趣味逻辑和悖论.ppt

趣味逻辑和悖论 悖论及其对数学发展的影响 让她无法说NO的约会 讲一个故事 深圳大学综合选修课程 数学欣赏 一次 美国滑稽大师马丁 格登纳根据哈佛大学著名数学教授贝克先生告诉他的办法 成功地邀请了一位年轻姑娘一起吃晚饭 让她无法说NO的约会 让她无法说NO的约会 格登纳对这姑娘说 我有三个问题 请你对每个问题只用 Yes 或 No 回答 不必多做解释 让她无法说NO的约会 第一个问题是 你愿意如实地回答我的下面两个问题吗 姑娘答 Yes 很好 格登纳继续说 我的第二个问题是 如果我的第三个问题是 你愿意和我一道吃晚饭吗 那么 你对这后两个问题的答案是不是一致的呢 让她无法说NO的约会 可怜的姑娘不知如何回答是好 因为不管她怎样回答第二个问题 她对第三个问题的回答都是肯定的 那次 他们很愉快地在一起吃了顿很好的晚饭 9 InThisSection 1 悖论的定义 2 悖论对数学发展的影响 3 悖论形成的原因 4 如何看待悖论 5 图形悖论欣赏 悖论的定义 悖论 英语 Paradox 的字面意思是荒谬的理论 它是在一定理论系统前提下看起来没有问题的矛盾 悖论的定义 什么是悖论 笼统地说 是指这样的推理过程 它看上去是合理的 但结果却得出了矛盾 悖论在很多情况下表现为能得出不符合排中律的矛盾命题 由它的真 可以推出它为假 由它的假 则可以推出它为真 悖论的定义 定义 如果某种理论的公理及其推理规则看上去是合理的 但在这个理论中却推出了两个互相矛盾的命题 或者证明了这样一个复合命题 它表现为两个矛盾命题的等价式 我们称这个理论包含了一个悖论 悖论的定义 悖论 诡辩或谬论 诡辩 谬论可以通过已有的理论 逻辑论述其错误的原因 是与现有理论相悖的 而悖论虽感其不妥 但从它所在的理论体系中 不能阐明其错误的原因 是与现有理论相容的 悖论是 在当时 解释不了的矛盾 一天 萨维尔村理发师挂出了一块招牌 村里所有不是自己理发的男人都由我给他们理发 于是有人问他 您的头发谁给理呢 理发师顿时哑口无言 例1理发师悖论 有个虔诚的教徒 他在演说中口口声声说上帝是无所不能的 什么事都做得到 一位过路人问了一句话 上帝能创造一块他自己也举不起来的石头吗 教徒哑口无言 例2全能的上帝 我说一句话 如果这句话是真的 那么你就给我你的相片 可以吗 你不会给我你的相片 可以 请问男说了一句什么话使得这个女生只能将玉照送他 例3聪明的追求者 例4 鳄鱼和小孩 一条鳄鱼从母亲手中抢走了一个小孩 鳄鱼 我会不会吃掉你的孩子 答对了 我就把孩子不加伤害地还给你 母亲 你要吃掉我的孩子 鳄鱼 呣 我怎么办呢 如果我把孩子交还你 你就说错了 我应该吃掉他 母亲 可是你必须交给我 如果你吃了我的孩子 我就说对了 你就得把他交回给我 悖论对数学发展的影响 三次数学危机 正数与负数 实数与虚数 有限与无限 常量与变量 连续与离散 直观与抽象 分析与综合 微分与积分 数与形 加与减等等 数学中充满矛盾 在整个数学发展史上 贯穿着矛盾的斗争与解决 而在矛盾激化到涉及到整个数学基础时 就产生数学危机 当矛盾消除 危机解决 又往往给数学带来新的内容 新的进展 以致革命性的变化 在数学发展史上 经历了三次重大危机 它们都是以数学悖论的出现为特征 危机的解决促进了数学新的发展 数学中充满矛盾 人类最早认识的是自然数 从引进零及负数就经历过斗争 要么引进这些数 要么大量的数的减法就行不通 同样 引进分数使乘法有了逆运算 除法 否则许多实际问题也不能解决 但是接着又出现了这样的问题 是否所有的量都能用有理数来表示 于是发现无理数就导致了第一次数学危机 而危机的解决也就促使逻辑的发展和几何学的体系化 数学中充满矛盾 第二次数学危机是由无穷小量的矛盾引起的 它反映了数学内部的有限与无穷的矛盾 数学中充满矛盾 第三次数学危机产生于十九世纪末和二十世纪初 当时正是数学空前兴旺发达的时期 首先是逻辑的数学化 促使了数理逻辑这门学科诞生 十九世纪七十年代康托尔创立的集合论是现代数学的基础 也是产生危机的直接来源 数学中充满矛盾 1 第一次数学危机 公元前5世纪 无理数的发现 导致了数学的第一次危机 1 第一次数学危机 1 毕达哥拉斯学派的 万物皆数 学说两种解释 宗教的 自然的 1 第一次数学危机 2 毕达哥拉斯悖论与第一次数学危机勾股定理直角边边长为1的等腰直角三角形的斜边长是一个几何量 是 数 却又不是一个 数 希帕斯 Hippias 之死 1 第一次数学危机 大约在公元前370年 古希腊数学家欧多克斯 Eudoxus 公元前408 前355年 建立了新的比例理论 标志着这一悖论的解决 3 欧多克斯比例理论的建立 1 第一次数学危机 4 对数学发展的影响 公理几何与逻辑的诞生在此以前的各种数学 无非都是 算 也就是提供算法 比如泰勒斯预测日食 利用影子距离计算金字塔高度 测量船只离岸距离等等 都是属于计算技术范围的 1 第一次数学危机 第一次数学危机反映出 直觉和经验不一定靠得住 推理证明才是可靠的 从此希腊人开始重视几何的演绎推理 导致了公理几何学和古典逻辑的诞生 这是数学思想上的一次巨大革命 2 第二次数学危机 1 微积分的建立进入17世纪 科技发展给数学提出了四类问题 瞬时速度问题 曲线的切线 函数极值问题 求积问题 曲线长度 图形面积等 2 第二次数学危机 b 英国数学家牛顿 Newton 1642 1727 和德国数学家莱布尼兹 Leibniz 1646 1716 分别独立地建立了微积分 2 第二次数学危机 牛顿莱布尼茨 2 第二次数学危机 2 贝克莱悖论与第二次数学危机 1734年 英国大主教贝克莱以 渺小的哲学家 之名出版了一本标题很长的书 分析学家 或一篇致一位不信神数学家的论文 在这本书中 贝克莱对牛顿的理论进行了攻击 2 第二次数学危机 无穷小量是0 又不是0 dx 0 dx 0 2 第二次数学危机 3 严密的实数理论的建立这个悖论的最终解决是在100年之后的19世纪 它是以法国数学家Cauchy建立 并由德国数学家Weierstrass完善的严格的极限理论为起点 1820年代 以严密的实数理论的建立为标志的 1860年代 2 第二次数学危机 4 对数学发展的影响 微积分的严密化与集合论的建立悖论的解决不仅导致了集合论的诞生 并由此把数学分析的无矛盾性问题归结为实数系统的无矛盾问题 为20世纪的数学发展奠定了基础 3 第三次数学危机 1902年 英国数学家罗素 B Russell 1872 1970 悖论的发表标志着第三次数学危机的到来 3 第三次数学危机 1 康托集合论的建立康托 G Cantor 1845 1918 德国数学家 1862年到苏黎世上大学 1863年转入柏林大学 3 第三次数学危机 到了19世纪后期 数学向着更具普遍意义的结构数学和抽象数学的方向发展 出现了泛函分析 抽象代数 拓扑学 以及建立在它们基础和交叉之上的各个新的数学分支 德国数学家康托在1874 1885年间所建立起来的集合论是现代数学的基础 3 第三次数学危机 2 罗素悖论与第三次数学危机 3 第三次数学危机 a 罗素悖论 对所有不以自己为元素的集合所组成的集合R x x x 请问 作为一个集合 R本身是否是R的元素 b 理发师悖论 3 第三次数学危机 3 对数学发展的影响 ZFC系统的建立为了解决这一悖论 演化出了逻辑主义 直觉主义和形式主义等数学学派 产生出了集合论的公理化 1908年 策墨罗 E Zermelo 建立了第一个集合论公理化系统 后来经富兰克尔 A A Frankel 等人努力 形成了ZF系统 再加上选择公理 构成ZFC系统 3 第三次数学危机 经过多年不断发展 ZF系统保留了康托集合论的精华 又有效地排除了已经发现的集合悖论 而且至今未发现新的悖论 但是 ZF系统的相容性尚未得到证明 因此 不能保证这一系统中不会出现新的悖论 3 第三次数学危机 4 哥德尔不完备性定理1931年奥地利数学家哥德尔 K Godel 1906 1978 得到不完备性定理 任何足以包含自然数算术的形式系统如果是无矛盾的 则它一定包含着这样一个命题 该命题与其否定在该系统中都不能证明 亦即它是不完备的 悖论产生的原因 1 认识论方面的因素2 方法论方面的因素 如何看待悖论 1 悖论不可避免 悖论既然是客观实在的辩证性同主观思维的形而上学性的矛盾的一种表现形式 因此 产生悖论就是不可避免的 试图一劳永逸地消除数学中悖论的一切努力必将失败 产生悖论 解决悖论 又产生新的悖论 这是一个无穷反复的过程 这个过程也是数学思想获得重要发展的过程 2 悖论可以解决 悖论既然是主客观矛盾的一种表现形式 因此 为了消除悖论 只能是提高主观认识 克服认识过程中的局限性 解决悖论的过程就是发展人的认识 也是发展数学 以克服历史局限性的过程 图形悖论欣赏 缪勒 莱耶错觉 看看上面的带箭头的两条直线 猜猜看哪条更长 是上面那条吗 填充错觉 看看这幅图 中间有一个黑点 周围是一团灰雾 盯着黑点目光不要移动 你觉得灰雾消失了 同样的你试试下边的那幅 这次灰雾不会消失了 这是怎么回事 为什么灰雾有时消失有时又不消失 大小恒常性错觉 在这个楼梯中 你能分清哪一个是最高或最低的楼梯吗 当你沿顺时针走的时候 会发生什么呢 如果是逆时针 情况会怎么样呢 不可能的楼梯 荷兰美术大师M C Escher作品 黑夜还是白天 圆形的拱顶 瀑布 上升还是下降 你看见了什么 你看见的是两个头 还是一个花瓶 即使这个图形在视网膜上是固定不动 你对它的感觉仍然是在两种可能图形中动摇 两个头 还是一个花瓶 Trueorfalse 判断推理 三个箱子分别涂有红 黄 蓝三色 一个苹果放入其中之一 且 三个箱子上分别写着 已知 1 2 3 中只有一句是真的 问苹果在哪只箱子里 答案 苹果在黄箱子里 1 苹果在哪里 3 谁打破玻璃 A B C D四个孩子在院子里踢足球 把一户人家的玻璃打碎了 可是当房主人问他们是谁踢的球把玻璃打碎的 A说 是C打的 C说 A说的不是事实 B说 不是我打的 D说 是A打的 已知他们中有一个人很老实 不会说假话 其余三个人说的是假话 你能否分析一下 说真话的是谁 玻璃又是谁打破的吗 分析 已知 1 A说 是C打的 2 C说 A说的不是事实 3 B说 不是我打的 4 D说 是A打的 5 已经知道他们中有一个人很老实 不会说假话 其余三个人说的是假话 推理 一 根据已知5 知道只有一人说真话 其余三人说假话 二 如果已知1成立 是C打的 则有C和B两人说得对 与推理一不符 因此不成立 三 如果已知4成立 是A打的 则有C B D三人说得对 与推理一也不符 因此不成立 四 如果是D打的 则有B C两人说对了 也与推理一不符 因此也不成立 五 余下的只有B 如果是B打的 则A B D都说错了 只有C说得对 与推理一的条件一致 结论 说真话的是C 玻璃是B打破的 4 赛马 赛马场上 三匹马的夺冠呼声最高 它们分别是火龙 飞燕和闪电 观众甲说 我认为冠军不会是火龙 也不会是飞燕 乙说 我觉得冠军不会是火龙 而闪电一定是冠军 丙说 可我认为冠军不会是闪电 而是火龙 比赛结果很快出来了 他们中有一个人的两个判断都对 另一个人的两个判断都错了 还有一个人的判断是一对一错 请你依据这些情况 推断出谁是赛马冠军 分析 已知 1 甲 冠军不会是火龙 也不会是飞燕 2 乙 冠军不会是火龙 闪电一定会是冠军 3 丙 冠军不会是闪电 而是火龙 4 一人两判断都对 一人两判断都错 一人一对一错 推理 如冠军是飞燕 则甲一对一错 乙两对 丙一对一错 不合题意如冠军是闪电 则甲都对 乙两都对 丙两都错 不合题意 如冠军是火龙 则甲一对一错 乙两错 丙两都对 合乎题意 即 冠军是火龙 5 三款相机 某电子商场销售量最高的三款相机分别产自美国 中国和德国 已知 B相机不是中国生产的 中国生产的相机在销售时赠送了一张大容量存储卡 C相机在销售中没有任何赠品 它与产自德国的那款相机同是金属外壳 请问 这三款相机分别产自哪里 分析 已知 1 B相机不是中国生产的2 中国生产的相机在销售时赠送了一张大容量存储卡 3 C相机在销售中没有任何赠品 它与产自德国的那款相机同是金属外壳 推理 一 根据已知条件1 2 3推出 中国生产的相机不是B和C 只能是A 二 根据已知条件3知道 C相机不是德国产的 从推理一也知道不是中国产的 推出是美国生产的 三 综上 余下的B相机是德国生产的 结论 A相机产自中国 B相机产自德国C相机产自美国 6 购物 周末 三位姑娘艾琳 丽诗和美娜为自己选购了一件心爱的的礼物 她们分别到A B和C商场购买了香水 戒指和长裙 已知 艾琳没到C商场去购买长裙 丽诗没有购买A商场的任何商品 购买香水的那个姑娘没有到B商场去 购买长裙的并非丽诗 你能猜出哪个姑娘在哪个商场购买了香水吗 分析 已知 1 艾琳没到C商场买长裙 2 丽诗没到A市场买任何商品 3 买香水的没到B商场 4 买长裙的不是丽诗 推理 一 从1 4推出买长裙的不是艾琳和丽诗 所以是美娜在C商场买的长裙 二 从3知香水不是在B商场买的 从一知香水也不是在C商场买的 推出香水是从A商场买的 三 从2知丽诗没到A商场 从一知美娜在C商场 推出是艾琳到的A商场买的香水 余丽诗到B商场买的戒指 即 是艾琳在A商场买的香水 7 谁是间谍 在一列火车的某节车厢内 有四位乘客面对面坐在一起 他们身穿不同颜色的大衣 具有不同的国籍 其中两人是靠窗坐 另两人是挨过道坐 现在已经知道 他们座位分别为A B C D 其中有一名身穿蓝色大衣的旅客是个国际间谍 并且又知道 英国旅客坐在B先生的左侧 A先生穿褐色大衣 穿黑色大衣者坐在德国旅客的右侧 D先生的对面坐着美国旅客 俄国旅客身穿灰色大衣 英国旅客把头转向左边 望着窗外 请想想看 谁是穿蓝色大衣的间谍 分析 已知 1 现在已经知道 他们座位分别为A B C D 其中有一名身穿蓝色大衣的旅客是个国际间谍 2 英国旅客坐在B先生的左侧 3 A先生穿褐色大衣 4 穿黑色大衣者坐在德国旅客的右侧 5 D先生的对面坐着美国旅客 6 俄国旅客身穿灰色大衣 7 英国旅客把头转向左边 望着窗外 推理 一 从2 7 2号位置坐的是英国旅客 4号位置是B先生二 从4推出 3号位置是德国旅客 其右侧穿黑色大衣的是1号 因为根据四人的座位 坐在右侧的只有4号和1号 4号是B 所以穿黑色大衣的只能是1号 三 从一 二 知 B先生对面是德国旅客 2号位置是英国旅客 那么美国旅客只能是在1号位置 英国旅客是D 余下的4号位置是B先生 俄国旅客 四 从6 知道俄国旅客穿灰色大衣 从3 知道A先生穿褐色大衣 只能是德国旅客 因为1号美国旅客是穿黑色大衣的 所以美国旅客是C先生 结论 1号C先生是美国旅客穿黑色大衣3号A先生是德国旅客穿褐色大衣4号B先生是俄国旅客穿灰色大衣2号D先生是英国旅客只能穿蓝色大衣 根据题意英国旅客D先生就是穿蓝色大衣的国际间谍 逻辑推理游戏 猜帽子1 有三顶红帽子和两顶白帽子 将其中的三顶分别给面向前面排成1列的A B C三人戴上 每人只能看到自已前面的人带的是什么颇色的帽子 自已以及自已后面的人带的是什么颜色的帽子是看不到的 问 你知道自己带的是什么颜色的帽子吗 最后的一位A回答 不知道 然后中间的B考虑一会儿后回答 我也不知道 C听了两个人的回答说 哈 我知道了 颜色是 那么C戴的是什么颜色的帽子呢 分析 假如BC都戴白帽子 则A知道自己戴红帽子 矛盾 所以 BC至少一人戴红帽子 假如C戴白帽子 则B知道自己戴红帽子 矛盾 所以C戴红帽子 戴帽子2 有三顶红帽子和两顶白帽子 将其中的三顶帽子分别戴在A B C三人头上 这三人每人都只能看见其他两人头上的帽子 但看不见自己头上的帽子 并且也不知道剩余的两顶帽子的颜色 问ABC 三人 你们知道自己戴的是什么颜色的帽子吗 开始ABC说 不知道 过了一会 ABC不约而同地说我现在知道了 试问 三个人戴的是什么颜色的帽子 分析 假设ABC三人帽子颜色分别为 红白白则A肯定知道自己戴的是红帽子 但是A不知道自己戴的是什么颜色的帽子 所以不成立 同理可知 以下两种情况不成立 白红白白白红结论 至多有一个人戴白帽子 分析 假设ABC三人帽子颜色分别为 白红红B看到A白C红 若自己是白 则 应该知道 但C不知道 所以B可以猜出自己是红色 矛盾 同理可知 下面两种情况不成立红白红红红白结论 没有人带白帽子即三人都戴红帽子 猜牌游戏1 1位老师有2个推理能力很强的学生 他告诉学生他手里有以下的牌4 5 6 7 Q K4 6 7 8 Q3 8 J Q2 3 9然后从中拿出一张牌 告诉了A这张牌的大小 告诉了B这张牌的花色A 我不知道这张是什么牌B 我也不知道这张是什么牌A 现在我们可以知道了请问这张是什么牌 分析 A 我不知道这张是什么牌 3 4 6 7 8 Q B 我也不知道这张是什么牌 黑桃 红心 梅花 A 现在我们可以知道了 梅花3 猜牌游戏2 1位老师有2个推理能力很强的学生 他告诉学生他手里有以下的牌2 5 7 9 J K3 4 9 J K5 8 9 Q2 7 8然后从中拿出一张牌 告诉了A这张牌的大小 告诉了B这张牌的花色A 我不知道这张是什么牌B 我知道你不知道这张是什么牌A 现在我知道了B 现在我也知道了请问这张是什么牌 分析 A 我不知道这张是什么牌 2 5 7 8 9 J K B 我知道你不知道这张是什么牌 黑桃 方块 A 现在我知道了 5 8 9 J K B 现在我也知道了 方块8 说谎与诚实 据某家报纸披露 有一个殊为人知的小岛上 有东西两个村落 这两个村的居民同属一个名族 使用共同的语言 有同样的民俗 但由于多年前的一批探险者对两村村民的截然不同的态度 使得他们为人处事态度迥异 东村人待人诚恳 从不说谎 西村人则处处说谎 事事以谎言相告 人类学家泰勒教授得知这一消息后 组织了考察小组来到岛上 在海滨安营扎寨 准备对这一有趣的民族进行深入考察 说谎与诚实一 一天 东西两村的三人甲乙丙来到教授帐篷 为搞清楚来着的身份 教授请他们各自说明自己来自哪个村落 他们的答案是 甲 我住在东村 他们俩一个住东村 一个住西村 乙 我是东村的 但甲不是东村的 丙指乙说 他不是东村的 我才是东村的 现在 请你分析 甲乙丙三个人各是哪个村的居民 分析 假设甲住西村 则他说的全部是谎话 即乙丙同住东村或同住西村 但乙说自己住东村 而丙说乙不是东村的 可见乙丙不可能同时说真话 也不可能同时说假话 所以 甲不住西村 而住东村 既然甲住东村 则乙丙一东一西为真 又乙说甲不是东村的为假 所以 乙是西村 丙是东村 说谎与诚实二 这一天 泰勒教授带着他的助手打算访问东村 他俩沿着唯一的一条林间小道向小岛的腹地进发 不久 道路分成了左右两条 无疑是分别通向东西村的道路 但哪一条通向东村呢 教授和助手坐在路口 时而回头看看通向海滩的林间小道 正在无计可施时 一个青年从树林里走了出来 教授和他的助手已是胸有成竹 教授先向来人提了一个问题后 得到回答后 助手又提了一个问题 来人也回答了 于是他们选择了通往东村的路 请问 他们提的是什么问题 分析 关键是判断来人是说真话还是假话 第一个问题比较灵活 可以问 这三条路那条通往海滩 或者现在是白天还是黑夜等等第二问题则直接问 这是通往东村的路吗 说谎与诚实三 教授是个喜欢思考的人 在去往东村的路上 他仍然忘不了刚才问路的事 一面走 一面思索 突然 他若有所悟的对助手说 我们何必在路口苦等打听通往东村的路呢 其实 我们随意选择一条路进村 进村后 随意找一个居民询问 并按照他的回答判断我们来到哪个村 反正这两个村子我们都是要访问的 再说 我们只需提一个问题用 是 与 不是 回答的问题就可以了 这次 助手有点丈二和尚摸不着头脑 你帮教授解释一下吧 分析 问题 你的家在这村吗 或你是这个村的居民吗 说谎与诚实四 教授和他的助手来到东村 恰逢东西两村居民聚在一起庆祝自己的节日 村民们按岛上的习俗唱歌跳舞 大碗喝酒 结果 两村居民中有不少人酩酊大醉 醉汉对一切事物的判断都是颠倒的 自己明明醉了 却偏偏认为自己没醉 明明自己家住本村 却自认为来自外村 不过 在陈述自己的判断时 东村人仍然以实相告 西村人仍不忘说谎 醉汉也不例外 现在 教授提了一个用 是 与 不是 回答的问题 以查明说话者是东村人还是西村人 而他的助手也提了一个这样的问题 以查明答话者是否已喝醉 请想想 这两个问题是什么呢 分析 教授的问题是 你是不是醉汉 因为醉汉和非醉汉都认为自己不是醉汉 所以 回答 不是 是真心话 说明是东村人 回答 是 的在说谎 是西村人 分析 助手的问题是 你是不是西村人 由于东村醉汉认为自己是西村人 并如实相告 因此回答是 西村醉汉认为自己是东村人 并以谎言相告 因此回答是 同样东村非醉汉知道自己是东村人 并如实相告 因此回答不是 西村非醉汉知道自己是西村人 并以谎言相告 因此回答不是 总之 回答是为醉汉 回答不是为非醉汉 说谎与诚实五 庆祝会结束 已是深夜 好客的岛民推举两位代表送教授和助手回帐篷 两