47.小波变换及其在信号和图象处理中的应用研究
收藏
资源目录
压缩包内文档预览：
编号：511952
类型：共享资源
大小：1.61MB
格式：RAR
上传时间：2015-11-11
上传人：QQ28****1120
认证信息
个人认证
孙**（实名认证）
辽宁
IP属地：辽宁
6
积分
- 关 键 词：
-
毕业设计
- 资源描述：
-
47.小波变换及其在信号和图象处理中的应用研究,毕业设计
- 内容简介：
-
一种适用于多分辨信号分解的理论： 小波表示 STEPHANE G. MALLAT 摘要： 多分辨表示法对含有像素信息的分析显得非常有效。它按照一种给定的方式逼近信号。通过在正交基 L 2( R n ) 上的小波分解 ,提取出我们用来描述的使用尺度 2 j+ 1 和 2j来实现信号逼近产生的区别。在 L2 ( R )中 ,一个正交基是方程 (xj/2 (2 jx - n )（ J , n ) Z2的一个函数族。方程 (xj/2 (2 jx - n )（ J , n ) Z2是通过放大和平移 (x)来实现的。这个分解定 义了一个叫做小波表示的正交多分辨表示法。这是个依靠共轭镜像滤波器的卷积的金子塔式的运算法则。对于像素，小波表示法区 分空间定位。我们研究这种表示法去实现在图象编码，纹理辨别和碎片分析中的数据压缩。 关键词： 编码，不规则碎片形，多分辨金字塔， 共扼镜像滤波器， 纹理辨别，小波变换。 1、 引言 对计算机而言，对直接拥有象素灰度等级的像素信息的分析是困难的。当然，这些数据直接反映了亮度环境。更重要的是局部的象素亮度的变化。被计算出区别的相邻部分的大小必须被调整到我们要分析的实体的大小上 41。这个大小定义了测试部分 变化像素的分辨率参数。一般来讲，我们想认识的结构体有很不同的尺寸。因此，为图象分析要定义一个预先最优的分辨率显得不可能。几种探讨18， 31， 42发展了用不同分辨率进行图象处理的匹配预算模型。给定一个递增尺度 ( rJ ) J Z序列，在尺度 rj上的图象的细节被定义为关于用分辨率 rJ逼近和用较低的分辨率 rJ- I逼近所产生的区别。 多分辨分解使得我们能够用尺度不调整的图象描述。在屏幕和相机的视觉中心一个象素的尺度不同。当象素尺度被休整，对屏幕的描述应该不会改变。当分辨率参数 ( rJ ) J Z 呈指数变化时，多分辨表示法可以在局部尺度不变。设想存在这样一个分辨率数组 R 使得对所有的 j 都有 rJ = J。当相机 倍靠近屏幕时，屏幕里的每个目标体被映射在相机焦平面的 2 倍大的面积上。也就是说，每个目标体通过 倍大的分辨率进行测量。因此，新图形中的尺度 J 的详细资料对应于原本图象中的尺度 j+1 的图象。在分辨率轴中，通过 来改变图象尺度来传递图象细节。如果图象细节用各种尺度进行处理，我们关于图象信息的描述不变。 多分辨表示法提供了一种简单的等级框架来描述图象信息 22。在不同的方法中，图形的细节一 般都是显示在屏幕上不同物理结构。在粗略的分辨率中，这些细节资料协调于那些能提供图形“上下文”资料的大的结构组。因此，自然都是先用一种粗略的分辨率去分析第一个象素的细节，再去逐步增加这种分辨率。这nts种粗略 到 精细的策略对图形认识运算法则有用。它已经在低水平图象处理像立体匹配 16和模糊匹配 18中被广泛研究。 Burt5和 Crowley 8都有介绍过对信号细节通过不同的分辨率进行计算的金字塔式的执行。为了使计算简便， Burt 选择了一个分辨率阶 等于 2。在每个2j的细节资料是通过两个不同的低通滤波器 滤除原始信号并以因素为 2 J 进行二次抽样得到的。这种方法是通过有限的数组分辨率来运行的。在执行中，这不同的低通滤波器提供了一个近似高斯的拉普拉斯算子。不同的分辨率中的详细资料被重新分组到称为拉普拉斯金字塔的金字塔结构体中。这个拉普拉斯金字塔数据结构体 被 Burt 和 Crowley 研究过 却遭遇到分割的数据有联系的困难。没有明确的模式来分析相关性。因此，难以认识到图形相似的细节资料是图象自身携带的还是表示法中内部的冗余。而且，这种多分辨的表示法在分解过程中没有说明任何选择的空间方位信息。这种方向的同一性对图形的 认识问题上如纹理分辨上显得不方便 21。 这篇文章中，我们首先研究用尺度 2 J 转换一个方程去逼近的数学处理工具。然后再描述在两个用尺度 2 J +1 和 2 J 逼近的不同，这是通过小波正交基分解提取的。这种分解定义了一个完整正交多分辨表示法称为小波表示法。小波已经为Gossmann 和 Molet17介绍过，就是通过对 (x)进行扩大和平移得到 ( S1/2 ( sx - t)（ s， t） R+ x R， 能够用来拓充 L2(R)方程。 Meyer35说明了存在小波 (x)像 ( 2j/2/ ( 2jx - k ) ) （ J . k ) E Z2 是 L2( R )正交基。这些基推广了 Haar 基。这个小波正交基提供了一种方程研究的重要的新工具。而且，在这以前，认为不可能有相似于L2 ( R )基的正交基存在。就 L2 ( R )而言，它的原理在方位和 Fourier 区域上有很好的局域性。 小波的多分辨方法使得我们可以刻画出这个产生正交基的函数 (x)E L 2 ( R )特点。这个模型首先是为一维被描述，后来发展到二维的用做图象处理。这种小波图象表示法区别几种空间定位。我们描述出小波表示的计算能够通过一个正交运算法则依靠共轭镜 像滤波器基于卷积来实现。信号同样也可以通过小波表示法用相似的正交运算法则进行再造。我们讨论这种表示法用于紧凑图象编码，纹理辨别和碎片分析的应用。在这篇文章中，我们略去了法则的证明和省略了数学技巧细节。然而，我们试着去分析实际应用模型。这个数学基础被完整地在 28中描述。 A符号 表示 Z 和 R 分别表示整数和实数。 L2 ( R )表示空间测量向量，平方可积的一维函数 f (x )。对 f (x ) L 2 ( R ) 和 g(x) L 2 ( R )， f(x) 和 g(x)的内积可以写成如下形式： nts f(x)在 L 2 ( R )的标准如下 我们定义函数 f(x) L2 ( R )和函数 g(x) L 2 ( R )卷积 f ( x ) L2 ( R )的 Fourier 变换写成并且被定义为 f(W) I2 (Z )是平方可求和序列的空间向量 L 2 ( R 2 )是可测量，平方可积二维函数 f(x, y )的向量空间。对 f（ x, y） L 2 ( R 2 )和 g(x, y) L2(R2)， f(x,y)和 g(x,y)内积结果可以写成 f ( x , y) L 2 ( R 2 )的 Fvourier 变换写成 f(wx, wy )，被定义为 II 多分辨变换 在这个部分，我们研究一维信号多分辨分解概念。在第四部分这个模型拓展到二维。 A. L2(R)多分辨逼近 A2j 是利用分辨率 2 j 来逼近信号的算子。假设原始信号 f (x)是可测量的并且有限能量： f ( x ) L 2 ( R )。 我们从直接的用法中刻画 A2j。这种直接的用法可能起于这样一个逼近操作。接着，我们用数句话规定特性，并且给定相应的数学公式。 1） A2j 是线性算子。假设 A 2j f ( x )是在分辨率 2 j 去逼近 f ( x )的 函数。并且如果我们用分辨率 2 J 再次逼近函数， A 2j f ( x )不用修正。这个法则显示了 A2j。A2! = A2j。算子 A2j 对特殊的向量空间 V2j C L2 ( R )是投影算子。向量空间 V2j 可以被解释成一套在 L2( R )中函数的分辨率为 2j 的所有可能逼近。 nts2）在所有关于 2 J 的逼近函数中， A 2 j f ( x )是最逼近函数 f (x )的函数。 因此，算子 A2j 是在向量空间 V2j,中 的正交实体。 3）通过 2j+1 逼近信号，包含有所有必须的信息来计算相同的用较小的 2 J去逼 近的信号。这是个因果特性。因为是一个关于 V2j 的投影算子，它相当于 4）在所有的分辨率中逼近算法是类似的。逼近函数的逼近区间取源通过分辨率数据对比度定下的彼此函数缩放要求。 5）每单元的 2j 取样决定了函数 f ( x )的逼近函数 A2jf(x)。当 f ( x )被通过一定比例转换到 2-j， A2j f ( x )也可以用相同的数据转变并且它可以用刚刚用过的相同的抽样方法来定义。像序列（ 3），当 j = 0 时它可以推倒出 5）。数学上的转变如下表示： 不连续取点 在 I2 ( Z )上存在有一个取自于 VI 的相 同性质的 I。 近似值的转变： 取样的转变： 6）当用分辨率 2 j 计算函数 f(x)的逼近函数时，一些关于 f(x)的信息会被丢失。然而，当分辨率逼近无穷远时，逼近信号将等同于原始信号。相反的，如果分辨率减小到零时，逼近函数也将越来越少包含原函数的信息，直到变为零。 因为以 2j 为底的近似信号和在 V2j 空间的正交体是一致的，这个法则也可以写成 和 nts我们称任何满足（ 2） -（ 8）的任何向量空间 ( V2j)j Z为 L2( R )的多分辨逼近体。满足 1） 6）的算子 A2j 的关联给定了在以 2j 为基础的 任何 L2( R )方程的近似。现在给定 L2 ( R).的多分辨逼近的简单例子。 例子 ：选择 V1 在 k 2 - j , ( k + 1)2-j内的所有函数 L2( R )里的空间，对任意的 k Z。 对任意 k Z， 方程（ 3）显示 V2j 是在 k 2 - j , ( k + 1)2-j内的所有的函数 L2 ( R )里的空间 。 （ 2）的条件很容易修正。定义一个同类的能满足（ 4），（ 5），（ 6）的 I 和方程 f ( x ) VI 的像在区间 k , k + 1 里的 ak。 。我们知道在 L2(R)里的分段函数方 程中的向量空间很紧凑。因此，我们可以得出 紧凑在 L2( R )里。很明显的 ， 所以向量区间序列 ( V2j )j z 是 L2( R )的多分辨逼近。遗憾的是，这些向量空间既不连续又不光滑，使得多分辨逼近很不方便。很多情况我们都希望能够计算一个连续的逼近。在附录 A 中，我们描述一个多分辨逼近族，它的每个空间 V2j 够 n 倍连续变化。 知道逼近算子 A2j 是向量空间 V2j 的一个正交基。为了数字表现这种算子，必须找到 V2j 的一个的正交基。接下的法则说明了通过扩大和变换单一的函数 (x)给出了这样一个正交基。 定理 I： ( V2j)j z是 L2 ( R )的多分辨逼近。存在一个单一的函数 L2 ( R )，叫做比例函数，如果我们假设在 j Z， 2j(x) = 2j (2jx)（按照 2j 扩大 (x)），就有V2j的正交基 （ 9）。关于法则证明的说明可以在附录 B中得出。法则说明了我们可以用 2j 作为系数扩大 2j (x)而且在以为 2-j 间隔的栅格上转变所得方程， 建立一个任何 V2j 中的正交基。函数 2j (x)用 L1 ( R )来格式。在基中的系数 2-j/2为的是在 L2( R )规范函数。在给定的逼近函数 ( V2j)j z 中存在一个唯一 的比例函数 (x)能够满足（ 9）。然而，对于不同的多分辨逼近，比例函数不同。很容易得到符合前面提到的例子的比例函数是 0， 1的指数函数。一般来讲，希望能有一个更光滑的比例函数。图 1 说明了一个连续变化和指数递增的比例函数。它的 Fourier 变化有一个低通滤波器的样式。 nts图 1，（ a）是比例函数 （ w） ，这个函数在目录 A 中计算。（ b） Fourier 变换 （ w） ，比例函数是一个低通滤波器 . 这个相应的多分辨逼近是由立方 spline 建立。这个比例函数将在目录 A 中叙述。 在 V2j里的 这个正交体现在能够通过在法则 1中提到的正交基中分解信号 f（ x）来计算获得。特别地， (10) 这个信号 f（ x）的逼近函数是以 2j 为分辨率， A2jf（ x），因此它为一套内积获得。可以表示如下： ntsA2jf（ x）被称为分辨率为 2j 时 f（ x）的离散逼近。因为计算机只能处理离散信号，我们必须计算离散逼近。每个内积可以被用在点 2-jn 上的卷积来表示 因此，可以改写 因为 （ x）是一个低通滤波器，这种离散信号可以被表示为一种通过统一的 2j来取样的 f（ x）的低通滤波器。在一个逼近过程中，当转移的 f（ x）的细节比2-j 小时，我们必须控制 住函数最高频率部分。比例函数 （ x）形成一个标准的低通滤波器，因为 （ 2-j/2 2j（ x-2-jn） n Z 族是一个正交族。 在下一个章节里我们将讲述以 2j 为分辨率 f（ x）的逼近函数能够用一个金字塔式的运算法则来计算。 B. 多分辨 变换的实现 在实际中，一个物理测量装置只能在有限的分辨率上测量一个信号。为了标准化目的，我们假设分辨率为 1。 是在测量时分辨率为 1 时的离散逼近。因果原则说明了通过 我们可以计算 j0 所有的近似值 。这个章节，我们描述迭代的运算法则来计算这些离散逼近。令（ V2j） j Z是一个多分辨近似值 ，并且（ x）是相应的比例函数。 函数族是 V2j+1的一个正交基。对任意的 n Z，方程 2j（ x-2-jn）是包含在 V2j+1的 V2j的一员。它可以以 V2j+1为正交基拓展： 通过改变在内积中的变量，可以得到 nts当用（ 13）两边均和 f（ x）做内积。可以得到 令 H 是冲击响应是如下表示的离散滤波器 令 是冲击响应 的镜像滤波器。将（ 15）输入上面的方程可以得到 (16) （ 16）说明 能够通过 和 卷积并且保持输出的每一个其他的取样。在 j0 所有的离散逼近 能够通过从 再执行程序来计算获得。这 种操作被 称 为 金 字 塔 式 的 转 变 。 这 种 运 算 法 则 通 过 图 5 来 说 明 。 图 5 在实际中，测量工具只给了有限的取样： 。每个离散信号有 2jN 的样值。当计算离散逼近 为了避免边际问题，我们假设原始信号 和 n=0 以及 n=N 响应是相称的 如果滤波器 的冲击响应是 ，每个离散逼近 将在 n=0以及 n=2-jN响应上相称的。图 2（ a）说明了一个连续信号分别在分辨率为 1， 1/2， 1/4， 1/8，1/16 和 1/32 的条件下的离散逼近信号 。这些离散逼近信号已经被用先前提到的雨伞法则计算过。连续的逼近信号 有 通过添加离散逼近（ 10）来计算并显示在图 2（ b）中。当分辨率降低时， f（ x）的细节将消失。 定 理 1 说明了多分辨逼近 是靠比例函数 （ x）来刻画的。比例函数能被定义为一个像函数 （ x） L2（ R） ，对所有的 j Z，（ 2-j/2 2j（ x-2-jn）是一个正交族， （ V2j） j Z 是 L2（ R） 的一个多分辨逼近。我们同样利用一个在nts比例函数上的规则条件。比例函数 （ x） 连续变化，并且 （ x） 和 ,（ x）在无穷远点的衰减渐近线必须满足 。 接下去的法则讲述一个关于比例函数的 Fourier 变换的尺度函数。 定理 2： 令 （ x） 是一个比例函数，并且令 H 是一个冲击响应为 h（ n）= 的离散滤波器。定义 H（ w）为 nts图 .2.（ a）以 1， 1/2， 1/4， 1/8， 1/16，和 1/32 为分辨率来离散逼近 。每个点给出了基于 的内积 的幅度。（ b）以 1， 1/2，1/4， 1/8， 1/16，和 1/32 为分辨率来连续逼近 。这个逼近是通过在离散逼近中加入（ 10）来计算获得。 H（ w） 满足以下的两个方程： |H（ 0） |=0 和无穷远点 h（ n） =O（ n-2） （ 17a） |H（ w） |2+|H（ w+ ） |2=1 （ 17b） 相反的令 H（ w） 作为一个 Fourier 系列满足（ 17a）和（ 17b）。有 函数用 定义了比例函数的 Fourier 变换。 在附录 C 中给出了这个法则的推倒方法。满足（ 17b）的滤波器被称为自适应滤波器。在信号处理文献 10， 36， 40可以看到更多的关于此类滤波器和数字方法来综合它们。给定一个满足（ 17a） （ 17b）的自适应滤波器 H，我们可以在相应的比例函数（ 16）上计算它的 Fourier 变换。为了包含比例函数 （ x） ，我们可以选择一个在频率和空间上有良好的局部特性的 H（ w） 。 （ x） 的连 续性和衰弱在无穷远点能够用 H（ w） 估计。在 中给定例子里的多分辨逼近，可以发现在 0， 1间比例函数是指示方程。容易看到相应的 H（ w）满足 附录 A 讲述的是一类对一些 n N 呈指数衰减并且 Fourier 变换按 递减的均衡比例函数。图 3 说明了和图 1 给顶的比例函数联系的滤波器 H。这个滤波器更深的描述在附录 A 中。 、小波表示 A数字信号 B正交小波表示运行 C从小波表示重建信号 .图象的正交小波表示的延拓 A二维中运算的分解和重建 .正交小波表示的应用 ntsA. 小波图象表示的紧密编码 .结论 附录 A 多分 辨逼近例子 附录 B 定理 1 证明 附录 C 定理 2 证明 附录 D 定理 3 证明 附录 E 定理 4 证明 感谢 特别感谢 R.Bajcsy 在整个研究过程中的建议。并且在这篇论文中 Y.Meyer在一些数学方面的帮助。同样感谢 J.L 的评论。 参考文献 l E. Adelson and E. Simoncelli. Orthogonal pyramid transform for image coding, Proc. SPIE, Visud Cornmun. Imuge Proc., 1987. 121 A. Arneodo. G. Grasseau. and H. Holachneider, On the wavelet transform of multifractala, Tech. Rep. CPT, CNRS Luminy. Marseilles. France, 1987. 3G. Battle, A block spin construction of ondelettes, Part 1: Lemarie functions, Commun. Math. Phys., vol. I 10, pp. 601-615, 1987. 4J . Beck. A. Sutter. and R. I v y . Spatial frequency channels and perceptual grouping in texture segregation, Comput. Vision Gruph. I r w crgc Proc. vol. 37. 1987. 5P. J . Burt and E. H. Adelson. The Laplacian pyramid as a compact image code, IEEE Truns. Commun. vol. COM-31, pp. 532-540. Apr. 1983. 6F. Campbell and D. Green. Optical and retina factors affecting VIsua1 resolution. J . Plzysiol. vol. 181, pp. 576-593, 1965. nts7F. Campbell and J . Kulikowski. Orientation selectivity of the human visual system. J. Physiol. vol. 197. pp. 437-441, 1966. 8J. Crowley. A repreaentaton for visual informaton, Robotic Inst. Carnegie-Mellon Univ. Tech. Rep. CMU-RI-TR-82-7, 1987. 9I. Daubechies. Orthonormal bases of compactly supported wavelets. Conirnun. Purr Appl. Math. vol. 41, pp. 909-996. Nov. 1988. 10D. Esteban and C. Galand, Applications of quadrature mirror filters to split band voice coding schemes. Proc. int. Cont. Acortst. Speec.h, S i g r i d Processing. May 1977. 11P. Federbush. Quantum field theory in ninety minutes. Bull. Amer. Math. Soc. 1987. 12P. Flandrin. On the spectrum of fractional Brownian motions. UA 346. CNRS. Lyon. Tech. Rep. lCP1 TS-8708, France. 13 A. Gagalowicz. Vers un modele de textures, dissertation de docteurdetat, INRIA. May 1983.、 14 P. Goupillaud. A. Grossmann, and J. Morlet, Cycle octave and related transform in seismic signal analysis, Geoexpplorution. vol. 23. pp. 85-102. 198511984. 15 N. Graham. Psyc
- 温馨提示:
1: 本站所有资源如无特殊说明，都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
2: 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等，如果需要附件，请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
3.本站RAR压缩包中若带图纸，网页内容里面会有图纸预览，若没有图纸预览就没有图纸。
4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
5. 人人文库网仅提供信息存储空间，仅对用户上传内容的表现方式做保护处理，对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑，并不能对任何下载内容负责。
6. 下载文件中如有侵权或不适当内容，请与我们联系，我们立即纠正。
7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
人人文库网所有资源均是用户自行上传分享，仅供网友学习交流，未经上传用户书面授权，请勿作他用。
川公网安备: 51019002004831号