江苏省赣榆县清华园双语学校高三数学培优班附加题强化试题1(1).doc

江苏省赣榆县清华园双语学校2014届高三数学培优班附加题强化试题121.选做题在b、c、d四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.b选修42：矩阵与变换若点a（2，2）在矩阵对应变换的作用下得到的点为b（2，2），求矩阵的逆矩阵c.选修4 - 4：坐标系与参数方程在极坐标系中，直线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数），求直线与曲线的交点p的直角坐标.必做题 第22、23题,每小题10分,计20分.22、如图，正四棱锥中，、相交于点，求：（1）直线与直线所成的角；（2）平面与平面所成的角23、某射击小组有甲、乙两名射手，甲的命中率为，乙的命中率为p2，在射击比武活动中每人射击发两发子弹则完成一次检测，在一次检测中，若两人命中次数相等且都不少于一发，则称该射击小组为“先进和谐组”；（1）若，求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率；（2）计划在2011年每月进行1次检测，设这12次检测中该小组获得“先进和谐组”的次数，如果e5，求p2的取值范围江苏省数学高考附加题强化试题2班级 姓名 得分 21.选做题在b、c、d四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.b选修42：矩阵与变换二阶矩阵对应的变换将点与分别变换成点与求矩阵；c选修44：坐标系与参数方程若两条曲线的极坐标方程分别为r =l与r =2cos(+)，它们相交于a，b两点，求线段ab的长22（本小题10分）口袋中有个白球，3个红球依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球记取球的次数为x若，求（1）n的值； （2）x的概率分布与数学期望23已知抛物线和抛物线在交点处的两条切线互相垂直，求实数a的值江苏省数学高考附加题强化试题3班级 姓名 得分 21.选做题在b、c、d四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.b（选修42：矩阵与变换）已知矩阵a，若矩阵a属于特征值6的一个特征向量为1，属于特征值1的一个特征向量为2求矩阵a，并写出a的逆矩阵c（选修44：坐标系与参数方程）已知曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数），求直线被曲线截得的线段长度.必做题 第22、23题,每小题10分,计20分.22（本小题满分10分）某中学选派名同学参加上海世博会青年志愿者服务队（简称“青志队”），他们参加活动的次数统计如表所示()从“青志队”中任意选名学生，求这名同学中至少有名同学参加活动次数恰好相等的概率； ()从“青志队”中任选两名学生，用表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望活动次数参加人数23如图，已知抛物线c：y2=4x的焦点为f，过f的直线l与抛物线c交于a（x1，y1）（y10），b（x2，y2）两点，t为抛物线的准线与x轴的交点（1）若，求直线l的斜率；（2）求atf的最大值 江苏省数学高考附加题强化试题4班级 姓名 得分 21.选做题在b、c、d四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.b（选修42：矩阵与变换）已知在二阶矩阵对应变换的作用下，四边形变成四边形，其中， ，（1）求出矩阵；（2）确定点及点的坐标c（选修44：坐标系与参数方程）为参数，为参数，且，求实数的取值范围必做题 第22、23题,每小题10分,计20分.22（本小题满分10分）如图所示，在四棱锥pabcd中，侧面pad是正三角形，且垂直于底面abcd，底面abcd是边长为2的菱形，m为pc上一点，且pa平面bdm求证：m为pc中点；求平面abcd与平面pbc所成的锐二面角的大小apbcdm第22题图23（本小题满分10分）已知抛物线l的方程为，直线截抛物线l所得弦求p的值；抛物线l上是否存在异于点a、b的点c，使得经过a、b、c三点的圆和抛物线l在点c处有相同的切线若存在，求出点c的坐标；若不存在，请说明理由江苏省数学高考附加题强化试题5班级 姓名 得分 21.选做题在b、c、d四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.b（选修42：矩阵与变换） 求将曲线绕原点逆时针旋转后所得的曲线方程c（选修44：坐标系与参数方程）求圆心为，半径为3的圆的极坐标方程.【必做题】第22题，23题，每题10分，共20分；解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤22如图，平面平面abc，是等腰直角三角形，ac =bc= 4，四边形abde是直角梯形，bdae，bdba，,，求直线cd和平面odm所成角的正弦值ambcode23,已知数列an满足，且a1=3（1）计算a2，a3，a4的值，由此猜想数列an的通项公式，并给出证明；（2）求证：当n2时，江苏省数学高考附加题强化试题6班级 姓名 得分 21.选做题在b、c、d三小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.b选修42：矩阵与变换求关于直线y=3x的对称的反射变换对应的矩阵ac选修44：坐标系与参数方程在极坐标系中,过曲线外的一点(其中为锐角)作平行于的直线与曲线分别交于.（1）写出曲线和直线的普通方程(以极点为原点,极轴为轴的正半轴建直角坐标系)； （2）若成等比数列,求的值.必做题 第22、23题,每小题10分,计20分.22（本小题10分）如图，已知四棱柱abcda1b1c1d1中，a1d底面abcd，底面abcd是边长为1的正方形，侧棱aa1=2。 （i）求证：c1d/平面abb1a1； （ii）求直线bd1与平面a1c1d所成角的正弦值； 23（本小题10分）某银行的一个营业窗口可办理四类业务，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，经统计以往100位顾客办理业务所需的时间（t），结果如下：类别a类b类c类d类顾客数（人）20304010时间t（分钟/人）2346注：银行工作人员在办理两项业务时的间隔时间忽略不计，并将频率视为概率（）求银行工作人员恰好在第6分钟开始办理第三位顾客的业务的概率；（）用x表示至第4分钟末已办理完业务的顾客人数，求x的分布列及数学期望 江苏省数学高考附加题强化试题7班级 姓名 得分 21.选做题在b、c、d三小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.b选修42：矩阵与变换已知abc，a(1，0)，b(3，0)，c(2，1)，对它先作关于x轴的反射变换，再将所得图形绕原点逆时针旋转90（1）分别求两次变换所对应的矩阵m1，m2；（2）求点c在两次连续的变换作用下所得到的点的坐标c选修44：坐标系与参数方程已知曲线的参数方程为，曲线的极坐标方程为（1）将曲线的参数方程化为普通方程；（2）曲线与曲线有无公共点？试说明理由必做题 第22、23题,每小题10分,计20分.22（） 已知动点到点与到直线的距离相等，求点的轨迹的方程；（） 若正方形的三个顶点，()在()中的曲线上，设的斜率为，求关于的函数解析式；（） 求(2)中正方形面积的最小值。23（本小题10分）在这个自然数中，任取个不同的数（1）求这个数中至少有个是偶数的概率；（2）求这个数和为18的概率；（3）设为这个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为，则有两组相邻的数和，此时的值是）求随机变量的分布列及其数学期望 江苏省数学高考附加题强化试题8班级 姓名 得分 21.选做题在b、c、d三小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.b选修42：矩阵与变换学校餐厅每天供应1000名学生用餐，每星期一有a、b两样菜可供选择，调查资料表明，凡是在本周星期一选a菜的，下周星期一会有20改选b，而选b菜的，下周星期一则有30改选a，若用a、b分别表示在第n个星期一选a、b菜的人数.(1)若，请你写出二阶矩阵m；（2）求二阶矩阵m的逆矩阵.c选修44：坐标系与参数方程已知圆m的参数方程为（r0）.(1)求该圆的圆心的坐标以及圆m的半径;（2）若题中条件r为定值，则当变化时,圆m都相切于一个定圆,试写出此圆的极坐标方程.22在平面直角坐标系中，为坐标原点，点满足，（1）当变化时，求点的轨迹的方程；（2）若过点的直线交曲线于a,b两点,求证：直线ta,tf,tb的斜率依次成等差数列23.在四棱锥中，侧面底面，底面是直角梯形，设为侧棱上一点，试确定的值，使得二面角为45 江苏省数学高考附加题强化试题9班级 姓名 得分 21.选做题在b、c、d三小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.b选修42：矩阵与变换已知矩阵 ,向量. (1)求的特征值、和特征向量、； (2)计算的值.c选修44：坐标系与参数方程已知曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，曲线， 相交于，两点.（1）把曲线，的极坐标方程转化为直角坐标方程；（2）求弦的长度.必做题 第22、23题,每小题10分,计20分.22（本小题10分）在一次电视节目的抢答中，题型为判断题，只有“对”和“错”两种结果，其中某明星判断正确的概率为，判断错误的概率为，若判断正确则加1分，判断错误则减1分，现记“该明星答完题后总得分为” （1）当时，记，求的分布列及数学期望及方差； （2）当时，求的概率23（本小题10分）已知数列的前项和为，通项公式为，（1）计算的值；（2）比较与1的大小，并用数学归纳法证明你的结论. 江苏省数学高考附加题强化试题10班级 姓名 得分 21.选做题在b、c、d三小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.b选修42：矩阵与变换已知实数a、b、c满足abc,且a+b+c=0,且方程ax2+bx+c=0与x轴的两交点为a、b，（1） 求证：（2） 求线段ab在矩阵变换下投影长度的取值范围。c选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy中，直线的参数方程为（t为参数）。在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点o为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆c的方程为。（）求圆c的直角坐标方程；（）设圆c与直线交于点a、b，若点p的坐标为，求|pa|+|pb|。必做题 第22、23题,每小题10分,计20分.22（本小题10分）如图，在四棱锥中，底面是边长为1的菱形，, 底面, ,为的中点.（1）求异面直线ab与md所成角的大小；domabc（2）求平面与平面所成的二面角的余弦值.23（本小题10分）从集合中，抽取三个不同元素构成子集（）求对任意的，满足的概率；（）若成等差数列，设其公差为，求随机变量的分布列与数学期望江苏省数学高考附加题强化试题1参考答案21.b、解： ，即 ，4分所以 解得 6分所以由，得10分c、解:因为直线的极坐标方程为所以直线的普通方程为，分又因为曲线的参数方程为（为参数）所以曲线的直角坐标方程为， 分联立解方程组得或，分根据的范围应舍去,故点的直角坐标为10分d、解：因为，2分所以时，取最小值，即，5分因为，由柯西不等式得，8分所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为 10分22、解：（1），根据“先进和谐组”的定义可得该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的包括两人两次都射中，两人恰好各射中一次，该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率p=（c21）（c21）+（）（）=（2）该小组在一次检测中荣获先进和谐组”的概率p=（c21）c21p2（1p2）+（）（p22）=而b（12，p），所以e=12p由e5知，（）125解得：江苏省数学高考附加题强化试题2参考答案21b.；21c由得， 又，由得, 21d.由柯西不等式，故当且仅当，即时，取得最大值为22.（1）由题知 （2）由题知，x的可能取值为1，2，3，4，所以所以，x的概率分布表为x1234p 所以答x的数学期望是 解：联立解得，取交点p取c1在x上方的部分：，则，在点p处的切线斜率k1=；取c2在x上方的部分：，则，在点p处的切线斜率k2=两条抛物线在交点处的两条切线互相垂直，k1k2=1，即，解得江苏省数学高考附加题强化试题3参考答案21b、解：由矩阵a属于特征值6的一个特征向量为1可得， 6，即cd6； 3分由矩阵a属于特征值1的一个特征向量为2，可得 ，即3c2d2， 6分解得即a， 8分a逆矩阵是21c解：将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为，即，它表示以为圆心，2为半径的圆，4分直线方程的普通方程为，6分圆c的圆心到直线l的距离，8分故直线被曲线截得的线段长度为 10分21d因为所以 4分同理, 6分三式相加即可得又因为所以 10分22、()这名同学中至少有名同学参加活动次数恰好相等的概率为 4分 5分()由题意知6分7分8分的分布列：01210分的数学期望: 12分23. 解答：解：（1）由题意可得f（1，0），t（1，0），当直线l与x轴垂直时，a（1，2），b（1，2），此时，这与矛盾故直线l与x轴不垂直，设直线l的方程为 y0=k（x1），代入抛物线c：y2=4x的方程化简可得 k2 x2（2k2+4）x+k2=0x1+x2=，且x1x2=1=16x1x2=16，y1y2=4由可得 （x1+1）（x2+1）+y1y2=1把代入可得 k2=4，k=2（2）y10，tanatf=1，当且仅当=，即 y1=2时，取等号，故tanatf 的最大值为1，故atf的最大值为 点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，抛物线的定义和性质，一元二次方程根与系数的关系以及基本不等式的应用，属于中档题江苏省数学高考附加题强化试题4参考答案21(b)解：（1）设，则有，故 解得， （5分）（2）由知， 由知， （10分）21(c)解：,，（5分）（10分）21(d)证明：（1）由均值不等式可得，即，故所证成立 （5分）（2）因为 ， ， 式两边相加，得 即，故所证成立 （10分）22证明 连接ac与bd交于g，则平面pac平面bdm=mg，由pa平面bdm，可得pamg，底面abcd是菱形，g为ac中点，mg为pac中位线，m为pc中点 4取ad中点o，连接po，bo，pad是正三角形，poad，又平面pad平面abcd，po平面abcd，底面abcd是边长为2的菱形，abd是正三角形，adob，oa，op，ob两两垂直，以o为原点，分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，如右图所示，则，apzcdmbxygo，dmbp，dmcb，dm平面pbc，平面abcd与平面pbc所成的锐二面角的大小为1023 解：由解得， 4由得假设抛物线l上存在异于点a、b的点c，使得经过a、b、c三点的圆和抛物线l在点c处有相同的切线令圆的圆心为，则由得得 6抛物线l在点c处的切线斜率又该切线与垂直， 8，故存在点c且坐标为（-2,1） 10江苏省数学高考附加题强化试题5参考答案2142解：由题意得旋转变换矩阵，3分 设为曲线上任意一点，变换后变为另一点，则 ，即所以又因为点p在曲线上，所以，故，即为所求的曲线方程 10分44解：设圆上任一点为，则，而点，符合，故所求圆的极坐标方程为. 10分22解：，又面面，面面，bdae， 2分ambcodexyz 如图所示，以c为原点，分别以ca，cb为x，y轴，以过点c且与平面abc垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，设各点坐标为，则，设平面odm的法向量，则由且可得令，则，设直线cd和平面odm所成角为，则，直线cd和平面odm所成角的正弦值为 10分23解答：解：（1），且a1=3a2=4，a3=5，a4=6猜想an=n+2证明：当n=1时显然成立假设n=k时（k1）时成立，即ak=k+2则n=k+1时，ak+1=即n=k+1时命题成立综上可得，an=n+2证明：（2）an=n+2，n2=（n+2）n=5nn2nn1=4nn+nn1（n2）4nn，即证点评：本题主要考查了数列的递推公式在求解数列的通项综的应用及归纳法的应用，解答（2）的关键是二项展开式的应用江苏省数学高考附加题强化试题6参考答案21b. 解：在平面上任取一点p（x，y），点p关于y=3x的对称点p（x，y）则有： 解得： a=点评：一般地若过原点的直线m的倾斜角为，则关于直线m的反射变换矩阵为： a=21c。(2)直线的参数方程为(为参数),代入得到,则有因为,所以解得 21d.（i）原不等式等价于或 3分解，得即不等式的解集为 6分（ii） 8分 10分22. （i）证明：四棱柱abcda1b1c1d1中，bb1/cc1，又面abb1a1，所以cc1/平面abb1a1，2分abcd是正方形，所以cd/ab，又cd面abb1a1，ab面abb1a1，所以cd/平面abb1a1，3分所以平面cdd1c1/平面abb1a1，所以c1d/平面abb1a14分 （ii）解：abcd是正方形，adcd因为a1d平面abcd，所以a1dad，a1dcd，如图，以d为原点建立空间直角坐标系dxyz，5分在中，由已知可得所以， 6分因为a1d平面abcd，所以a1d平面a1b1c1d1a1db1d1。又b1d1a1c1，所以b1d1平面a1c1d，7分所以平面a1c1d的一个法向量为n=（1，1，0）8分设与n所成的角为，则所以直线bd1与平面a1c1d所成角的正弦值为10分23. ：（）设y表示银行工作人员办理业务需要的时间，用频率估计概率得y的分布列如下： y2 3 46 p用a表示事件“银行工作人员恰好在第6分钟开始办理第三位顾客的业务”，则事件a有两种情形：办理第一位业务所需的时间为2分钟，且办理第二位业务所需的时间为3分钟；办理第一位业务所需的时间为3分钟，且办理第二位业务所需的时间为2分钟；p（a）=p（y=2）p（y=3）+p（y=3）p（y=2）=；（）由题意可知x的取值为0，1，2，x=0对应办理第一位的业务需时超过4分钟，故p（x=0）=p（y4）=，x=1对应办理第一位业务所需的时间为2分钟，且办理第二位业务所需的时间超过分钟，或办理第一位业务所需的时间为3分钟，或办理第一位业务所需的时间为4分钟，故p（x=1）=p（y=2）p（y2）+p（y=3）+p（y=4）=+=，x=2对应办理两位顾客业务时间均为2分钟，故p（x=2）=p（y=2）p（y=2）=，故x的分布列为：x 0 1 2 p故ex=江苏省数学高考附加题强化试题7参考答案21b. 解 （1）m1，m2；（2）因为mm2 m1 ，所以m 故点c在两次连续的变换作用下所得到的点的坐标是(1，2)21c。解：（1）由得 分（2）由得曲线的普通方程为分 得 分 解得,故曲线与曲线无公共点 分21d. 解 当且仅当 且 f有最小值22. 2分类似地，可设直线的方程为：， 从而得， 4分由，得，解得， 6分（）因为，8分 所以，即的最小值为，当且仅当时取得最小值10分23. 解：（1）记“这3个数至少有一个是偶数”为事件，则；. （3分） /（2）记“这3个数之和为18”为事件,考虑三数由大到小排列后的中间数只有可能为5、6、7、8，分别为459，567，468，369，279，378，189七种情况，所以； （7分） （3）随机变量的取值为的分布列为012p的数学期望为。（10分）江苏省数学高考附加题强化试题8参考答案21b. （1）；4分（2）设矩阵m的逆矩阵为，则由=得：，解之得：，.10分21.c解：（1）依题意得 圆m的方程为 故圆心的坐标为m（。4分（2）当变化时，因,所以所有的圆m都和定圆内切,此圆极坐标方程为;7分又因,所以所有的圆m都和定圆外切, 此圆极坐标方程为;10分21d. 证明： =2222解：（）设点的坐标为，由，得点是线段的中点，则，又，由，得， 由，得 t=y 由消去，得即为所求点的轨迹的方程 （）证明：设直线的斜率依次为，并记，则 设直线方程为，得， ， 成等差数列 23（因为侧面底面，平面平面，所以平面，所以，即三直线两两互相垂直。如图，以为坐标原点，分别为轴建立直角坐标系，则平面的一个法向量为， 2分，所以，设平面的一个法向量为，由，得，所以 6分所以，即注意到，解得江苏省数学高考附加题强化试题9参考答案21.b解： (1)矩阵的特征多项式为 得,当 ,当.5分(2)由得.7分由(2)得: 10分21.c.解：（1）曲线： （）表示直