高等数学（二）第二章多元函数积分学 课件

2 1二重积分 回忆定积分 设一元函数y f x 在 a b 可积 则 如图 其中 i xi xi 1 xi xi 1 xi 表小区间 xi xi 1 的长 f i xi表示小矩形的面积 设有一立体 其底面是xy面上的区域D 其侧面为母线平行于z轴的柱面 其顶是曲面z f x y 0 连续 称为曲顶柱体 若立体的顶是平行于xy面的平面 则平顶柱体的体积 底面积 高 如图 一 例 1 求曲顶柱体的体积V i 用曲线将D分成n个小区域D1 D2 Dn 每个小区域Di都对应着一个小曲顶柱体 如图 z f x y z f x y Di Di ii 由于Di很小 z f x y 连续 小曲顶柱体可近似看作小平顶柱体 i i Di 小平顶柱体的高 f i i 若记 i Di的面积 则小平顶柱体的体积 f i i i 小曲顶柱体体积 iii 因此 大曲顶柱体的体积 分割得越细 则右端的近似值越接近于精确值V 若分割得 无限细 则右端近似值会无限接近于精确值V 也就是 iv 其中Di的直径是指Di中相距最远的两点的距离 其中 i i Di i Di的面积 如图 1 平面薄板的质量M 当平面薄板的质量是均匀分布时 有 平面薄板的质量 面密度 面积 若平面薄板的质量不是均匀分布的 这时 薄板的质量不能用上述公式算 应如何算该薄板的质量M 2 非均匀分布物体的质量 用曲线将D分成n个小区域D1 D2 Dn 设一平面薄板 所占区域为D 面密度 x y 0连续 x y D 求该平面薄板的质量M i 如图 Di Di的面积记作 i Di 由于 x y 0连续 从而当Di很小时 x y 在Di上的变化不大 可近似看作 x y 在Di上是不变的 从而可用算均匀薄板的质量的方法算出Di这一小块质量的近似值 ii 即 i i Di 以 i i 作为Di这一小片薄板的面密度 从而 第i片薄板的质量mi i i i iii 故 平面薄板的质量 iv 1 定义设z f x y 是定义在有界闭区域D R2上的有界函数 将D任意分割成n个无公共内点的小区域Di I 1 2 n 其面积记为 i i i Di 作积 f i i i 二 二重积分的概念与性质 若对任意的分法和任意的取法 当 0时 和式 的极限存在且极限值都为I 则称f x y 在D上可积 记为f x y R D 并称此极限值I为 f x y 在D上的二重积分 记作 即 其中 称为二重积分符号 D称为积分区域 f x y 称为被积函数 d 称为面积元素 x y称为积分变量 和式 注1 定积分 二重积分 区别在将小区间的长度 xi换成小区域的面积 i 将一元函数f x 在数轴上点 i处的函数值f i 换成二元函数f x y 在平面上点 i i 处的函数值f i i 可见 二重积分是定积分的推广 注2 若将D用两族平行于x轴和y轴的直线分割 如图 则除边界上区域外 Di的面积 i xi yi 故也将二重积分写成 注3 可以证明若f x y 在D上连续 则f x y 在D上可积 若f x y 在D上有界 且在D内只有有限个不连续点 或只在有限条曲线上不连续 则f x y 可积 2 二重积分的性质 设D为有界闭区域 以下涉及的积分均存在 性质1 性质2 性质3 性质4 若在D上有f x y g x y 则 特别 i 若在D上f x y 0 则 ii 这是因为 f x y f x y f x y 积分后即得 性质5 若在D上m f x y M 则 设f x y C D 则 D 使得 性质6 性质7 3 二重积分的几何意义设x y在D上可积 则 i 当z f x y 0时 ii 当z f x y 0时 iii D1上曲顶柱体体积 D2上曲顶柱体体积 1 直角坐标系下二重积分的计算 由二重积分的几何意义知 当f x y 0时 如图 若点x处截面面积为A x 则体积 三 二重积分的计算 1 设积分区域D是由两条平行于y轴的直线x a x b及两条曲线y y1 x y y2 x 围成 如图 即 D y1 x y y2 x a x b 称为x 型区域 特别情形是 A B退缩成一点 E F退缩成一点 由几何意义知 以D为底的曲顶柱体体积V 如图 过点x0作平面x x0 截面是平面x x0上的 以z f x0 y 为曲边的曲边梯形 由定积分的几何意义 从而 故 右端称为先对y 再对x的二次积分 累次积分 计算原则 由里到外 即先将x看作常数 以y为积分变量 求里层积分 得到的结果是只含x 不含y的函数式 再求外层积分 以x为积分变量 注1 公式 虽是在条件f x y 0下得到的 但对一般的f x y 都成立 只须D是x 型区域即可 注2 习惯上常将右端的二次积分记作 即 2 类似 若D x1 y x x2 y c y d 称为y 型区域 则二重积分可化为先对x 再对y的二次积分 即 3 若D既是x 型区域 又是y 型区域 比如 则既可先对x积分 又可先对y积分 等等 当用某次序算二重积分不好算时 可改换积分次序 可能好算 此时 4 若D的形状较复杂 既不是x 型区域 也不是y 型区域 则可用一些平行于x轴和平行于y轴的直线将其分成若干块 使每一块或为x 型 或为y 型 分块积 如图 5 设D y1 x y y2 x a x b 为x 型区域 其中y2 x 为分段函数 如图 则 由于y2 x 是分段函数 里层积分上限无法确定用哪一个表达式 故应将D分成D1 D2 分块积分 6 不论是先对x积分 还是先对y积分 里层积分的上 下限总是曲线的函数表达式 而外层积分的上 下限是点的坐标 且上限 下限 称为从里到外 线 线 点 点 例1 为确定累次积分的上 下限 作与y轴同向的射线 从下至上穿过D 则y是由下方的曲线y x2变到上方的曲线y x的 解 先画区域D的图形 法1 先对y积分 里层积分的下限为x2 上限为x 由于该射线变化范围是 0 1 因此 外层积分下限为0 上限为1 即 法2 先对x积分 作与x轴同向射线 从左至右穿过D 则x是从左方曲线x y变到右方曲线y x2 即 故里层对x积分的下限为y 上限为 而该射线的变化范围是 0 1 故外层对y的积分下限为0 上限为1 例2 解 先画D的图形 先对x积分 作与x轴同向的射线穿过D 易知 x从左方曲线y x2即 右方曲线y x 2即x 2 y 而y 0 1 故 所以 原式 问 若先对y积分 情形怎样 例3 求 解 由于 是 积不出 的 怎么办 要改换积分次序 先画积分区域D的图形 由积分表达式知 D y x 1 0 y 1 画曲线x y和x 1 直线y 0 y 1 如图 故原式 由例2 例3知 选择适当的积分顺序 有时能使积分变得简便 易行 在作题时 当按某一顺序积分很难 或不可行时 可改换积分顺序试一试 例4 改换 解 写出D的表达式 画D的图形 改为先对x再对y的积分 例5 关于分块函数在D上的积分 其中D 0 x 1 0 y 1 解 积分区域如图 记f x y y x 且区域D1 y x和D2 y x分处在直线y x的上 下方 故 原式 注 分块函数的积分要分块 区域 来积 另外 带绝对值的函数是分块函数 在将二重积分化为二次积分的公式 右边的二次积分不是两个定积分之积 计算时必须由 里至外 这当然较繁琐 但在某些情形下 可将右端 化为两个定积分之积 例6 设D a x b c y d f x y f1 x f2 y 可积 则 比如 只须要求里层积分 的被积函数f2 y 和 上 下限都与x无关即可 关于利用对称性积分的问题 1 若D的图形关于x轴对称 i 若f x y f x y 其中点 x y 与 x y 关于x轴对称 即函数也关于x轴对称 ii 若f x y f x y 2 若D的图形关于y轴对称 i 若f x y f x y 其中 x y 是 x y 的关于y轴的对称点 ii f x y f x y 则 3 一般 若D关于平面上某直线l对称 对 x y D1 有关于l的对称点 x1 y1 D2 若f x y f x1 y1 则 若f x y f x1 y1 例7 1 易知 2 二重积分的换元法 定理1 设变换x g u v y u v 时uov平面上的有界闭区域D 一一对应地变成xoy平面上的有界闭区域D 且满足 若f x y 可积 则 1 x g u v y u v C1 D 3 用极坐标变换计算二重积分 变换x rcos y rsin 称为极坐标变换 其中0 r 0 2 或 D经极坐标变换后变成极坐标系下的区域D 因 称为 曲边三角形 或 曲边扇形 曲边的极坐标方程为r r D的最小极角为 最大极角为 此时 D 0 r r 从而 特别 y 0 x r r 称为 极点位于D的边界上 的情形 2 若积分区域D如图 即D包含极点 这相当于 在上图中让 0 而 增大2 D 0 r r 0 2 3 若积分区域D如图 即 极点在D外 而D是由两个 曲边扇形 相减而成 作以0为起点的射线过D 先遇到的曲边为r r1 后遇的曲边为r r2 最大 最小极角分别为 此时 D r1 r r2 例8 求 其中D x2 y2 1 解 一般 若D的表达式中含有x2 y2时 可考虑用极坐标积分 令x rcos y rsin 则 x2 y2 1的极坐标方程为r 1 由 2 D 0 r 1 0 2 另由几何意