2012走向高考数学_3

基础知识一 二项式定理 二 二项式系数的性质 1 对称性 在二项展开式中 与首末两端 等距离 的两个二项式系数相等 二项式系数是当时 二项式系数是当n是偶数时 中间的一项取得最大值 当n是奇数时 中间两项和相等 且同时取得最大值 递增的 递减的 3 各二项式系数的和 4 二项展开式中 偶数项的二项式系数的和奇数项的二项式系数的和 即 2n 等于 易错知识一 某项的二项式系数与某项的系数混淆1 1 2x 5的展开式中第三项的系数为 第三项的二项式系数为 答案 4010二 二项展开式的通项公式的应用失误 2 二项式的展开式中的常数项为 答案 三 二项式定理的逆用失误3 答案 513 答案 解题思路 本题式子类似于二项式 1 6 n展开式的形式 但与还有一定的差距 可观察其差距 构造转化成 1 6 n展开式的形式 再逆用此展开式 得到所要求的结果 失分警示 不能熟练掌握二项式定理展开式形式 构造二项式定理右边的展开式 逆用公式得出结果 四 化归与转化思想应用错误5 求 x2 3x 2 5的展开式中x的一次项的系数 失分警示 本题三项式的正整数幂的展开式问题 可以转化为二项式的展开式来解决 转化时把哪两项添括号看作一项 则要由需要解决什么样的问题来定 五 审题错误6 若 2x 1 5 a0 a1x a2x2 a5x5 求 a1 a2 a3 a4 a5 的值 解题思路 令x 1 代入展开式 可得 2 1 5 a0 a1 a2 a3 a4 a5 a1 a2 a3 a4 a5 a0 243 又令x 0 可得a0 1 5 1 a1 a2 a3 a4 a5 1 243 242 又由二项式的展开式知a1 a3 a5 R a2 a4 R a1 a2 a3 a4 a5 a1 a2 a3 a4 a5 242 失分警示 误区1 令x 1 则 a1 a2 a5 2 1 1 5 1 即错把x 1代入所得的值当成是所求的和 其实此时的值是展开式各系数之和 即a0 a1 a5的值 误区2 令x 1 则 a1 a2 a5 2 1 1 5 243 这是错在解题不细致 审题不严密 错将x 1时的值认为是所求和的相反数 其实应在此基础上减去 a0 回归教材1 2009 重庆 3 x 2 6的展开式中x3的系数为 A 20B 40C 80D 160解析 由二项展开式的通项公式得Tr 1 Cx6 r2r 当6 r 3时 r 3 所以x3的系数为23 C 8 20 160 故选D 答案 D 3 2009 山东烟台模拟 设S x 1 4 4 x 1 3 6 x 1 2 4x 3 则S可化简为 A x4B x4 1C x 2 4D x4 4答案 A 4 在的二项展开式中 含x的奇次幂的项之和为S 则S等于 A 23014B 23014C 23015D 23015 答案 B 5 已知的展开式中第3项的二项式系数与第8项的二项式系数相等 则展开式的中间两项分别是 例1 在二项式的展开式中 前三项的系数成等差数列 求展开式中的有理项和二项式系数最大的项 思维启迪 利用已知条件前三项的系数成等差数列求出n 再用通项公式求有理项 解析 二项展开式的前三项的系数分别是 n 8 展开式中共9项 中间一项即第5项的二项式系数最大 探究拓展 求二项展开式中的指定项 一般是利用通项公式 化简通项公式后 令字母的指数符合要求 求常数项时 指数为零 求有理项时 指数为整数等 解出项数k 1 代回通项公式即可 2009 浙江宁波十校联考一模 若的展开式中含项的系数为 560 则n等于 A 4B 6C 7D 11答案 C 2008 江西 1 6 1 10展开式中的常数项为 A 1B 46C 4245D 4246答案 D 命题立意 本题主要考查二项展开式的通项 同时考查用二项展开式通项求常数项的知识 例2 已知 1 2x 7 a0 a1x a2x2 a7x7 求 1 a1 a2 a7 2 a1 a3 a5 a7 3 a0 a2 a4 a6 4 a0 a1 a2 a7 1 a0 C 1 a1 a2 a3 a7 2 2 2 得a1 a3 a5 a7 1094 3 2 得a0 a2 a4 a61093 4 1 2x 7展开式中 a0 a2 a4 a6都大于零 而a1 a3 a5 a7都小于零 a0 a1 a2 a7 a0 a2 a4 a6 a1 a3 a5 a7 由 2 3 即可得其值为2187 探究拓展 本题采用的是 赋值法 它普通适用于恒等式 是一种重要的方法 在解有关问题时 经常要用到这种方法 对形如 ax b n ax2 bx c m a b c R m n N 的式子求其展开式的各项系数之和 常用赋值法 只需令x 1即可 对 ax by n a b R n N 的式子求其展开式各项系数之和 只需令x y 1即可 一般地 若f x a0 a1x a2x2 anxn 则f x 展开式中各项系数之和为f 1 奇数项系数之和为a0 a2 a4 偶数项系数之和为a1 a3 a5 2009 西安一模 设二项式的展开式的各项系数和为p 所有二项式系数的和是s 若p s 272 则n A 6B 5C 4D 8答案 C解析 中令x 1得4n p 所有二项式系数的和2n s 所以4n 2n 272 解得n 4 在的二项展开式中 含x的奇次幂的项之和为S 当x 时 S等于 A 23008B 23008C 23009D 23009答案 B 总结评述 组合数相加 项数较多时 可利用组合数性质或二项式系数之和的性质 例3 1 用二项式定理证明 34n 2 52n 1能被14整除 证明 1 利用二项式定理证明多项式的整除问题 关键是对被除式进行合理变形 把它写成恰当的二项式形式 使其展开后的每一项都含有除式的因式 即可证得整除 上式是14的倍数 能被14整除 原式得证 2 方法1 利用组合数性质 二项式定理是化简证明组合式的重要依据 但有时可利用构造数学模型的方法 考虑组合问题 在n个元素的集合A B A B 中选出n个元素的选法种数可按两种方法来计算 1 9192除以100的余数是 2 求1 056的近似值 精确到0 01 由于前面各项均能被100整除 只有末尾两项不能被100整除 由于 被100除余81 总结评述 1 转化为二项展开式来求 2 解此类问题要注意题目要求结果精确到什么或保留几