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立体几何 第七章 第43讲空间向量及其运算 栏目导航 1 空间向量的有关概念 0 1 相同 相等 相反 相等 平行或重合 平面 1 b a xa yb 3 空间向量基本定理如果向量e1 e2 e3是空间三个不共面的向量 a是空间任一向量 那么存在唯一一组实数 1 2 3 使得a 空间中不共面的三个向量e1 e2 e3叫做这个空间的一个基底 1e1 2e2 3e3 a b 0 a b 互相垂直 a b cos a b a b a b cos a b 2 空间向量数量积的运算律 结合律 a b 交换律 a b 分配律 a b c a b b a a b a c 4 空间向量的坐标表示及其应用设a a1 a2 a3 b b1 b2 b3 1 思维辨析 在括号内打 或 1 空间中任意两非零向量a b共面 2 对任意两个空间向量a b 若a b 0 则a b 3 若 a b c 是空间的一个基底 则a b c中至多有一个零向量 4 若a b 0 则 a b 是钝角 A A 5 已知a 2 4 x b 2 y 2 若 a 6 且a b 则x y的值为 1或 3 用已知向量表示某一向量的方法用已知向量来表示未知向量 一定要结合图形 以图形为指导是解题的关键 要正确理解向量加法 减法与数乘运算的几何意义 首尾相接的若干向量之和 等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量 在立体几何中三角形法则 平行四边形法则仍然成立 一空间向量的线性运算 二共线定理 共面定理的应用 三空间向量数量积的应用 例3 如图所示 已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a 点M N分别是AB CD的中点 1 求证MN AB MN CD 2 求MN的长 3 求异面直线AN与CM所成角的余弦值 C 2 如图 正方体ABCD A1B1C1D1中 E是A1B上的点 F是AC上的点 且A1E 2EB CF 2AF 则EF与平面A1B1CD的位置关系为 EF 平面A1B1CD 4 2017 湖南张家界模拟 如图所示 四棱柱ABCD A1B1C1D1中 底面为平行四边形 以顶点A为端点的三条棱长都为1 且两两夹角为60 1 求AC1的长 2 求证 AC1 BD 3 求BD1与AC夹角的余弦值 错因分析 将a b同向和a b混淆 没有搞清a b的意义是a b方向相同或相反 例1 已知向量a 1 2
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