高中数学第一章解三角形1_1_1正弦定理二课件新人教b版必修51

第一章 1 1正弦定理和余弦定理 1 1 1正弦定理 二 1 熟记并能应用正弦定理的有关变形公式解决三角形中的问题 2 能根据条件 判断三角形解的个数 3 能利用正弦定理 三角变换解决较为复杂的三角形问题 学习目标 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点一正弦定理的常见变形 a b c 2R 2RsinA 2RsinB 2RsinC 4 sinA sinB sinC 知识点二判断三角形解的个数 思考1 答案 在 ABC中 a 9 b 10 A 60 判断三角形解的个数 故对应的钝角B有90 B 120 也满足A B 180 故三角形有两解 梳理已知三角形的两边及其中一边的对角 三角形解的个数并不一定唯一 例如在 ABC中 已知a b及A的值 由正弦定理 可求得sinB 在由sinB求B时 如果a b 则有A B 所以B为锐角 此时B的值唯一 如果a b 则有A B 所以B为锐角或钝角 此时B的值有两个 思考2 答案 已知三角形的两边及其夹角 为什么不必考虑解的个数 如果两个三角形有两边及其夹角分别相等 则这两个三角形全等 即三角形的两边及其夹角确定时 三角形的六个元素即可完全确定 故不必考虑解的个数的问题 梳理解三角形4个基本类型 1 已知三边 2 已知两边及其夹角 3 已知两边及其一边对角 4 已知一边两角 其中只有类型 3 解的个数不确定 知识点三正弦定理在解决较为复杂的三角形问题中的作用 思考1 在 ABC中 已知acosB bcosA 你能把其中的边a b化为用角表示吗 打算怎么用上述条件 可借助正弦定理把边化成角 2RsinAcosB 2RsinBcosA 移项后就是一个三角恒等变换公式sinAcosB cosAsinB 0 答案 梳理一个公式就是一座桥梁 可以连接等号两端 正弦定理的本质就是给出了三角形的边与对角的正弦之间的联系 所以正弦定理的主要功能就是把边化为对角的正弦或者反过来 简称边角互化 思考2 答案 什么时候适合用正弦定理进行边角互化 尽管正弦定理给出了三角形的边与对角的正弦之间的联系 但毕竟不是边等于对角正弦 这里还涉及到外接圆半径 故使用时要么能消掉外接圆半径 如思考1 要么已知外接圆半径 题型探究 例1在 ABC中 已知a 1 b A 30 解三角形 解答 类型一判断三角形解的个数 b a B A 30 B 60 或120 当B 60 时 C 180 A B 180 30 60 90 当B 120 时 C 180 A B 180 30 120 30 A c a 1 引申探究 解答 因为sinA 1 所以A不存在 即无解 已知两边和其中一边的对角解三角形时 首先求出另一边的对角的正弦值 根据该正弦值求角时 要根据已知两边的大小情况来确定该角有一个值还是两个值 或者根据该正弦值 不等于1时 在0 180 范围内求角 一个锐角 一个钝角 只要不与三角形内角和定理矛盾 就是所求 反思与感悟 跟踪训练1已知一三角形中a 2 b 6 A 30 判断三角形是否有解 若有解 解该三角形 解答 a 2 b 6 a b A 30 90 又因为bsinA 6sin30 3 bsinA a b 所以本题有解 且有两解 由正弦定理 得 因为b a B A B 0 180 所以B 60 或120 类型二利用正弦定理求最值或取值范围 例2在锐角 ABC中 角A B C分别对应边a b c a 2bsinA 求cosA sinC的取值范围 解答 a 2bsinA 由正弦定理 得sinA 2sinBsinA 反思与感悟 解决三角形中的取值范围或最值问题 1 先利用正弦定理理清三角形中元素间的关系或求出某些元素 2 将所求最值或取值范围的量表示成某一变量的函数 三角函数 从而转化为函数的值域或最值问题 因为A B C C 2B 跟踪训练2在 ABC中 若C 2B 求的取值范围 解答 例3已知 ABC的三个内角A B C的对边分别为a b c 若a c 2b 2cos2B 8cosB 5 0 求角B的大小并判断 ABC的形状 解答 类型三正弦定理与三角变换的综合 2cos2B 8cosB 5 0 2 2cos2B 1 8cosB 5 0 4cos2B 8cosB 3 0 即 2cosB 1 2cosB 3 0 a c 2b ABC是等边三角形 借助正弦定理可以实现三角形中边角关系的互化 转化为角的关系后 常利用三角变换公式进行变形 化简 确定角的大小或关系 继而判断三角形的形状 证明三角恒等式 反思与感悟 跟踪训练3已知方程x2 bcosA x acosB 0的两根之积等于两根之和 其中a b为 ABC的两边 A B为两内角 试判断这个三角形的形状 解答 设方程的两根为x1 x2 bcosA acosB 由正弦定理 得sinBcosA sinAcosB sinAcosB cosAsinB 0 sin A B 0 A B为 ABC的内角 0 A 0 B A B A B 0 即A B 故 ABC为等腰三角形 当堂训练 1 在 ABC中 AC BC 2 B 60 则角C的值为A 45 B 30 C 75 D 90 答案 解析 1 2 3 A为锐角 A 45 C 75 A 直角三角形B 等边三角形C 钝角三角形D 等腰直角三角形 1 2 3 答案 解析 tanA tanB tanC 又 A B C 0 A B C 故三角形为等边三角形 1 2 3 解答 规律与方法 1 已知两边和其中一边的对角 求第三边和其他两个角 这时三角形解的情况可能无解 也可能一解或两解 首先求出另一边的对角的正弦值 当正弦值大于1或小于0时 这时三角形解的情