中毒问题 姓名学院年级专业学号联系电话相关学科成绩高等数学线性代数概率统计数学模型数学实验英语四级英语六级史仪男弘深学院12级电气2012395018883386628877081545535屈子琪弘深学院12级电气2012415318580472912816868480450赵玉洁弘深学院12级经管2012048018875030846886881535承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 重庆大学 参赛队员 (打印并签名) ：1. 史仪男 2. 屈子琪 3. 赵玉洁 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 肖剑 日期： 2014 年 4 月 20 日2。摘要本文研究的是药物中毒后的解救方法，建立用洗胃方法清除体内毒物的模型并比较该方法的效果。 在本问题中，我们假设该孩子送往医院后立即采取治疗措施（洗胃、渗析、活性炭等），中间时间忽略不计。在进行施救处理时，可采用多种方法，例如口服活性炭增加药物排出的速率，或者进行血液透析，洗胃法。药物中被胃吸收的部分完全进入血液系统，即肠道不会储存和吸收药物，血液系统内药物的分布即血药浓度是均匀的。此时可以将血液系统看作一个房室，建立“一室模型”，将胃肠中的药物量设为x(t)，肠胃中药物向血液中的转移率为x(t)；血液中的药物量设为y(t)，血液向体外排毒的排除率为y(t)。假设药物的转移率和排除率不随身体状况变化，仅与x(t)有关，仅与y(t)有关且正比于x(t)，正比于y(t)。我们建立血液系统与胃室系统的两个微分模型，通过联系求解以及两模型中初始值的变化，采用MATLAB软件来模拟出胃室中药物浓度的突变过程以及血液浓度随时间变化过程，观察胃肠中以及血液中的药物含量，从而判定该施救方法是否有效。“施救药物中毒”数学模型是通过药物在人体中血液浓度的变化来观测人体是否处于正常范围，如果没有在正常值内则需要讨论采用活性炭，血液透析甚至洗胃的方法来控制血液中的药物浓度。综合计算数据，我们可以得出结论：如果送入医院早且误食药物比较多则应该尽早的采用洗胃的方法；如果送入医院较晚且误食药物比较多，在身体允许的情况下，应该尽快采用血液透析的方法加速药物的排除；如果误食药物比较少，则可以采用活性炭方法加速药物的排除。关键词：一室模型 微分方程模型 施救活性炭 血液透析 洗胃一、问题的重述两位家长带着孩子急匆匆来到医院急诊室，诉说两小时前孩子一次误吞下11片治疗哮喘病、剂量100mg/片的氨茶碱片，已出现呕吐、头晕等不良症状。 按照药品使用说明书，氨茶碱的每次用量成人是100200mg ，儿童是35 mg/kg，过量服用可使血药浓度(单位血液容积中的药量)过高，100g/ml浓度会出现严重中毒, 200g/ml浓度可致命。医生需要判断：孩子的血药浓度会不会达到100200 g/ml；如果会达到，应采取怎样的紧急施救方案. 在如何施救药物中毒例子中,增加方法三洗胃，建模比较该方法的效果。二、模型假设与符号说明2.1模型假设 1) 假设题目中所给数据全部真实可靠。2) 认为血液系统内药物的分布，即血药浓度是均匀的，可以将血液系统看作一个房室，建立“一室模型”。3) 假设药物中被胃吸收的部分完全进入血液系统，即肠道不会储存和吸收药物。（由于肠道不会吸收药物，所以认为没有药物可以通过排泄作用而减少）。4) 胃肠道中药量x(t), 血液系统中药量y(t),救治后血液里的血药浓度为z(t)，时间t以孩子误服药的时刻为起点（t=0）。5) 假设药物的转移率和排除率不随身体状况变化，仅与x(t)有关，仅与y(t)有关。且正比于x(t)，正比于y(t)。6) 假设该孩子送往医院后立即采取治疗措施（洗胃、渗析、活性炭等），中间时间忽略不计。7) 一般中毒较严重的洗胃时间为半小时。8) 通常，50kg到60kg的成人血液总量约为4000ml，由于孩子的体重大约为成人体重的一半，因此假设孩子的血液总量为2000ml。9) 在实际问题中, 病人可能因并发症导致生命危险，本模型中不加考虑，仅考虑因血液内药物浓度直接导致的中毒症状。10) 为便于分析，认为洗胃对血液中药物浓度没有直接影响。11) 假设每次抽洗将胃中药物减小到原来的50%。12) 假设t=2时开始采取洗胃疗法，t=2.5h时洗胃结束，中间洗胃三次，每次10分钟。13) 氨茶碱被吸收的半衰期为5 h，排除的半衰期为6 h。2.2符号说明1) t时间2) 胃肠道中的药物量为x(t)，血液系统中的药量为y(t)，以孩子误食药物时刻为t=0时刻3) 转移率的比例常数为4) 排除率的比例常数为5) 活性炭法和血液透析法中血液系统内药物浓度6) 活性炭法和血液透析法中胃内药物浓度三、问题的分析在本案列中，胃中药物浓度与血液中药物浓度为关键变量。其中血液系统对药物的吸收率与排除率，由药物的半衰期决定；在胃室中，药物的减少量与血液中药物的吸收以及洗胃的排除有关。经查阅资料，洗胃治疗法通常有两种分类，一种是催吐洗胃法，另一种是胃管洗胃法。催吐法一般是指中毒2h之内，应立即采取催吐法，而该患者已中毒2h，一般采用第二种洗胃方法。通过三次洗胃，每次洗胃可以清洗胃中原有药量的50%。应采用微分方程模型，建立胃室系统药物浓度与时间的关系与血液系统中药物浓度与时间的关系，二者之间的联系是胃室中药物向血液的转移率与胃室中药物浓度成正比。通过三次洗胃，分段描述胃中药物的含量以及血液中药物的含量。四、模型的建立与求解4.1模型建立药物中毒的抢救的模型，是典型的微分方程模型，因此，这里对于三种抢救方法均采用微分方程模型的相关知识求解。这里将人体分为两个部分，分别为吸收室（胃部）与中心室（血液系统），由问题中所述，可以认为当血液系统中药物总量大于400mg时，病人病危，总量小于200mg时，病人脱离危险。方法一：活性炭法；方法二：血液透析法。在这两种方法中为我们可以采用一个模型进行求解，因为活性炭法和血液透析法都是提高了药物的排除率（活性炭：2倍；血液透析：6倍），故只涉及到计算时数值的问题，而模型是一致的。设在一个微小时间内胃中药物吸收符合以下等式 ： ,由此可得胃内药物的微分方程：。同理血液系统中的药物符合，进而得。结合边界条件x(0)及药物半衰期可分别得出未施救情况下胃内药物浓度变化及血液内浓度变化。而急救方法一、二均是提升药物排出率至原先的2倍及6倍。只需修改并结合边界条件并重解方程即可得施救后血液浓度曲线。方法三：洗胃法；由前述可知，每次洗胃时，先将洗胃液用管子注入胃中，10分钟后抽出，管子插入和抽出的时间忽略不计。在这10分钟内，认为胃中药物继续以相应的转移率进入血液系统。每次抽取后，胃中药品剩余原先胃中药物总量的50%。4.2模型求解我们可以定义血药浓度为血药浓度=血液中的药量/血液总量，x(t)下降速度与x(t)成正比(比例系数)。由此可得 由初值条件x(0)=1100可知， 药物吸收的半衰期为5 h，由此可得， 所以y(t)由吸收而增长的速度是，由排除而减少的速度与y(t) 成正比(比例系数). 由初值条件y(0)=0可知， 由于药物的半衰期为6h，此时只考虑血液对药物的排除，有 可知， 由,可知， 因此，胃肠中的药物浓度为 血液系统中的药物浓度为 ，当采取口服活性炭时，增大为原来的2倍。此时， 当采用体外血液透析时，可增至0.11556=0.693，=0.1386，此时， ，解出：y（t）=exp(-(693*t)/1000)*(473*exp(693/500)/2 - 275*exp(693/625) + 275*exp(-(693*t)/1000).*exp(693*t)/1250);当采用洗胃治疗法时，在t=2时刻注入洗胃液，10分钟后取出胃中药物总量的50%，这10分钟内，第一次抽出的量为 抽出后立即再次注入洗胃液，10分钟后取出胃中剩余药物总量的50%，该10分钟内，第二次抽出的量为 第三次进行洗胃，抽出的量为 在第三次抽出后，x(t)继续按相应的转移率衰减，对于y(t)，第一次洗胃结束后，初值=250.8667解出：y=y1=exp(-(231*t)/2000)*(15532861378489137912717799286413*exp(1001/4000)/21000000000000000000000000000 + 6600*exp(-1001/20000) - exp(-(231*t)/2000)*(10264660678489137912717799286413*exp(231*t)/2000)/21000000000000000000000000000 + 6600*exp(-(231*t)/10000)该段时间内图像如下：第二次洗胃结束后，初值255 解出：y=exp(-(231*t)/2000)*(184656401087232722089585717776809*exp(539/2000)/192500000000000000000000000000 + 6600*exp(-539/10000) - exp(-(231*t)/2000).*(135568901087232722089585717776809*exp(231*t)/2000)/192500000000000000000000000000 + 6600*exp(-(231*t)/10000)该段时间内，图像如下：第三次洗胃结束后，初值254.9解出：y=exp(-(231*t)/2000)*(16268304557041777835042096863399*exp(231/800)/15400000000000000000000000000 + 6600*exp(-231/4000) - exp(-(231*t)/2000).*(12342844557041777835042096863399*exp(231*tc)/2000)/15400000000000000000000000000 + 6600*exp(-(231*t)/10000) 该段时间内图像如下：将三次洗胃过程中y(t)的图像整合，并与不采取任何治疗方法时y(t)的曲线进行对比。作图如下：由上图可以看出：1) 采用血液透析的方法远远比活性炭的方法效率高； 2) 同时洗胃的效果虽然没有血液透析疗法明显，也可以很好的降低血液中的药物浓度；3) 综合比较可以得出如果送入医院早且误食药物比较多则应该尽早的采用洗胃的方法；如果送入医院较晚且误食药物比较多，在身体允许的情况下，应该尽快采用血液透析的方法加速药物的排除；如果误食药物比较少，则可以采用活性炭方法加速药物的排除。五、模型的评价与改进通过对该模型的建立和求解，我们发现，该模型较好的抓住次问题中的主要变量，总结并简化出二室模型来进行求解分析；该模型中很好的忽略了不相关变量，从而使模型更加直观明了；另外，在程序的求解过程中，我们采用了matlab函数很好的模拟出了胃中与血液中药物浓度的变化曲线，使问题分析更加清楚明了；在本次模型建立中，分别给出了三种对应抢救方式及其对应曲线，可使在实际生活中更好的选择采用哪一种方式进行降低血液药物浓度。缺点是，当我们把洗胃疗法中的y(t)图像细看可以发现，三次洗胃的模型基本上在整张图中无法看出，将该图放大如下：可以看出，由于三次洗胃的时间都很短，在整张图像中基本看不出来，完全可以整合成一次，并且洗胃时间忽略不计。因此我们将模型继续优化：其余假设不变，然而对于洗胃疗法，我们假设治疗时间忽略不计，且只进行一次洗胃。在t=2时刻，胃中的药物含量值x(t)突变为0。得到微分方程，解出得y(t)，将y(t)作图，并与无处理、口服活性炭、血液透析另外三种方法进行比较，图如下：可以看出，该模型更加简单易懂，且不影响治疗结果，图像与实际情况吻合的更好。六、参考文献【1】数学建模，刘锋，葛照强，南京：南京大学出本社 2005【2】全国大学生数学建模竞赛组委会，全国大学生数学建模竞赛优秀论文汇编 ，北京：中国物价出版社，2002附：求解源程序t=0:0.01:30;y=(1100*0.1386)/0.0231*(exp(-0.1155*t)-exp(-0.1386*t):0:0.01:30;y=(1100*0.1386)/0.0231*(exp(-0.1155*t)-exp(-0.1386*t);t=0:0.01:30;y=(1100*0.1386)/0.0231*(exp(-0.1155*t)-exp(-0.1386*t);x=1100*exp(-0.1386*t);t1=2:0.01:30;z1=1650*exp(-0.1386*t1)-1609.5*exp(0.2310*t1);plot(t,x,r,t,y,b,t1,z1,k),xlabel(t/h),ylabel(药物总量/ml),legend(胃肠中的药量,无处理下的血药总量)plot(t,x,r,t,y,b,t1,z1,k),xlabel(t/h),ylabel(药物总量/ml),legend(胃肠中的药量,无处理下的血药总量,口服活性炭下的血药总量)dsolve(dz2=0.1386*1100*exp(-0.1386*t1)-0.693*z2,z2(t1)=236.5)z2=exp(-(693*t1)/1000)*(473*exp(693/500)/2 - 275*exp(693/625) + 275*exp(-(693*t1)/1000).*exp(693*t1)/1250);plot(t,y,b,t1,z1,k,t1,z2,r),xlabel(t/h),ylabel(药物总量/ml),legend(无处理下的血药总量,口服活性炭下的血药总量,体外血液透析下的血药总量)dsolve(Dy1=-0.1155+1100*0.1386*exp(-0.1386*ta)-550*0.1386*exp(-0.1386*13/6);ta=13/6:0.01:7/3dsolve(Dy1=-0.1155*y1+1100*0.1386*exp(-0.1386*ta)-550*0.1386*exp(-0.1386*13/6),y1(13/6)=250.8667,ta)y1=exp(-(231*ta)/2000)*(15532861378489137912717799286413*exp(1001/4000)/21000000000000000000000000000 + 6600*exp(-1001/20000) - exp(-(231*ta)/2000).*(10264660678489137912717799286413.*exp(231*ta)/2000)/21000000000000000000000000000 + 6600*exp(-(231*ta)/10000);ta=13/6:0.01:7/3plot(ta,y1)tb=7/3:0.01:5/2;dsolve(Dy2=-0.1155*y2+1100*0.1386*exp(-0.1386*tb)-550*0.1386*exp(-0.1386*7/3)-255*0.1386*exp(-0.1386*13/6),y2(7/3)=255,tb)y2=exp(-(231*tb)/2000)*(184656401087232722089585717776809*exp(539/2000)/192500000000000000000000000000 + 6600*exp(-539/10000) - exp(-(231*tb)/2000).*(135568901087232722089585717776809*exp(231*tb)/2000)/192500000000000000000000000000 + 6600*exp(-(231*tb)/10000);plot(tb,y2)dsolve(Dy2=-0.1155*y2+1100*0.1386*exp(-0.1386*tc)-550*0.1386*exp(-0.1386*5/2)-255*0.1386*exp(-0.1386*7/3)-255/2*0.1386*exp(-0.1386*13/6),y2(5/2)=254.9,tc)y3=exp(-(231*tc)/2000)*(16268304557041777835042096863399*exp(231/800)/15400000000000000000000000000 + 6600*exp(-231/4000) - exp(-(231*tc)/2000).*(12342844557041777835042096863399*exp(231*tc)/2000)/15400000000000000000000000000 + 6600*exp(-(231*t