高考数学一轮复习 第六章 不等式推理与证明 第38讲 数学归纳法课件 理

不等式 推理与证明 第六章 第38讲数学归纳法 栏目导航 一般地 证明一个与正整数n有关的命题 可按下列步骤进行 1 归纳奠基 证明当n取n0 n0 N 时命题成立 2 归纳递推 假设n k k n0 k N 时命题成立 证明当n k 1时命题也成立 1 思维辨析 在括号内打 或 1 用数学归纳法证明问题时 第一步是验证当n 1时结论成立 2 所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明 3 不论是等式还是不等式 用数学归纳法证明时 由n k到n k 1时 项数都增加了一项 4 用数学归纳法证明不等式 1 2 22 2n 2 2n 3 1 验证n 1时 左边式子应该为1 2 22 23 解析 1 错误 用数学归纳法证明问题时 第一步是验证当n为初始值时结论成立 不一定是n 1 2 错误 不一定所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明 3 错误 不论是等式还是不等式 用数学归纳法证明时 由n k到n k 1时 项数的增加根据题目而定 4 正确 用数学归纳法证明等式 1 2 22 2n 2 2n 3 1 验证n 1时 左边式子应为1 2 22 23是正确的 解析 三角形是边数最少的凸多边形 故第一步应检验n 3 C 3 用数学归纳法证明 1 2 22 2n 1 2n 1 n N 的过程中 第二步n k时等式成立 则当n k 1时 应得到 A 1 2 22 2k 2 2k 1 2k 1 1B 1 2 22 2k 2k 1 2k 1 2k 1C 1 2 22 2k 1 2k 1 2k 1 1D 1 2 22 2k 1 2k 2k 1 1解析 由条件知 左边从20 21到2n 1都是连续的 因此当n k 1时 左边应为1 2 22 2k 1 2k 而右边应为2k 1 1 D 解析 由n k到n k 1时 左边增加 k 1 2 k2 故选B B 5 用数学归纳法证明 当n为正奇数时 xn yn能被x y整除 当第二步假设n 2k 1 k N 时命题为真 进而需证n 时 命题亦真 解析 因为n为正奇数 所以与2k 1相邻的下一个奇数是2k 1 2k 1 数学归纳法证明等式的思路和注意点 1 思路 用数学归纳法证明等式问题 要 先看项 弄清等式两边的构成规律 等式两边各有多少项 初始值n0是多少 2 注意点 由n k时等式成立 推出n k 1时等式成立 一要找出等式两边的变化 差异 明确变形目标 二要充分利用归纳假设 进行合理变形 正确写出证明过程 不利用归纳假设的证明 就不是数学归纳法 一数学归纳法证明等式 例1 求证 12 22 32 42 2n 1 2 2n 2 n 2n 1 n N 证明 当n 1时 左边 12 22 3 右边 3 等式成立 假设n k k 1 k N 时 等式成立 即12 22 32 42 2k 1 2 2k 2 k 2k 1 当n k 1时 12 22 32 42 2k 1 2 2k 2 2k 1 2 2k 2 2 k 2k 1 2k 1 2 2k 2 2 k 2k 1 4k 3 2k2 5k 3 k 1 2 k 1 1 所以n k 1时 等式也成立 由 得 等式对任意n N 都成立 二数学归纳法证明不等式 1 当遇到与正整数n有关的不等式证明时 应用其他办法不容易证明 则可考虑应用数学归纳法 2 数学归纳法证明不等式的关键是由n k成立 推证n k 1时也成立 证明时用上归纳假设后 可采用分析法 综合法 作差 作商 比较法 放缩法等方法证明 三归纳 猜想 证明 归纳 猜想 证明 的模式 是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式 其一般思路是 通过观察有限个特例 猜想出一般性的结论 然后用数学归纳法证明 这种方法在解决与正整数n有关的探索性问题 存在性问题中有着广泛的应用 其关键是归纳 猜想出公式 3 将正整数作如下分组 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 分别计算各组包含的正整数的和如下 试猜测S1 S3 S5 S2n 1的结果 并用数学归纳法证明 S1 1 S2 2 3 5 S3 4 5 6 15 S4 7 8 9 10 34 S5 11 12 13 14 15 65 S6 16 17 18 19 20 21 111 解析 由题意知 当n 1时 S1 1 14 当n 2时 S1 S3 16 24 当n 3时 S1 S3 S5 81 34 当n 4时 S1 S3 S5 S7 256 44 猜想 S1 S3 S5 S2n 1 n4 下面用数学归纳法证明 当n 1时 S1 1 14 等式成立 假设当n k k N 时等式成立 即S1 S3 S5 S2k 1 k4 那么 当n k 1时 S1 S3 S5 S2k 1 S2k 1 k4 2k2 k 1 2k2 k 2 2k2 k 2k 1 k4 2k 1 2k2 2k 1 k4 4k3 6k2 4k 1 k 1 4 所以当n k 1时 等式也成立 根据 和 可知对于任意的n N S1 S3 S5 S2n 1 n4都成立 4 已知函数f x x xlnx 数列 an 满足00 故f x 在x 0 1 时为单调递增函数 下面用数学归纳法证明 对任意n N 不等式0a1 0 且有a2 f a1 a1 a1lna1 f 1 1 即0 a2 1 不等式也成