随机变量及分布课件_1

主要内容 2学时 一 一维随机变量函数Y g X 的分布 1 离散型Y g X 2 连续型Y g X 重点 二 二维 X Y 函数的分布1 离散型Z g X Y 的分布2 Z X Y的分布 重点 3 M Max X Y 和N Min X Y 的分布 重点 第九节随机变量函数的分布 问题的提出 实际中 人们经常对随机变量的函数很感兴趣 1 已知圆的直径d的分布 求园的面积S d2的分布 例如 2 变速直线运动质点的速度v 时间t联合分布已知 求位移S vt的分布 归纳 1 随机变量X的分布已知 Y g X 求Y的分布 2 设随机变量 X Y 的联合分布已知 Z g X Y 如何由 X Y 的分布求Z的分布 一 一维随机变量函数Y G X 的分布 解 当X取值1 2 5时 Y取对应值5 7 13 X a 与 Y 2a 3 两事件同时发生 两者具有相同的概率 故 1 离散型Y g X 再对等值合并 解 设X U的分布函数分别为FX x FU u 2 连续型Y g X 设函数Y g X 严格单调 递增 Y g X 非严格单调时 分段单调 分段求反函数即可 U的概率密度 当y 0时 注意到Y X20 故当y0时 解 设Y和X的分布函数分别为 则Y X2的概率密度为 启示 从例3 4中看到 在求F y P Y y 过程中 关键就是设法从 g X y 中解出X 从而得到与 g X y 等价的X的不等式 目的 为了利用X的分布 从而求出Y g X 的概率 求连续型随机变量F x 或f x 的通用做法 例5 P63 例4 设随机变量X在 0 1 上服从均匀分布 求 1 略 2 Y 2lnX的概率密度 二 二维 X Y 函数的分布 1 离散型Z g X Y 解 将 X Y 及各函数值列表如下 合并后可得各变量的分布律如下 设 X Y 的联合概率密度为f x y 求Z X Y的概率密度 分析 Z X Y的分布函数是 积分区域D x y x y z 是直线x y z左下方半平面 2 Z X Y的分布 重点 FZ z P Z z P X Y z Z X Y的概率密度为 由对称性 特别 当X和Y独立时 设 X Y 的边际密度为fX x fY y 卷积公式 解 由卷积公式 解 由卷积公式 设X Y是两相互独立的随机变量 分布函数分别为FX x 和FY y 求M max X Y N min X Y 的分布函数 3 M max X Y 及N min X Y 的分布 重点 FM z P M z P max X Y z P X z Y z P X z P Y z FX z FY z 即FM z FX z FY z FN z P N z P min X Y z 1 P min X Y z 1 P X z Y z 1 P X z P Y z 即FN z 1 1 FX z 1 FY z 特例 当X1 Xn相互独立且具有相同分布函数F x 时 N min X1 Xn 的分布函数是 M max X1 Xn 的分布函数为 FN z 1 1 F z n 推广 设X1 Xn是n个相互独立的随机变量 它们的分布函数分别为 i 0 1 n 则 FM z F z n 解 1 串联方式 系统L的寿命Z min X Y 2 并联方式 系统L的寿命Z max X Y 3 备用方式 系统L的寿命Z X Y 本节重点总结 一 连续型随机变量函数Y g X 的分布二 二维连续型 X Y 函数的分布1 Z X Y的分布 2 M Max X Y 和N Min X Y 的分布 1 分布律 概率密度 分布函数的定义 性质及计算 2 二项分布 均匀分布 指数分布的定义 计算 3 利用分布律 概率密度 分布函数计算事件的概率 4 边际分布律 边际概率密度 4 随机变量独立的定义与性质 5 连续型随机变量函数的分布计算Y g X 相互独立随机变量的和 最大最小值的分布 本章重点总结 备选1 若X Y独立 P X k ak k 0 1 2 P Y k bk k 0 1 2 求Z X Y的概率函数 解 a0br a1br 1 arb0 由独立性 此即离散卷积公式 r 0 1 2 解一 P Y n P max X1 X2 n P X1 n X2 n P X2 n X1 n 记1 p q 备选2 设随机变量X1 X2相互独立 并且有相同的几何分布 P Xi k p 1 p k 1 k 1 2 i 1 2 求Y max X1 X2 的分布 n 0 1 2 解二 P Y n P Y n P Y n 1 P max X1 X2 n P max X1 X2 n 1 P X1 n X2 n P X1 n 1 X2 n 1 n 0 1 2