江西省修水县第一中学高三数学第一轮复习 基本不等式导学案.doc

江西省修水县第一中学2011届高三第一轮复习导学案：基本不等式目标导航 一.知识与技能了解基本不等式的证明过程,会用基本不等式解决简单的最值问题。 二.过程与方法通过探索基本不等式的证明方法，挖掘基本不等式的几何内涵，转化基本不等式的形式，应用基本不等式解决问题，培养思维能力思考交流问题一：什么是基本不等式？你能用不同的方法来证明吗？问题二：请你构造一个几何图形来解释基本不等式。问题三：基本不等式有哪些等价形式？如何用基本不等式解决一些最大（小）值问题？典例探究例1.（1）已知求的最大值；（2）已知，求的最小值；（3）已知，求的最小值。例2. 如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱污水从a孔流入，经沉淀后从b孔流出。设箱体的长度为a米，高度为b米。已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比。现有制箱材料60平方米。问当a，b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（a、b孔的面积忽略不计）。解法一：设y为流出的水中杂质的质量分数，则，其中k0为比例系数，依题意，即所求的a，b值使y值最小。这时a=6,a=-10(舍去) 将a=6代入式得b=3。故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。解法二：依题意，即所求的a，b值使ab最大。由题设知当且仅当a=2b时，上式取等号。由a0,b0，解得0ab18即当a=2b时，ab取得最大值，其最大值为18。2b2=18解b=3,a=6故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。变式拓展变式1：设，则的最小值是（a）2（b）4（c） （d）5b变式2：已知，则的最小值是（a） 3（b） 4（c） （d） b变式3：若对任意恒成立，则的取值范围是 变式4：dbcoae设，称为a、b的调和平均数，如图，c为线段ab上的点，且，o为ab的中点，以ab为直径作半圆，过点c作ab的垂线交半圆于d，连结od，ad，bd，过点c做od的垂线，垂足为e则图中线段od的长度是a，b的算术平均数，线段 的长度是a，b的几何平均数，线段 的长度是a，b的调和平均数cd，de小结反思1.如果把看作是正数的等差中项，看作是正数的等比中项，那么基本不等式可以描述为 ；在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数，那么基本不等式可以描述为 ；2. 基本不等式的推广形式有（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；3.用基本不等式求最大（小）值时，应注意哪些问题？你都知道哪些技巧？巩固演练1已知不等式对任意正实数，恒成立，则正实数的最小值为（b）2某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买吨，运费为4万元次，一年的总存储费用为万元要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则吨203若且，则的最小值为（d）4已知，成等差数列，成等比数列，则的最小值是（d）5设为正实数，且满足，则的最小值为3；6设若是与的等比中项，则的最小值为（ b ）a8 b4 c1 d 7.已