江西省上饶中学高三数学上学期期中试卷 理（零、培优、实验、理补班含解析）.doc

2015-2016学年江西省上饶中学高三（上）期中数学试卷（理科）（零、培优、实验、理补班）一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）1已知集合a=x|x2160，b=5，0，1，则（）aab=bbacab=0，1dab2已知等差数列an的前n项和为sn，且满足s4+a25=5，则一定有（）aa6是常数bs7是常数ca13是常数ds13是常数3若0xy1，0a1，则下列不等式正确的是（）a3logaxlogay2bcosaxcosaycaxaydxaya4记cos（80）=k，那么tan100=（）abcd5已知点a（1，0），b（1，0），过定点m（0，2）的直线l上存在点p，使得，则直线l的倾斜角的取值范围是（）abc dd6设，且tan=，则下列结论中正确的是（）a2=b2+=c=d+=7已知f（x）=2x+3（xr），若|f（x）1|a的必要条件是|x+1|b（a，b0），则a，b之间的关系是（）abcd8已知函数f（x）的定义域是（0，+），且满足f（xy）=f（x）+f（y），如果对于0xy，都有f（x）f（y），不等式f（x）+f（3x）2的解集为（）a1，0）（3，4b1，0）c（3，4d1，49已知x，y满足，则使目标函数z=yx取得最小值4的最优解为（）a（2，2）b（4，0）c（4，0）d（7，3）10函数y=的图象大致为（）abcd11已知点g是abc的重心，（ ，r），若a=120，则的最小值是（）abcd12设曲线y=（ax1）ex在点a（x0，y0）处的切线为l1，曲线y=（1x）ex在点b（x0，y1）处的切线为l2，若存在x00，使得l1l2，则实数a的取值范围是（）a（，1b（，+）c（1，）d1，二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）13已知x，y（0，+），则的最小值为14已知数列an中a1=2，a2=1，an+2=（nn*），sn是数列an的前n项和，则s2015=15如图，在平面直角坐标系xoy中，将直线y=与直线x=1及x轴所围成的图形绕x轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积v圆锥=（）2dx=|=据此类比：将曲线y=x2（x0）与直线y=2及y轴所围成的图形绕y轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积v=16已知函数f（x）=g（x）=asin（x+）2a+2（a0），给出下列结论：函数f（x）的值域为0，；函数g（x）在0，1上是增函数；对任意a0，方程f（x）=g（x）在0，1内恒有解；若存在x1，x20，1，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围是，其中所有正确结论的序号是三、解答题（17题10分，其它每题12分）17在abc中，a，b，c分别是内角a，b，c的对边，且（2ac）cosbbcosc=0（1）求b；（2）设函数f（x）=2cos（2x+b），将f（x）的图象向左平移后得到函数g（x）的图象，求函数g（x）的单调递增区间18若mr，命题p：设x1，x2是方程x2ax3=0的两个实根，不等式|m+1|x1x2|对任意实数a2，2恒成立，命题q：函数f（x）=x3+mx2+（m+）x+3在（，+）上有极值，求使p且q为真命题，求实数m的取值范围19已知数列an是各项均为正数的等差数列，首项a1=1，其前n项和为sn，数列bn是等比数列，首项b1=2，且b2s2=16，b3s3=72（）求数列an和bn的通项公式；（）令c1=1，c2k=a2k1，c2k+1=a2k+kbk，其中k=1，2，3，求数列cn的前2n+1项和t2n+120定义在r上的函数g（x）及二次函数h（x）满足：g（x）+2g（x）=ex+9，h（2）=h（0）=1且h（3）=2（1）求g（x）和h（x）的解析式；（2）对于x1，x21，1，均有h（x1）+ax1+5g（x2）x2g（x2）成立，求a的取值范围21设正项数列an的前n项和sn，且满足sn=a+（nn*）（）计算a1，a2，a3的值，猜想an的通项公式，并证明你的结论；（）设tn是数列的前n项和，证明：tn22已知函数f（x）=在点（1，f（1）处的切线与x轴平行（）求实数a的值及f（x）的极值；（）是否存在区间（t，t+）（t0），使函数f（x）在此区间上存在极值和零点？若存在，求实数t的取值范围，若不存在，请说明理由；（）如果对任意的，有|f（x1）f（x2）|k|，求实数k的取值范围2015-2016学年江西省上饶中学高三（上）期中数学试卷（理科）（零、培优、实验、理补班）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）1已知集合a=x|x2160，b=5，0，1，则（）aab=bbacab=0，1dab【考点】交集及其运算【专题】集合【分析】根据集合的基本运算进行求解即可【解答】解：a=x|x2160=x|4x4，b=5，0，1，则ab=0，1，故选：c【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础2已知等差数列an的前n项和为sn，且满足s4+a25=5，则一定有（）aa6是常数bs7是常数ca13是常数ds13是常数【考点】等差数列的前n项和【专题】等差数列与等比数列【分析】将s4+a25=5有首项与公差表示得到a1+6d=1，即a7=1，利用等差数列的前n项和公式及等差数列的性质得到答案【解答】解：设等差数列an的公差为d，等差数列an中s4+a25=5，a1+6d=1，即a7=1，故选：d【点评】本题考查等差数列的前n项和公式及等差数列的性质，属于一道基础题3若0xy1，0a1，则下列不等式正确的是（）a3logaxlogay2bcosaxcosaycaxaydxaya【考点】不等式的基本性质【专题】计算题；不等式【分析】利用幂函数的性质判断即可【解答】解：0xy1，0a1，xaya，故选：d【点评】此题考查了不等式的基本性质，熟练掌握幂函数的单调性是解本题的关键4记cos（80）=k，那么tan100=（）abcd【考点】弦切互化【专题】计算题【分析】法一：先求sin80，然后化切为弦，求解即可法二：先利用诱导公式化切为弦，求出求出结果【解答】解：法一，所以tan100=tan80=：法二cos（80）=kcos（80）=k， =【点评】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识，并突出了弦切互化这一转化思想的应用5已知点a（1，0），b（1，0），过定点m（0，2）的直线l上存在点p，使得，则直线l的倾斜角的取值范围是（）abc dd【考点】平面向量数量积的运算；直线的倾斜角【专题】平面向量及应用【分析】先需要设出直线l的方程，所以需讨论l是否存在斜率：存在斜率时l方程便为y=kx+2，这样即可设出p（x，kx+2），所以能得到的坐标，从而根据条件会得到关于x的不等式（1+k2）x2+4kx+30，要满足条件，该不等式便有解，从而0，这样便得到k，这样即可求出此时l倾斜角的范围；而不存在斜率时，用与上面类似的方法容易判断出这种情况满足条件，从而得到，这两种情况的求并集即可【解答】解：如图，（1）若l存在斜率，设直线l的方程为y=kx+2；设p（x，kx+2）；=（1x，kx2）（1x，kx2）=（1+k2）x2+4kx+30；该不等式有解；=16k212（1+k2）0；解得k，或k；，且；（2）若l不存在斜率，则l方程为x=0；设p（0，y）；1y1；即存在p点使；而此时；综上得直线l的倾斜角的范围是故选：a【点评】考查直线的点斜式方程，由点的坐标求向量的坐标，向量数量积的坐标运算，一元二次不等式是否有解和判别式的关系，熟悉正切函数的图象，知道倾斜角的取值范围，注意不要漏了斜率不存在的情况6设，且tan=，则下列结论中正确的是（）a2=b2+=c=d+=【考点】二倍角的余弦；二倍角的正弦【专题】三角函数的求值【分析】利用二倍角公式得出，然后分子分母同时除以cos，最后由角的范围得出答案即可【解答】解：因为，+（，），所以故选：c【点评】本题主要考查了二倍角的应用，属于基础题7已知f（x）=2x+3（xr），若|f（x）1|a的必要条件是|x+1|b（a，b0），则a，b之间的关系是（）abcd【考点】绝对值不等式；必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】计算题【分析】化简|f（x）1|a得x化简|x+1|b得b1xb1，由题意可得（， ）（b1，b1），故b1，b1，由此求得a，b之间的关系【解答】解：|f（x）1|a即|2x+2|a，即a2x+2a，即x|x+1|b即bx+1b 即b1xb1|f（x）1|a的必要条件是|x+1|b（a，b0），（， ）（b1，b1），b1，b1，解得b，故选a【点评】本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义，绝对值不等式的解法，属于中档题8已知函数f（x）的定义域是（0，+），且满足f（xy）=f（x）+f（y），如果对于0xy，都有f（x）f（y），不等式f（x）+f（3x）2的解集为（）a1，0）（3，4b1，0）c（3，4d1，4【考点】抽象函数及其应用【专题】计算题；函数的性质及应用【分析】由已知令x=y=1求得f（1）=0，再求f（2）=1，即有f（4）=2，原不等式f（x）+f（3x）2即为fx（3x）f（4）再由单调性即可得到不等式组，解出它们即可【解答】解：由于f（xy）=f（x）+f（y），令x=y=1则f（1）=2f（1），即f（1）=0，则f（1）=f（2）=f（2）+f（）=0，由于，则f（2）=1，即有f（4）=2f（2）=2，不等式f（x）+f（3x）2即为fx（3x）f（4）由于对于0xy，都有f（x）f（y），则f（x）在（0，+）上递减，则原不等式即为，即有，即有1x0，即解集为1，0）故选b【点评】本题考查抽象函数及运用，考查函数的单调性和运用：解不等式，考查解决抽象函数的常用方法：赋值法，属于中档题9已知x，y满足，则使目标函数z=yx取得最小值4的最优解为（）a（2，2）b（4，0）c（4，0）d（7，3）【考点】简单线性规划【专题】计算题；作图题；不等式的解法及应用【分析】由题意作出其平面区域，将z=yx化为y=x+z，z相当于直线y=x+z的纵截距，由图象可得最优解【解答】解：由题意作出其平面区域，将z=yx化为y=x+z，z相当于直线y=x+z的纵截距，则由平面区域可知，使目标函数z=yx取得最小值4的最优解为（4，0）；故选c【点评】本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题10函数y=的图象大致为（）abcd【考点】函数的图象【专题】函数的性质及应用【分析】先判断函数的奇偶性，再根据函数值的变化规律即可得到答案【解答】解：函数f（x）=，f（x）=f（x），f（x）为奇函数，故图象关于原点对称，故排除a，当x从右趋向于0时，f（x）趋向于+，当x趋向于+时，f（x）趋向于0，故排除bc，故选：d【点评】本题考查了函数图象的识别，常用的方法利用函数的奇偶性，单调性，特殊值，属于中档题11已知点g是abc的重心，（ ，r），若a=120，则的最小值是（）abcd【考点】平面向量的综合题【专题】计算题【分析】由三角形重心的性质可得，设，由向量数量积的定义可知，可得xy=4，然后根据向量数量积的性质可得|=，结合基本不等式可求【解答】解：由向量加法的三角形法则及三角形重心的性质可得，a=120，则根据向量的数量积的定义可得，设即xy=4=x2+y22xy=8（当且仅当x=y取等号）即的最小值为故选：c【点评】此题是一道平面向量与基本不等式结合的试题，解题的关键是利用平面向量的数量积的性质把所求的问题转化为=，还利用了基本不等式求解最值12设曲线y=（ax1）ex在点a（x0，y0）处的切线为l1，曲线y=（1x）ex在点b（x0，y1）处的切线为l2，若存在x00，使得l1l2，则实数a的取值范围是（）a（，1b（，+）c（1，）d1，【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】导数的概念及应用；直线与圆【分析】根据曲线方程分别求出导函数，把a和b的横坐标x0分别代入到相应的导函数中求出切线l1和切线为l2的斜率，然后根据两条切线互相垂直得斜率乘积为1，列出关于x0的等式，求出a，对a的函数求得导数，判断为减函数，求出其值域即可得到a的取值范围【解答】解：函数y=（ax1）ex的导数为y=（ax+a1）ex，l1的斜率为k1=（ax0+a1），函数y=（1x）ex的导数为y=（x2）exl2的斜率为k2=（x02），由题设有k1k2=1从而有（ax0+a1）（x02）=1，a（x02x02）=x03，x00，得到x02x020，所以a=，又a=，令导数大于0得，1x05，故a=在（0，1）是减函数，在（1，）上是增函数，x0=0时取得最大值为；x0=1时取得最小值为11a故选d【点评】此题是一道综合题，考查学生会利用导数求切线的斜率，会求函数的值域，掌握两直线垂直时斜率的关系二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）13已知x，y（0，+），则的最小值为3【考点】基本不等式在最值问题中的应用【专题】计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用【分析】由可得x+y=3；化简=+=+，从而利用基本不等式求最值【解答】解：，x3=y；即x+y=3；故=+=+2=+=3；（当且仅当=，即x=1，y=2时，等号成立）故答案为：3【点评】本题考查了函数的性质的应用及基本不等式的应用，属于中档题14已知数列an中a1=2，a2=1，an+2=（nn*），sn是数列an的前n项和，则s2015=5239【考点】数列的求和【专题】方程思想；转化思想；归纳法；等差数列与等比数列【分析】由a1=2，a2=1，an+2=（nn*），可得an+5=an即可得出【解答】解：a1=2，a2=1，an+2=（nn*），a3=2，a4=4，a5=4，a6=2，a7=1，an+5=ans2015=s5403=（2+1+2+4+4）403=5239故答案为：5239【点评】本题考查了数列的周期性、递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题15如图，在平面直角坐标系xoy中，将直线y=与直线x=1及x轴所围成的图形绕x轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积v圆锥=（）2dx=|=据此类比：将曲线y=x2（x0）与直线y=2及y轴所围成的图形绕y轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积v=2【考点】用定积分求简单几何体的体积【专题】导数的概念及应用；推理和证明【分析】根据类比推理，结合定积分的应用，即可求出旋转体的体积【解答】解：根据类比推理得体积v=ydy=，故答案为：2【点评】本题主要考查旋转体的体积的计算，根据类比推理是解决本题的关键16已知函数f（x）=g（x）=asin（x+）2a+2（a0），给出下列结论：函数f（x）的值域为0，；函数g（x）在0，1上是增函数；对任意a0，方程f（x）=g（x）在0，1内恒有解；若存在x1，x20，1，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围是，其中所有正确结论的序号是【考点】分段函数的应用【专题】阅读型；函数的性质及应用【分析】求得f（x）的各段的值域，再求并集，即可判断；化简g（x），判断g（x）的单调性即可判断；求出g（x）在0，1的值域，求出方程f（x）=g（x）在0，1内无解的a的范围，即可判断；由得，有解的条件为：g（x）的最小值不大于f（x）的最大值且g（x）的最大值不小于f（x）的最小值，解出a的范围，即可判断【解答】解：当x0，时，f（x）=x是递减函数，则f（x）0，当x（，1时，f（x）=2（x+2）+8，f（x）=20，则f（x）在（，1上递增，则f（x）（，则x0，1时，f（x）0，故正确；当x0，1时，g（x）=asin（x+）2a+2（a0）=acosx2a+2，由a0，0x，则g（x）在0，1上是递增函数，故正确；由知，a0，x0，1时g（x）23a，2，若23a或20，即0a或a，方程f（x）=g（x）在0，1内无解，故错；故存在x1，x20，1，使得f（x1）=g（x2）成立，则解得a故正确故答案为：【点评】本题考查分段函数的运用，考查函数的值域和单调性及运用，考查存在性命题成立的条件，转化为最值之间的关系，属于易错题和中档题三、解答题（17题10分，其它每题12分）17在abc中，a，b，c分别是内角a，b，c的对边，且（2ac）cosbbcosc=0（1）求b；（2）设函数f（x）=2cos（2x+b），将f（x）的图象向左平移后得到函数g（x）的图象，求函数g（x）的单调递增区间【考点】正弦定理【专题】解三角形【分析】（1）已知等式利用正弦定理化简，整理后再利用诱导公式、两角和的正弦公式变形，求出cosb的值，即可确定出b的大小；（2）根据三角函数图象平移法则、诱导公式求出g（x），再由正弦函数的单调递增区间、整体思想，求出函数g（x）的单调递增区间【解答】解：（1）由（2ac）cosbbcosc=0及正弦定理得，（2sinasinc）cosbsinbcosc=0，即2sinacosbsin（b+c）=0，因为a+b+c=，所以sin（b+c）=sina，因为sina0，所以cosb=，由b是三角形内角得，b=，（2）由（1）得，b=，则f（x）=2cos（2x+b）=2cos（2x+），所以g（x）=2cos2（x+）+，=2cos（2x+）=2sin2x，由得，故函数g（x）的单调递增区间是：【点评】本题主要考查正弦定理，诱导公式、两角和的正弦公式，以及正弦函数的单调性的应用，属于中档题18若mr，命题p：设x1，x2是方程x2ax3=0的两个实根，不等式|m+1|x1x2|对任意实数a2，2恒成立，命题q：函数f（x）=x3+mx2+（m+）x+3在（，+）上有极值，求使p且q为真命题，求实数m的取值范围【考点】复合命题的真假【专题】简易逻辑【分析】对于p，先求出|x1x2|2，4，再根据不等式|m+1|x1x2|对任意实数a2，2恒成立，得到|m+1|4，解得m的范围，对于q，函数f（x）=x3+mx2+（m+）x+3在（，+）上有极值，则f（x）=3x2+2mx+（m+）=0有实根，根据判别式求出a的范围，由于p且q为真命题，得到p真，q假，问题得解【解答】解：若命题p为真命题，x1，x2是方程x2ax3=0的两个实根x1+x2=a，x1x2=3，|x1x2|=，a2，2，|x1x2|2，4，|m+1|x1x2|对任意实数a2，2恒成立，则只要|m+1|x1x2|max在a2，2成立即可|m+1|4m+14或m+14，m3，或m5，若命题q为真命题，f（x）=x3+mx2+（m+）x+3，f（x）=3x2+2mx+（m+），函数f（x）=x3+mx2+（m+）x+3在（，+）上有极值，f（x）=3x2+2mx+（m+）=0有实根，=4m212m400，解得m2，或m5，p且q为真命题，p真，q假，解得3m5，实数m的取值范围为3，5）【点评】本题目主要考查了复合命题的真假判断的应用，解题得关键是熟练应用函数的知识准确求出命题p，q为真时的m的取值范围，属于中档题19已知数列an是各项均为正数的等差数列，首项a1=1，其前n项和为sn，数列bn是等比数列，首项b1=2，且b2s2=16，b3s3=72（）求数列an和bn的通项公式；（）令c1=1，c2k=a2k1，c2k+1=a2k+kbk，其中k=1，2，3，求数列cn的前2n+1项和t2n+1【考点】数列的求和；等差数列的性质【专题】等差数列与等比数列【分析】（）设an的公差为d，bn的公比为q，则d0，利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；（ii）利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出【解答】解：（）设an的公差为d，bn的公比为q，则d0，依题意有，解得：或（舍去），an=1+2（n1）=2n1，（）t2n+1=c1+c2+c3+c4+c2n+1，t2n+1=c1+a1+（a2+b1）+a3+（a4+2b2）+a2n1+（a2n+nbn）=1+s2n+（b1+2b2+nbn），令，得：，【点评】本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20定义在r上的函数g（x）及二次函数h（x）满足：g（x）+2g（x）=ex+9，h（2）=h（0）=1且h（3）=2（1）求g（x）和h（x）的解析式；（2）对于x1，x21，1，均有h（x1）+ax1+5g（x2）x2g（x2）成立，求a的取值范围【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数恒成立问题；二次函数的性质【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用【分析】（1）令x=x得到g（x）+2g（x）=2ex+9，与g（x）+2g（x）=ex+9构成方程组，解得即可求出g（x），h（x）是二次函数，且h（2）=h（0）=1，可设h（x）=ax（x+2）+1，带值计算即可；（2）构造函数设（x）=h（x）+ax+5=x2+（a2）x+6，f（x）=g（x）xg（x）=ex3x（ex3）=（1x）ex+3x3，转化为，当1x1时，（x）minf（x）max利用导数求出最值即可【解答】解：（1）g（x）+2g（x）=ex+9，g（x）+2g（x）=ex+9，即g（x）+2g（x）=2ex+9，由联立解得，g（x）=ex3h（x）是二次函数，且h（2）=h（0）=1，可设h（x）=ax（x+2）+1，由h（3）=2，解得a=1，h（x）=x（x+2）+1=x22x+1，g（x）=ex3，h（x）=x22x+1（2）设（x）=h（x）+ax+5=x2+（a2）x+6，f（x）=g（x）xg（x）=ex3x（ex3）=（1x）ex+3x3，依题意知，当1x1时，（x）minf（x）maxf（x）=ex+（1x）ex+3=xex+3，在1，1上单调递减，f（x）min=f（1）=3e0，f（x）在1，1上单调递增，f（x）max=f（1）=0，解得3a7，实数a的取值范围为3，7【点评】本题考查了函数解析式的求法，和导数和函数的最值问题，培养了学生的转化能力，运算能力，属于中档题21设正项数列an的前n项和sn，且满足sn=a+（nn*）（）计算a1，a2，a3的值，猜想an的通项公式，并证明你的结论；（）设tn是数列的前n项和，证明：tn【考点】数列的求和【专题】等差数列与等比数列【分析】（）由已知条件利用递推导思想求出a1=1，a2=2，a3=3由此猜想an=n，再用数学归纳法进行证明（）证法一：由，利用裂项求和法和放缩法进行证明证法二：利用用数学归纳法进行证明【解答】（）解：当n=1时，解得a1=1，解得a2=2，解得a3=3猜想an=n.3分，证明：（）当n=1时，显然成立（）假