高中数学 第三章 导数及其应用 3_3_2 第1课时 利用导数研究函数的极值课件 新人教b版选修1-1

第三章 导数及其应用 3 3 2利用导数研究函数的极值第1课时利用导数研究函数的极值 学习目标 1 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 2 会用导数求函数的极大值 极小值 其中多项式函数一般不超过三次 3 掌握函数在某一点取得极值的条件 1 预习导学挑战自我 点点落实 2 课堂讲义重点难点 个个击破 3 当堂检测当堂训练 体验成功 知识链接 在必修1中 我们研究了函数在定义域内的最大值与最小值问题 但函数在定义域内某一点附近 也存在着哪一点的函数值大 哪一点的函数值小的问题 如何利用导数的知识来判断函数在某点附近函数值的大小问题 观察下图 函数y f x 在x d e f g h i等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系 y f x 在这些点处的导数值是多少 在这些点附近 y f x 的导数的符号有什么规律 答 以d e两点为例 函数y f x 在点x d处的函数值f d 比它在点x d附近其他点的函数值都小 f d 0 在x d的附近的左侧f x 0 右侧f x 0 预习导引 1 极值点与极值已知函数f x 及其定义域内一点x0 对于存在一个包含x0的开区间内的所有点x 如果都有 则称函数f x 在点x0处取极大值 记作y极大值 f x0 并把x0称为函数f x 的一个极大值点 如果都有 则称函数f x 在点x0处取极小值 记作y极小值 f x0 并把x0称为函数f x 的一个极小值点 极大值与极小值统称为 极大值点与极小值点统称为极值点 f x f x0 f x f x0 极值 2 求可导函数y f x 极值的步骤 1 求导数f x 2 求方程f x 0的所有实数根 3 对每个实数根进行检验 判断在每个根的左右侧 导函数f x 的符号如何变化 如果f x 的符号由正变负 则f x0 是极大值 如果f x 的符号由负变正 则f x0 是极小值 如果在f x 0的根x x0的左右侧符号不变 则f x0 不是极值 要点一求函数的极值 解函数的定义域为R 令f x 0 得x 1 或x 1 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 由上表可以看出 当x 1时 函数有极小值 且极小值为f 1 3 当x 1时 函数有极大值 且极大值为f 1 1 规律方法求可导函数f x 的极值的步骤 1 确定函数的定义域 求导数f x 2 求方程f x 0的根 3 用函数的导数为0的点 顺次将函数的定义域分成若干个小开区间 并列成表格 检测f x 在方程根左右两侧的值的符号 如果左正右负 那么f x 在这个根处取得极大值 如果左负右正 那么f x 在这个根处取得极小值 如果左右不改变符号 那么f x 在这个根处无极值 当x变化时 f x 与f x 的变化情况如下表 因此当x 1时 f x 有极小值f 1 3 要点二利用函数极值确定参数的值例2已知函数f x ax3 bx2 cx a 0 在x 1处取得极值 且f 1 1 1 求常数a b c的值 解f x 3ax2 2bx c x 1是函数f x 的极值点 x 1是方程f x 0的两根 即3ax2 2bx c 0的两根 又f 1 1 a b c 1 2 判断x 1是函数的极大值点还是极小值点 试说明理由 并求出极值 当x1时 f x 0 当 1 x 1时 f x 0 函数f x 在 1 和 1 上是增函数 在 1 1 上是减函数 当x 1时 函数取得极大值f 1 1 当x 1时 函数取得极小值f 1 1 规律方法 1 利用函数的极值确定参数的值 常根据极值点处导数为0和极值点两侧导数的符号列方程组 利用待定系数法求解 2 因为 导数值等于零 不是 此点为极值点 的充要条件 所以利用待定系数法求解后 必须验证根的合理性 跟踪演练2已知f x x3 3ax2 bx a2在x 1时有极值0 求常数a b的值 解因为f x 在x 1时有极值0 且f x 3x2 6ax b 当a 1 b 3时 f x 3x2 6x 3 3 x 1 2 0 所以f x 在R上为增函数 无极值 故舍去 当a 2 b 9时 f x 3x2 12x 9 3 x 1 x 3 当x 3 1 时 f x 为减函数 当x 1 时 f x 为增函数 所以f x 在x 1时取得极小值 因此a 2 b 9 要点三函数极值的综合应用例3设函数f x x3 6x 5 x R 1 求函数f x 的单调区间和极值 解f x 3x2 6 令f x 0 2 若关于x的方程f x a有三个不同的实根 求实数a的取值范围 解由 1 的分析知y f x 的图象的大致形状及走向如图所示 直线y a与y f x 的图象有三个不同的交点 规律方法用求导的方法确定方程根的个数 是一种很有效的方法 它通过函数的变化情况 运用数形结合思想来确定函数图象与x轴的交点个数 从而判断方程根的个数 跟踪演练3若函数f x 2x3 6x k在R上只有一个零点 求常数k的取值范围 解f x 2x3 6x k 则f x 6x2 6 令f x 0 得x 1或x 1 可知f x 在 1 1 上是减函数 f x 在 1 和 1 上是增函数 f x 的极大值为f 1 4 k f x 的极小值为f 1 4 k 要使函数f x 只有一个零点 只需4 k0 如图所示 即k4 k的取值范围是 4 4 1 2 3 4 1 下列关于函数的极值的说法正确的是 A 导数值为0的点一定是函数的极值点B 函数的极小值一定小于它的极大值C 函数在定义域内有一个极大值和一个极小值D 若f x 在 a b 内有极值 那么f x 在 a b 内不是单调函数解析由极值的概念可知只有D正确 D 2 函数f x 的定义域为R 导函数f x 的图象如图所示 则函数f x A 无极大值点 有四个极小值点B 有三个极大值点 两个极小值点C 有两个极大值点 两个极小值点D 有四个极大值点 无极小值点 1 2 3 4 1 2 3 4 解析f x 的符号由正变负 则f x0 是极大值 f x 的符号由负变正 则f x0 是极小值 由图象易知有两个极大值点 两个极小值点 答案C 1 2 3 4 3 已知f x x3 ax2 a 6 x 1有极大值和极小值 则a的取值范围为 A 1 2 B 3 6 C 1 2 D 3 6 解析f x 3x2 2ax a 6 因为f x 既有极大值又有极小值