静定结构的受力分析.ppt

1 第三章静定结构的受力分析 2 静定结构的定义 从几何组成的观点看 几何不变且无多余约束的结构称为静定结构 从静力分析的观点看 静定结构的内力可以由三个平衡方程唯一确定 3 1杆件受力分析 3 平衡方程为 或 A B C不在同一直线上 一 隔离体 1 内力正负号 4 在结构力学中 要求弯矩图画在杆件受拉边 不注正负号 剪力图和轴力图要注明正负号 上图中弯矩正负号的规定通常用于梁 2 隔离体 5 作隔离体应注意下列几点 1 隔离体与其余部分的联系要全部切断 代之以相应的约束力 2 约束力要与被切断的约束性质相应 6 3 隔离体只画受到的力 不画该隔离体施加给其余部分的力 4 不要遗漏力 隔离体受力图应包括荷载以及受到的全部约束力 5 已知力按实际方向表示 注明数值 未知力按正方向表示 7 二 荷载与内力之间的微分关系和增量关系 1 微分关系 8 1 剪力图上某点切线的斜率等于该点横向分布荷载的集度 但正负号相反 2 弯距图上某点切线的斜率等于该点的剪力 3 弯距图上某点的曲率等于该点的横向分布荷载的集度 但正负号相反 4 轴力图上某点的斜率等于该点轴向分布荷载的集度qx 但正负号相反 小结 9 因此 若剪力等于0 M图平行于杆轴 若剪力为常数 则M图为斜直线 若剪力为x的一次函数 即为均布荷载时 M图为抛物线 10 2 集中荷载与内力之间的增量关系 11 1 在集中力作用点的左右截面 剪力有突变 剪力图有台阶 台阶高度等于FP 2 M图上有尖点 尖点指向同集中力的指向 小结 12 3 集中力偶与内力之间的增量关系 13 1 集中力偶作用点左右截面的弯矩产生突变 M图有台阶 台阶高度等于m 2 左右截面剪力不变 小结 从以上得出的几何性质 就可以知道体系中的杆件在不同的荷载作用区段的内力图的特点 14 不同荷载下弯矩图与剪力图的形状特征表 根据这些特点 在此给出一表 供大家参考 此表可以用来进行内力图的校核 也可用来检查已绘的内力图 15 三 分段叠加法作弯矩图 结构中的任一杆件 都有无数多个截面 我们不可能将每个截面的上的弯矩逐个求出 然后再作M图 如前所述 当杆件为直杆时 在某区段上 M图的变化是有规律的 故可采用下述的叠加法进行计算与绘制弯矩图 分段叠加法是依据叠加原理得到的作M图的简便作图法 16 叠加原理 结构中由全部荷载所产生的内力或变形等于各种荷载单独作用所产生的效果的总和 理论依据 力的独立作用原理 应用条件 材料服从 虎克定律 且是小变形 即 只有线性变形体才适用叠加原理 先看叠加法作简支梁在荷载作用下的弯矩图的过程 17 1 分别考虑杆端弯矩MA MB与均布荷载q单独作用时 可简单作出其相应的弯矩图和 2 叠加和可得原结构的M图 18 下面讨论结构中任意直杆段的弯矩图的叠加 1 取结构中的任意杆段为隔离体 考虑杆件荷载和杆端弯矩 2 与同跨度简支梁比较 二者弯矩图完全相同 以下图为例讨论分段叠加法的做法 19 MC 20 在求出各控制截面A C D B在全部荷载作用下的弯矩后 任意直杆段的M图就转化为作相应简支梁在杆端力偶及杆间荷载作用下的M图的问题 21 基本步骤 1 选定控制截面 求控制截面在全部荷载作用下的M值 将各控制面的M值按比例画在图上 在各控制截面间连以直线 基线 控制截面 集中力或者集中力偶作用截面 分布荷载的起点和终点以及梁的左 右端支座截面等 2 对于各控制截面之间的直杆段 在基线上叠加该杆段作为简支梁时由杆间荷载产生的M图 22 3 当控制截面间无荷载时 根据控制截面的弯矩 即可作出直线弯矩图 连接控制截面弯矩的纵坐标顶点 值得注意的是 弯矩图的叠加 是指纵坐标 竖距 的叠加 而不是指图形的简单拼合 下面看几个例题 23 例3 1 1作图示单跨梁的M FQ图 解 1 求支座反力 F 24 2 选控制截面A C D F并求弯矩值 已知MA 0 MF 0 取AC段为隔离体 取DF段为隔离体 25 3 作M图 将MA MC MD MF的值按比例画在图上 并连以直线 称为基线 对AC CD DF段 再叠加上相应简支梁在杆间荷载作用下的M图即可 4 作FQ图 M图 kN m C D A F 23 7 B E 17 26 例3 1 2作图示单跨梁的M FQ图 解 1 求支座反力 130kN 310kN 27 2 选控制截面A C D E F 并求弯矩值 已知MA 0 MF 0 取AC段为隔离体 取AD段为隔离体 28 对悬臂段EF 3 作M FQ图 将MA MC MD ME MF的值按比例画在图上 并连以直线 称为基线 对AC DE EF段 再叠加上相应简支梁在杆间荷载作用下的M图即可 29 30 例3 1 3作图示梁的M FQ图 2 选择控制截面 A B C D 并求其弯矩值和剪力值 解 1 支反力计算FyA 9kN FyB 17kN 先看快速作M图 31 3 作M FQ图 叠加法作M图 注意新基线 M图画在受拉侧 FQ图可以画在任一侧 但必须标明正负号 对应M FQ图可验证微分关系 MAC 16kN m 上拉 MAB 30 16 14kN m 下拉 MBA MBD 6kN m 上拉 FQC 8kN FQA左 8kN FQA右 1kN FQD 0 FQB右 6kN FQB左 11kN 通常梁的弯矩图规定下侧受拉为正 弯矩值可有负号 32 33 4 讨论剪力零点H FQ 0的点 确定H点是简单的 H点的位置确定后 利用积分关系求出MH的值 34 MH的值为极大值 即 MH 14 17kN m 可按取隔离体的方法进行验算 小结 1 弯矩叠加是指竖标以基线或杆轴为准叠加 而非图形的简单拼合 2 应熟悉简支梁在常见荷载下的弯矩图 3 先画M图后画FQ图 注意荷载与内力之间的微分关系 35 四 斜杆受力分析 以下图示斜梁为例进行讨论 解 1 支座反力如上图示 2 求任一截面C的MC FQC FNC 36 取AC段为隔离体 37 38 斜杆上的竖向分布荷载可以分解为垂直杆轴和沿杆轴方向的分布荷载 如下图示 值得注意 39 3 作内力图 40 例3 1 3作图示斜梁的内力图 与讨论题不同的地方是 B点的支杆方向不同 41 解 1 求A B截面剪力和轴力 42 2 求跨中截面MC 取图示CB段为隔离体 下拉 43 3 作内力图 qlsin FN图 qlcos 2 与讨论题不同的地方是 FN图不同 44 注意下图示梁C D截面弯矩图的画法 CD段M图 45 3 2静定多跨梁受力分析 定义 由若干根梁用铰连接而成用来跨越几个相连跨度的静定梁称为静定多跨梁 从构造单元来说 静定多跨梁是由简支梁 悬臂梁 伸臂梁组合而成的 此种结构形式多用于桥梁结构 46 一 静定多跨梁的构造特征和受力特征 1 构造特征 静定多跨梁由基本部分和附属部分组成 组成的次序是先固定基本部分 再固定附属部分 1 单悬臂式 组成次序图 47 2 双悬臂式 附属部分 附属部分 组成次序图 基本部分 能独立维持其几何不变性的部分 如单悬臂式中AB部分 相对于CD部分 BC部分也可视为基本部分 双悬臂式中AB部分 在竖向荷载下 EF IJ部分视为基本部分 48 附属部分 依赖其它部分才能维持其几何不变性的部分 如单悬臂式中 BC CD部分和双悬臂式中CD GH部分 2 受力特征由静定多跨梁的组成顺序可以看出 若荷载作用在基本部分上 则附属部分不受力 若荷载作用在附属部分上 则基本部分同样受力 因此 静定多跨梁的内力分析应从附属部分开始 即首先要求出附属部分传给基本部分的力 49 二 内力分析 解题步骤 1 分析结构组成次序 画组成次序图 2 先计算附属部分 将附属部分上的约束力反向作用于基本部分上作为外荷载 3 再计算基本部分的各约束力 4 作单跨梁 构造单元 内力图 用分段叠加法作M图 然后连在一起即得静定多跨梁的内力图 5 内力图的绘制规定同前 50 例3 2 1作图示静定多跨梁的M图和FQ图 解 1 作组成次序图 51 2 求附属部分和基本部分的约束力 对于CE段梁 计算次序 52 对于AC段梁 53 3 内力图如下图示 54 例3 2 2作图示静定多跨梁的M图和FQ图 解 1 作组成次序图 55 2 求附属部分和基本部分的约束力 梁各部分的受力如上图示 作用于铰结点D的集中力 80kN 可看作直接作用于基本部分AD上 先计算DF部分支反力 56 对于AD段梁 57 对于FL段梁 58 3 内力图如下图示 59 例3 2 3求x的值 使梁正 负弯矩相等 q 解 BD跨为基本部分 AB跨为附属部分 B铰的设置 60 AB跨跨中弯矩ME为 BD跨支座C负弯矩MC为 令ME MC得 61 对于BD杆 CD跨最大弯矩为 62 3 3静定平面刚架受力分析 一 基本概念 平面刚架由梁和柱组成 梁和柱通常用刚结点相连接 刚结点有如下特征 几何特征 一个简单刚结点相当于三个约束 能减少体系三个自由度 63 变形特征 在刚结点处 各杆端截面有相同的线位移及角位移 结点处各杆无相对位移 静力特征 刚结点能传递弯矩 剪力和轴力 64 计算程序 1 先计算支座反力 2 在支反力和外荷载的作用下 分别求出各杆端的内力 截面法 作出各杆的内力图 合起来即得到整个刚架的内力图 3 最后校核 内力图的作法 第一种作法 分别求出各控制截面的内力M FQ FN 按绘图规则作出各内力图 65 第二种作法 在计算出各控制截面的弯矩M后 先作出M图 再由M图截取杆件 考虑杆端弯矩M M按实际方向作用于杆端 和杆件上的外荷载 利用杆件平衡求出剪力FQ 作出FQ图 再由FQ图截取结点 考虑FQ FQ按实际方向画出 和结点荷载 利用结点平衡求出轴力FN 作出轴力FN图 注意 第二种作法是逐步校核的方法 应重点掌握 66 内力图的符号规定及有关说明 1 在刚架中FQ FN都规定正负号 与梁相同 但是弯矩M不规定正负号 用纵坐标的位置标明弯矩的性质 弯矩图画在受拉侧 2 结点处有不同的杆端截面 用杆件两端标号标明内力 3 正确的选取隔离体 在截面处正确的标出三个未知内力 M的方向可任意画出 FQ FN的方向规定同梁 67 4 控制截面选取同前 如图所示B点是三个杆件的结点 三个杆端弯矩 MBA MBC MBE三个剪力 FQBA FQBC FQBE三个轴力 FNBA FNBC FNBE 68 二 静定平面刚架分类 悬臂刚架 梁为悬臂杆 如火车站的月台结构 简支刚架 用三根链杆或一个铰和一根链杆与基础相连组成的刚架 69 组合式刚架 三铰刚架 三个刚片 包括基础 用三个铰两两相连组成的刚架 在竖向荷载作用下 三铰刚架的支座存在水平推力 组合式刚架 带有基本部分和附属部分的刚架 计算时先计算附属部分 再在计算基本部分 具体计算见例题 70 例3 3 1悬臂式刚架作内力图 如图a 解 采用第一种作法 1 求支座反力 如图b FxA 20kN FyA 70kN MA 260kN m 外拉 三 静定平面刚架内力分析举例 71 2 计算各杆端内力 图c 分别考虑各杆件为隔离体CD和CA 可得出各杆端内力 72 3 作内力图 图d e 4 校核 取结点或取杆件 应满足平衡条件 图f 73 例3 3 2简支式刚架 作内力图 图a 解 采用第二种方法 1 计算支座反力 FxA 9kN FyA 100 5kN FyB 91 5kN 2 计算各杆端弯矩 注意 杆端弯矩的求法 在求出支反力后 利用 悬臂梁 的概念和 结点平衡的条件 可简单求出 74 MCA 54kN m 外拉 MCD MCA 54kN m 外拉 MDB 27kN m 外拉 MDC MDB 27kN m 外拉 3 作弯矩图 M图 144 54 27 M图 kN m 图b 75 4 作剪力图 从弯矩图截取杆件 考虑杆端弯矩与外荷载求杆端剪力FQ 图c 截取杆件AC有 MA 0 得 FQCA 9kN Fx 0 得 FQAC FQCA 9kN 76 截取杆件CD有 MD 0 得 FQCD 100 5kN Fy 0 得 FQDC 91 5kN 截取杆件DB 有 MB 0 得 FQDB 9kN Fx 0 得 FQBD 9kN 作剪力图 FQ图 如下图 77 5 作轴力图 FN图 从FQ图中截取结点 同时考虑结点荷载 因为在求杆端弯矩时 已利用结点弯矩平衡的条件 故此时在结点上不再画出弯矩 截取结点C 图e 有 Fx 0 得 FNCD 9kN Fy 0 得 FNCA 100 5kN 78 截取结点D 图f 有 Fx 0 得 FNDC 9kN Fy 0 得 FNDB 91 5kN 作轴力图如下 当在杆件上作用有轴向荷载时应考虑在内 且N图有突变 注意 使用第一种方法 可灵活选用隔离体 去求得各截面上的内力 79 例3 3 3组合式刚架 作内力图 FxK 1kN FyK 2kN FyG 30kN 80 解 ACD为附属部分 其余为基本部分 1 支座反力考虑附属部分ACD 考虑刚架整体平衡 81 2 作M图取图示EHK部分为隔离体 82 各柱上端弯矩为 取右图示DE部分为隔离体 E点弯矩校核 83 注意 AC杆M图B点有尖点 84 3 作FQ图在M图中截取EH杆件 考虑外荷载 求剪力 下面说明用力矩方程求剪力的方法 取右图示EH杆为隔离体 85 86 4 作FN图各杆轴力可以用投影方程求解 也根据剪力图 取各结点为隔离体 用投影方程求轴力 87 88 例3 3 4组合式刚架 作图a所示刚架内力图 解 该刚架是带有附属部分的组合式刚架 附属部分DFE 基本部分ABCD 89 计算原则 先计算附属部分再计算基本部分 1 计算支反力先计算附属部分DFEFyE 9kN FyD 1kN FxD 8kN 再计算基本部分ABCD将FxD FyD反向作用于基本部分上 然后计算基本部分的支反力 90 FyC 4 5kN FyA 5 5kN FxA 8kN 2 计算各杆端弯矩确定控制截面充分利用 悬臂梁 的概念和结点弯矩平衡 MBA 32kN m 外拉 MBG MBA 32kN m 外拉 基本部分的支反力 91 MDG MDC 0 MFE 16kN m 外拉 MFH MFE 16kN m 外拉 3 作M图 叠加法 92 4 由M图作FQ图 5 由FQ图作FN图 图略 93 例3 3 5组合式刚架 作图a所示多层刚架M图 解 这是一个双层三铰刚架 组成的次序是先固定下部 再固定上部 求约束反力的次序应与组成次序相反 因此先求上部结构的约束反力 然后将求得的结果反向加于下部结构上 求下部结构的支座反力 94 计算结果如图所示 约束力求出后 即可绘制弯矩图如图所示 95 例3 3 6作图示三铰刚架内力图 竖向支座反力可先定性分析 大小相等方向相反 96 由CEB部分平衡 由整体平衡 解 1 支座反力 整体平衡 基本求法 97 2 作M图 AD杆 MDA ql2 16 右拉 M中 ql2 16 右拉 快速作图 98 3 作FQ FN图 很容易作出剪力图和轴力图如下图示 99 例3 3 7作图示三铰刚架内力图 100 解 1 支座反力 考虑整体平衡 由BEC部分平衡 101 2 作M图 斜杆DC中点弯矩为 102 3 作FQ图 斜杆用力矩方程求剪力 竖杆 水平杆用投影方程求剪力 对于DC杆 103 对于EC杆 竖杆AD BE的剪力用投影方程很容易求得 FQ图 kN 104 4 作FN图 竖杆 水平杆及斜杆均用投影方程求轴力 结点D 105 结点E 106 右图中 将结点C处的水平力和竖向力在杆DC的轴向投影得 轴力图见下页图 107 FN图 kN 108 例3 3 8求图示支座不等高三铰刚架的支座反力 109 1 整体平衡 2 取AC为隔离体 将FSA分解为及 解 将支座A的反力分解为竖向反力及沿AB连线方向的反力 分解的目的 计算简单 110 3 整体平衡求FxB及FyB 注意 该题求支座反力的特点 当然可以用另外的方法求解 111 下面讨论对称结构的求解问题 1 对称结构对于求静定结构的内力来说 只要结构几何形状和支座对称就可以看作对称结构 若要计算结构的位移 则还要求杆件的材料性能对称 杆件刚度对称 2 对称结构的受力特性对称结构在对称荷载作用下 其受力对称 对称结构在反对称荷载作用下 其受力反对称 112 3 非对称荷载的处理若对称结构的荷载不对称 则可以将荷载拆分为对称荷载及反对称荷载两种情况分别求解 如图示对称结构在对称荷载作用下 铰C左 右截面剪力关于竖轴反对称 故该剪力为0 于是很容易求得结构各部分的作用力 113 114 增例 作图式结构的弯矩图 115 3 4静定平面桁架受力分析 桁架是工业与民用建筑中常用的一种结构形式 它常用于屋盖系统中 作承重结构 此外还用于桥梁等结构中 是大跨度结构中常用的且较易制作的结构 一般来说 桁架都是空间桁架 但是当取作平面单元进行分析能代表整个结构的分析时 通常可 116 取为平面桁架看待 按平面桁架进行计算要比按空间桁架计算简单的多 且结果满足工程的需要 需指出的是 有些实际桁架无法简化成平面桁架 需按实际空间桁架计算 请参考教材中有关的章节 梁和刚架承受荷载后 主要产生弯曲内力 截面上的应力分布是不均匀的 因而材料不能充分利用 与其他结构相比 桁架具有以下特点 117 1 桁架是由杆件 通常是直杆 有时也有曲杆的情况 组成的格构体系 2 当荷载只作用在结点上时 各杆只有轴力 3 截面上的应力分布均匀 可以充分发挥材料的作用 一 概述1 桁架的组成 118 2 桁架的分类 按几何组成分为 1 简单桁架 从基础或者从一个基本的铰接三角形开始 依次用两根不在同一直线上的链杆固定一个结点的方法组成的桁架称为简单桁架 119 2 联合桁架 两个简单桁架用一个铰及与之不共线的一根链杆连结 或者用三根不全平行也不全交于一点之链杆连结而成的桁架称为联合桁架 联合桁架 120 3 复杂桁架 既非简单桁架又非联合桁架则统称为复杂桁架 复杂桁架 121 3 基本假定 计算时采用的假定 1 各杆均为直杆 且位于同一平面内 杆轴线通过铰结点中心 2 荷载及支座反力作用在结点上 且位于桁架平面内 3 铰结点为理想铰 即铰绝对光滑 无摩擦 所以 桁架杆件只产生轴力 均为二力杆 4 主内力与次内力主内力 在上述假定条件下计算的杆件内力 122 次内力 假定与实际差别而产生的附加内力 在此主要研究主内力的计算 5 轴力正负号轴力以拉力为正 压力为负 在结点和截面隔离体中 已知的荷载及轴力按实际方向表示 数值为正 未知轴力一律设为拉力 123 二 结点法结点法可以求出简单桁架全部杆件的轴力 为求各杆轴力 需作结点隔离体 若隔离体只包含一个结点 则称为结点法 作用在结点上的力系为平面汇交力系 有两个平衡方程 可以求出两个未知力 当结点上的未知力有三个或三个以上时结点法失效 但有时能求得其中的一个未知力 124 由于平面汇交力系向平面上任意一点的力矩代数和等于零 故除了投影方程外 亦可以用力矩方程求解 不要用联立方程求桁架各杆的轴力 一个方程求出一个未知轴力 对于简单桁架 截取结点隔离体的顺序与桁架几何组成顺序相反 平衡方程为 或 125 几何组成顺序 A B C D E取结点隔离体顺序 E D C B A 建立平衡方程时 通常将杆件 斜杆 的轴力FN分解为水平分力Fx和竖向分力Fy 可利用下述的比拟关系 又称 比例投影关系 求解 利用比拟关系 比例投影关系 可以避免解三角函数和联立方程组 126 应熟练运用如下比拟关系 比例投影关系 三个力 知其一可以求其二 127 特殊杆内力的研究 取结点时注意杆件内力的表示方法 指向结点为负 离开结点为正 1 无 有 荷载作用的两杆结点 2 无 有 荷载作用的三杆结点 3 四杆结点 结论 128 例3 4 1用结点法求各杆轴力 解 1 支座反力 2 判断零杆 FyA FyB 30kN FxA 0 见图中标注 3 求各杆轴力 取结点隔离体顺序为 A E D C 结构对称 荷载对称 只需计算半边结构 129 结点A 压 结点E 130 结点D 将FNDF延伸到F结点分解为FxDF及FyDF 杆件内力可在轴线的延长线上任意一点进行分解 131 结点C 132 例3 4 2用结点法求AC AB杆轴力 133 解 结点A FNAC在C点分解 FNAB在B点分解 134 135 小结 2 判断零杆及特殊受力杆 3 结点隔离体中 未知轴力一律设为拉力 已知力按实际方向标注 1 支座反力要校核 4 运用比拟关系 136 三 结点受力的特殊情况 1 无荷载两杆结点 结点上无荷载 则FN1 FN2 0 由 FS 0 可得FN2 0 故FN1 0 2 无荷载三杆结点 结论 结论 137 3 无荷载四杆结点 4 有荷载三杆结点 结论 结论 138 对称结构 对称荷载的情况 结点A在对称轴上 由 Fy 0FN1 FN2 0 Fx 0FN3 FN4 5 对称 结点在对称轴上 139 对称结构 对称荷载的情况 但结点A不在对称轴上 由 Fy 0FN1 FN2 6 对称 结点不在对称轴上 140 四 截面法 对于联合桁架或复杂桁架 单纯应用结点法不能求出全部杆件的轴力 因为总会遇到有三个未知轴力的结点而无法求解 此时要用截面法求解 即使在简单桁架中 求指定杆的轴力用截面法也比较方便 截面法选取的隔离体包含两个或两个以上的结点 隔离体上的力系是平面不汇交力系 可以建立三个平衡方程 Fx 0 Fy 0 M 0 所以作一个截面隔离体最多可以求出三个未知轴力 141 对于联合桁架 应首先切断联系杆 现在介绍截面单杆的概念 如果在某个截面所截的轴力均为未知的各杆中 除某一杆外其余各杆都交于一点 或彼此平行 交点在无穷远处 则该杆称为该截面的单杆 关于截面单杆有下列两种情况 1 截面只截断彼此不交于同一点 或不彼此平行 的三根杆件 则其中每一根杆件均为单杆 142 2 截面所截杆数大于3 但除某一杆外 其余各杆都交于同一点 或都彼此平行 则此杆也是单杆 上列各图中 杆1 2 3均为截面单杆 143 截面单杆的性质 截面单杆的轴力可根据截面隔离体的平衡条件直接求出 上列各图中 杆1 2 3均为截面单杆 144 例3 4 3用截面法求轴力FN1 FN2 FN3 FN4 解 1 对称结构对称荷载 支座反力如图示 2 零杆如图示 145 3 求轴力FN1 FN2 FN3 FN4 结点C 146 取截面I I以左为隔离体 147 148 取截面I I以左为隔离体 149 例3 4 4求FN1 FN2 解 1 求支座反力 150 2 求FN1 FN2 取结点B为隔离体 151 取截面I I以左为隔离体 152 取截面II II以右为隔离体 153 例3 4 5求FN1 FN2 解 复杂桁架 结构对称 将荷载分为对称和反对称两种情况求解 154 1 对称结构对称荷载 结点C位于对称轴上 所以两斜杆轴力等于零 见右图 155 取截面I I以左为隔离体 结点D 156 2 对称结构反对称荷载 整体平衡 157 结点F 取截面II II以左为隔离体 反对称荷载下 在对称轴上的结点F的对称杆内力为零 158 叠加两种情况的结果得 注意该题的特点 1 利用结构的对称性 将荷载分解 2 灵活选取截面 利用对称性和特殊杆内力确定所截断杆的内力 159 五 零载法 零载法是针对W 0的体系 用静力法来研究几何问题 用平衡方程解答的唯一性来检验体系几何不变性的方法 对于W 0的体系 其静力特征为 如体系几何不变 静定结构 则满足平衡方程的解答是唯一正确的解答 若荷载为零 则内力全为零 160 如体系几何可变或瞬变 则只有在特殊荷载作用下平衡方程才有解 而且其解答必定不是唯一解 若荷载为零 其某些内力可能不为零 荷载为零而内力不全为零的内力状态称为自内力 若某体系存在自内力 则该体系为几何可变体系 零载法把几何构造问题转化为静力平衡问题 161 零载法利用结构静力解答的唯一性判定结构的几何构造特性 即 零载法要点 当W 0时 如果体系几何不变 则是静定结构 静定结构的解答是唯一的 当采用零载法时 它的全部内力都为零 反之 若几何可变 必存有多余约束 在零载下 它的某些内力可不为零 162 下面看两个简例 1 图示两个体系 计算自由度W都为零 荷载也都为零 其中图a的体系是几何不变的 与此相应 它的全部支座反力都为零 图b的体系是几何可变的 与此相应 它的水平支座反力X可以不为零 163 2 图示两种体系 计算自由度W 0 零载下 a 图的支反力全部为零 内力为零 体系几何不变 b 图的支反力 支反力矩 皆可不为零 内力不为零 体系几何可变 164 例3 4 6用零载法检验下图示桁架是否几何不变 还有另外的环路 165 解 荷载为零 所以支座反力为零 且可判断4根零杆如图a 示 余下部分见图b 在图b 中 令AB杆轴力为x 按照B C D E F的顺序用结点法求得杆件的轴力见图b FS 0 x x 2 0 x 0 于是可得全部杆件的轴力均为零 因此为几何不变体系 上面采用的方法称为初参数法或通路法 通路法是解复杂桁架的一种有效方法 取结点A的隔离体如图c 所示 166 例3 4 7用零载法检验下图示桁架是否几何不变 W 0 167 解 因为计算自由度W 0 可以利用零载法来检验体系的几何可变性 在零载下 支座反力全为零 可判定杆件AC AJ CD CI BH BG GI GF EI的轴力全部为零 剩余部分为图 b 所示 设FNDH X 由结点的平衡条件可求出各杆的轴力如图所示 当X为任一值时 各结点均能保持平衡 即是说这个桁架处于自内力状态 因此 是几何可变体系 168 3 5组合结构受力分析 下面讨论组合结构的内力计算 所谓组合结构是指结构中既有梁式杆 又有只受轴力作用的二力杆 梁式杆的任一截面有弯矩 剪力和轴力作用 即 由梁式杆和桁架杆 链式杆 组成的结构 169 实例与计算简图 1 下撑式五角形屋架 实例 计算简图 170 上图a为拱桥的计算简图 其中由多根链杆组成链杆拱 再与加劲梁用链杆连接 组成整个结构 当跨度较大时 加劲梁可换成加劲桁架 如上图b所示 2 拱桥的计算简图 171 3 计算原则1 在用截面法取隔离体时 不能随意切断梁式杆 可以切断二力杆 也可以拆开铰结点 2 先计算链杆的内力 然后依据荷载和所求得的链杆轴力求梁式杆的内力M FQ FN 172 例3 5 1作图示组合结构内力图 解 结构对称荷载对称 1 求支座反力如图示 2 求FNDE 取截面I I以左为隔离体 173 结点D 174 3 求梁式杆的内力M FQ FN 取FC段作隔离体 求 MF 175 求FC杆的剪力和轴力 176 取AF段作隔离体 177 178 4 结构内力如下图示 考虑 剪力图和轴力图在F点的变化 179 可见高跨比越小 轴力FNDE越大 屋架的轴力也越大 5 讨论 看书 影响下撑式五角星形组合屋架的主要因素有两个 1 高跨比f l 轴力FNDE可用三铰拱的推力公式计算 180 2 f1与f2的关系当f确定后 内力状态随f1与f2的比例关系不同而变 从上图给出的结果可以看出 下弦杆轴力的变化幅度不大 但是上弦杆弯矩的变化幅度很大 当f1减小时 上弦负弯矩增大 当f1 0时 上弦全部为负弯矩 此时成为 下撑式平行弦组合结构 上弦弯矩有如支在A和F两点的伸臂梁 181 当f1加大时 上弦正弯矩增大 当f2 0时 上弦全部为正弯矩 此时成为 带拉杆的三铰拱式屋架 上弦弯矩有如支在A C两点的简支梁 当f1 0 45 0 5f时 上弦结点F处的负弯矩与两个节间的最大正弯矩 在数值上将大致相等 且数值比两种极限情形小得多 所有情况参见上页图 182 例3 5 2作图示结构的内力图 183 解 1 支反力计算 与三铰刚架相同 FyA FyB 7 5kN FxA FxB 2 73kN 2 用截面法先求链杆内力取左半部分考虑 FyDG 7 5kN FxDG 7 5kN FNDG 10 61kNFNEG 7 28kN FNDF 2 51kN 利用以上结果可作出梁式杆FQ图和FN图 184 3 用结点法求其他链杆内力 FxFC FyFC 2 51kN FNFC 3 55kNFNFG 2 51kN FNGC 0 22kN4 利用对称性可作出另一梁杆的内力图 185 例3 5 3作图示结构的内力图 解 1 求支座反力FyA 10kN FxA 8 18kN FxB 8 18kN 186 2 取截面I I 切开C铰和DE杆 截面以右为隔离体 将FNDE在D点分解为FxDE和FyDE 求得 FxDE 12 86kNFyDE 17 14kNFxC FxDE 12 86kNFyC 10 FyDE 7 14kN 187 3 取E结点分析求得 FNEC 3 03kN FNEF 21 21kN即有 FxEC 2 14kN FyEC 2 14kNFxEF FxEC 15kN 4 据此作出内力图 如下页图 n n 也可以取nn截面 求EF EC杆的内力 更简单 188 189 190 3 6三铰拱受力分析 三铰拱式结构广泛应用于实际工程建设中 桥梁 渡槽 屋架等 三铰拱的构造特征为 杆轴通常为曲线 三个刚片 包括基础 用不在同一直线上的三个铰两两相连组成三铰拱结构 191 三铰拱的受力特征为 在竖向荷载作用下 拱脚处产生水平推力 因此 拱轴任一截面轴力FN比较大 弯矩较小 有时用拉杆来承受水平推力 称为拉杆拱 通常认为 具有水平推力的结构为 拱结构 按计算特点拱结构分为 静定拱 和 超静定拱 两种形式 三铰拱 是典型的静定拱 192 主要参数 高跨比f l 与拱的受力状态密切相关 轴线形式 抛物线 圆弧线 悬链线 后面将证明 承受沿水平方向均匀分布的竖向荷载作用的三铰拱的合理轴线是抛物线 拱分为 平拱 和 斜拱 在此 主要研究 平拱 下页图为三铰拱的两种形式 193 通常在1 1 10之间变化 的值对内力有很大影响 194 一 三铰拱内力计算的数解法 下面以图示三铰拱为例加以说明 195 解 拱轴方程为 1 支座反力 整体平衡 196 考虑拱AC部分平衡 下面求支座水平推力 上式中 为代梁C截面弯矩 197 分析FH的表达式可知 1 推力FH与拱轴的曲线形式无关 而与拱高f成反比 即 拱愈低水平推力FH愈大 2 荷载向下时 FH为正值 推力是向内的 3 当f 0时 FH 此时三铰共线 称为几何瞬变体系 198 后面的计算将证明 在竖向荷载作用下 因水平推力的存在 将使得 1 三铰拱的基础比简支梁的基础要坚固 2 三铰拱截面上的弯矩比简支梁的弯矩小 使拱更能充分发挥材料的作用 适用于较大的跨度和较重的荷载 3 拱的截面内轴力较大 且一般为压力 利用受压性能好的材料 199 小结 支座反力FVA FVB FHA FHB与拱轴形状无关 只与三个铰A B C及荷载的相对位置和荷载的大小有关 将本例题数据代入得 200 2 弯矩计算公式 求任意截面D的弯矩 由AD段隔离体可得 201 由上式可见 因为有推力存在 三铰拱任一截面之弯矩小于代梁中相应截面的弯矩 即 202 求MK 求MJ 下面求K J截面的弯矩MK和MJ 203 3 求FQ FN的计算公式 拱轴任意截面D切线与水平线夹角为 相应代梁中 设为正方向 204 下面用上述公式求FQK FNK xK 4m 2 是代梁截面D的剪力 设为正方向 故可能大于零 等于零或小于零 小结 1 左半拱 右半拱 205 206 求FQJ右 FNJ右 xJ 12m 207 二 三较拱的压力线 自学 如果三铰拱某截面D以左 或以右 所有外力的合力FRD已经确定 则该截面的弯矩 剪力 轴力可按下式计算 208 由此看出 确定截面内力的问题归结为确定截面一边所有外力的合力之大小 方向及作用线的问题 截面D形心到FRD作用线之距离 FRD作用线与截面D轴线切线的夹角 209 作压力线的方法和步骤为 1 求三铰拱的支座反力FHA FVA FHB FVB 进而求出反力FRA FRB的大小和方向 2 作封闭的力多边形 以确定拱轴各截面一边外力合力的大小及方向 作力多边形时应按力的大小按比例绘制 定义 三铰拱每个截面一边所有外力的合力作用点的连线 就称为三铰拱的压力线 210 在上图所示力多边形中 射线1 2代表FRA与FP1合力的