高中数学 第2章 推理与证明章末复习课课件 苏教版选修

章末复习课 第2章推理与证明 学习目标1 了解合情推理的含义 能利用归纳 类比进行简单的推理 2 了解直接证明的两种基本方法 分析法和综合法 并会利用分析法和综合法证明简单的问题 3 了解反证法的思想 并能灵活应用 题型探究 知识梳理 内容索引 当堂训练 知识梳理 1 合情推理 1 归纳推理 定义 从个别事实中推演出的结论的推理称为归纳推理 归纳推理的思维过程大致是 特点 由到整体 由到一般的推理 2 类比推理 定义 根据两个 或两类 对象之间在某些方面的相似或相同 推演出它们在其他方面也相似或相同 像这样的推理通常称为类比推理 类比推理的思维过程为 特点 类比推理是由到的推理 一般性 实验 观察 概括 推广 猜测一般性结论 部分 个别 观察 比较 联想 类推 猜测新的结论 特殊 特殊 3 合情推理合情推理是根据 以及个人的和直觉等推测某些结果的推理过程 和都是数学活动中常用的合情推理 2 演绎推理 1 演绎推理由一般性的命题推演出特殊性命题的推理方法叫演绎推理 简言之 演绎推理是由到的推理 已有的事实 正确的结论 实验和实践的结果 经验 归纳推理 类比推理 一般 特殊 2 三段论 是演绎推理的一般模式 大前提 已知的 小前提 所研究的 结论 根据一般原理 对作出的判断 3 直接证明 1 综合法 定义 从已知条件出发 以已知的定义 公理 定理为依据 逐步下推 直到推出要证明的结论为止 这种证明方法常称为综合法 思维过程 由因导果 一般原理 特殊情况 特殊情况 2 分析法 定义 从问题的结论出发 追溯导致结论成立的条件 逐步上溯 直到使结论成立的条件和已知条件吻合为止 这种证明方法常称为分析法 思维过程 执果索因 4 间接证明用反证法来证明时 要从否定结论开始 经过正确的推理 导致逻辑矛盾 从而达到新的否定 即肯定原命题 题型探究 例1 1 有一个奇数列1 3 5 7 9 现在进行如下分组 第一组含一个数 1 第二组含两个数 3 5 第三组含三个数 7 9 11 第四组含四个数 13 15 17 19 试观察每组内各数之和f n n N 与组的编号数n的关系式为 类型一合情推理的应用 解析由于1 13 3 5 8 23 7 9 11 27 33 13 15 17 19 64 43 猜想第n组内各数之和f n 与组的编号数n的关系式为f n n3 f n n3 答案 解析 解答 2 在平面几何中 对于Rt ABC AC BC 设AB c AC b BC a 则 a2 b2 c2 cos2A cos2B 1 把上面的结论类比到空间写出相类似的结论 试对其中一个猜想进行证明 解选取3个侧面两两垂直的四面体作为直角三角形的类比对象 设3个两两垂直的侧面的面积分别为S1 S2 S3 底面面积为S 设3个两两垂直的侧面与底面所成的角分别为 则cos2 cos2 cos2 1 设3个两两垂直的侧面形成的侧棱长分别为a b c 则这个四面体 下面对 的猜想进行证明 如图在四面体A BCD中 AB AC AD两两垂直 面ABC 面ABD 面ACD为三个两两垂直的侧面 设AB a AC b AD c 即所证猜想为真命题 1 归纳推理中有很大一部分题目是数列内容 通过观察给定的规律 得到一些简单数列的通项公式是数列中的常见方法 2 类比推理重在考查观察和比较的能力 题目一般情况下较为新颖 也有一定的探索性 反思与感悟 跟踪训练1 1 观察下列图形中小正方形的个数 则第n个图形中有 个小正方形 答案 解析 解析第1个图有3个正方形记作a1 第2个图有3 3个正方形记作a2 第3个图有6 4个正方形记作a3 第4个图有10 5个正方形记作a4 正方形的个数构成数列 an 则a2 a1 3 1 a3 a2 4 2 a4 a3 5 3 an an 1 n 1 n 1 1 2 n 1 得an a1 3 4 5 n 1 2 若数列 an 为等差数列 Sn为其前n项和 则有性质 若Sm Sn m n N 且m n 则Sm n 0 类比上述性质 相应地 当数列 bn 为等比数列时 写出一个正确的性质 答案 数列 bn 为等比数列 Tm表示其前m项的积 若Tm Tn m n N m n 则Tm n 1 类型二综合法与分析法 证明 证明方法一 综合法 因为a 0 b 0 a b 1 方法二 分析法 因为a 0 b 0 a b 1 所以原不等式成立 反思与感悟 分析法和综合法是两种思路相反的推理方法 分析法是倒溯 综合法是顺推 二者各有优缺点 分析法容易探路 且探路与表述合一 缺点是表述易错 综合法条件清晰 易于表述 因此对于难题常把二者交互运用 互补优缺 形成分析综合法 其逻辑基础是充分条件与必要条件 跟踪训练2已知x 0 y 0 求证 x2 y2 x3 y3 证明 证明要证明 x2 y2 x3 y3 只需证 x2 y2 3 x3 y3 2 只需证x6 3x4y2 3x2y4 y6 x6 2x3y3 y6 只需证3x4y2 3x2y4 2x3y3 又x 0 y 0 x2y2 0 只需证3x2 3y2 2xy 3x2 3y2 x2 y2 2xy 3x2 3y2 2xy成立 故 x2 y2 x3 y3 类型三反证法 证明 因为x 0且y 0 所以1 x 2y且1 y 2x 两式相加 得2 x y 2x 2y 所以x y 2 这与已知x y 2矛盾 反思与感悟 反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题 涉及 都是 都不是 至少 至多 等形式的命题时 也常用反证法 跟踪训练3已知 ac 2 b d 求证 方程x2 ax b 0与方程x2 cx d 0中至少有一个方程有实数根 证明 证明假设两方程都没有实数根 则 1 a2 4b2ac 即ac 2 b d 与已知矛盾 故原命题成立 当堂训练 1 A B C三个人 A说B撒谎 B说C撒谎 C说A B都撒谎 则 必定是在撒谎 答案 2 3 4 5 1 解析 C 解析假设C没有撒谎 则C真 此时A假并且B假 由于A假 则可知B真 这与B假矛盾 所以假设是错误的 C没有撒谎不成立 则C一定撒谎 2 3 4 5 1 解析 答案 4 解析 a b c a b 0 b c 0 a c 0 且a c a b b c 故k的最大正整数为4 3 已知在 ABC中 AD BC于D 三边是a b c 则有a ccosB bcosC 类比上述推理结论 写出下列条件下的结论 在四面体P ABC中 ABC PAB PBC PCA的面积分别是S S1 S2 S3 二面角P AB C P BC A P AC B的度数分别是 则S 2 3 4 5 1 答案 S1cos S2cos S3cos 4 如图 这是一个正六边形的序列 2 3 4 5 1 则第n个图形的边数为 答案 5n 1 解析 解析图 1 共6条边 图 2 共11条边 图 3 共16条边 其边数构成以6为首项 5为公差的等差数列 则图 n 的边数为an 6 n 1 5 5n 1 2 3 4 5 1 证明 证明因为a b 所以a b 0 平方得 a 2 b 2 2 a b 2 a 2 b 2 只需证 a 2 b 2 2 a b 0成立 即只需证 a b 2 0 它显然成立 故