经济数学微积分曲面及其方程.ppt

一 柱面与旋转曲面 二 二次曲面 三 小结思考题 第五节曲面及其方程 本节只对一些常见的曲面 围绕下面两个基本问题进行讨论 已知坐标间的关系式 研究曲面形状 讨论柱面 cylinder 旋转曲面 rotatingsurface 讨论二次曲面 twicesurface 已知曲面作为点的轨迹时 求曲面方程 一 柱面与旋转曲面 播放 定义 1 柱面 cylinder 观察柱面的形成过程 平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面 这条定曲线C叫柱面的准线 directrix 动直线L叫柱面的母线 generatrix 柱面举例 抛物柱面 平面 Cylinderofthesecondorderparabolic 从柱面方程看柱面的特征 其他类推 实例 椭圆柱面母线 轴 双曲柱面母线 轴 抛物柱面母线 轴 2 旋转曲面 surfacesofrevolution 定义 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面 这条定直线叫旋转曲面的轴 axis 播放 旋转过程中的特征 如图 将代入 将代入 得方程 解 圆锥面方程 例2将下列各曲线绕对应的轴旋转一周 求生成的旋转曲面的方程 旋转双曲面 hyperboloid 旋转椭球面 旋转抛物面 Ellipsoid Paraboloid 二次曲面 三元二次方程所表示的曲面 讨论二次曲面性状的方法 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截 考察其交线 即截痕 的形状 然后加以综合 从而了解曲面的全貌 截痕法 methodofsections 二 二次曲面 1 椭球面 Ellipsoid 椭球面与三个坐标面的交线 椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化 椭球面与平面的交线为椭圆 同理与平面和的交线也是椭圆 椭球面的几种特殊情况 旋转椭球面 由椭圆绕轴旋转而成 旋转椭球面与椭球面的区别 方程可写为 与平面的交线为圆 球面 截面上圆的方程 方程可写为 2 抛物面 与同号 椭圆抛物面 用截痕法讨论 1 用坐标面与曲面相截 截得一点 即坐标原点 设 原点也叫椭圆抛物面的顶点 Paraboloid 与平面的交线为椭圆 当变动时 这种椭圆的中心都在轴上 与平面不相交 2 用坐标面与曲面相截 截得抛物线 与平面的交线为抛物线 它的轴平行于轴 顶点 3 用坐标面 与曲面相截 均可得抛物线 同理当时可类似讨论 椭圆抛物面的图形如下 特殊地 当时 方程变为 旋转抛物面 与平面的交线为圆 当变动时 这种圆的中心都在轴上 由面上的抛物线绕它的轴旋转而成的 与同号 双曲抛物面 马鞍面 用截痕法讨论 设 图形如右示 hyperbolicparaboloid 3 双曲面 单叶双曲面 1 用坐标面与曲面相截 截得中心在原点的椭圆 Hyperboloidofonesheet 与平面的交线为椭圆 当变动时 这种椭圆的中心都在轴上 2 用坐标面与曲面相截 截得中心在原点的双曲线 实轴与轴相合 虚轴与轴相合 双曲线的中心都在轴上 与平面的交线为双曲线 实轴与轴平行 虚轴与轴平行 实轴与轴平行 虚轴与轴平行 截痕为一对相交于点的直线 截痕为一对相交于点的直线 3 用坐标面 与曲面相截 均可得双曲线 单叶双曲面图形 平面的截痕是两对相交直线 双叶双曲面 Hyperboloidoftwosheets 曲面方程的概念 旋转曲面的概念及求法 柱面的概念 母线 准线 三 小结 椭球面 抛物面 双曲面 截痕法 熟知常见曲面的特性 思考题 1 指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形 思考题1解答 平面解析几何中 空间解析几何中 斜率为1的直线 方程 2 方程 表示怎样的曲线 思考题 思考题2解答 表示双曲线 练习题 练习题答案 二 三 旋转曲面 定义 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面 这条定直线叫旋转曲面的轴 旋转曲面 定义 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面 这条定直线叫旋转曲面的轴 旋转曲面 定义 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面 这条定直线叫旋转曲面的轴 旋转曲面 定义 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面 这条定直线叫旋转曲面的轴 旋转曲面 定义 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面 这条定直线叫旋转曲面的轴 旋转曲面 定义 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面 这条定直线叫旋转曲面的轴 旋转曲面 定义 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面 这条定直线叫旋转曲面的轴 旋转曲面 定义 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面 这条定直线叫旋转曲面的轴 旋转曲面 定义 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面 这条定直线叫旋转曲面的轴 旋转曲面 定义 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面 这条定直线叫旋转曲面的轴 旋转曲面 定义 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面 这条定直线叫旋转曲面的轴 旋转曲面 定义 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面 这条定直线叫旋转曲面的轴 观察柱面的形成过程 这条定曲线C叫柱面的准线 directrix 动直线L叫柱面的母线 generatrix 1 柱面 定义 平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面 1 柱面 定义 平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面 观察柱面的形成过程 这条定曲线C叫柱面的准线 directrix 动直线L叫柱面的母线 generatrix 定义 平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面 观察柱面的形成过程 这条定曲线C叫柱面的准线 directrix 动直线L叫柱面的母线 generatrix 1 柱面 1 柱面 定义 平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面 观察柱面的形成过程 这条定曲线C叫柱面的准线 directrix 动直线L叫柱面的母线 generatrix 定义 平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面 观察柱面的形成过程 这条定曲线C叫柱面的准线 directrix 动直线L叫柱面的母线 generatrix 1 柱面 定义 平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面 观察柱面的形成过程 这条定曲线C叫柱面的准线 directrix 动直线L叫柱面的母线 generatrix 1 柱面 定义 平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面 观察柱面的形成过程 这条定曲线C叫柱面的准线 directrix 动直线L叫柱面的母线 generatrix 1 柱面 定义 平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面 观察柱面的形成过程 这条定曲线C叫柱面的准线 directrix 动直线L叫柱面的母线 generatrix 1 柱面 定义 平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面 观察柱面的形成过程 这条定曲线C叫柱面的准线 directrix 动直线L叫柱面的母线 generatrix 1 柱面 定义 平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面 观察柱面的形成过程 这条定曲线C叫柱面的准线 directrix 动直线L叫柱面的母线 generatrix 1 柱面 定义 平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面 观察柱面的形成过程 这条定曲线C叫柱面的准线 directrix 动直线L叫柱面的母线 generatrix 1 柱面 定义 平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面 观察柱面的形成过程 这条定曲线C叫柱面的准线 directrix 动直线L叫柱面的母线 generatrix 1 柱面 去掉交叉项后的辅助回归结果 1 36 0 64 064 2 76 2 90 R2 0 4374 X2项与X2的平方项的参数的t检验是显著的 且nR2 31 0 4374 13 56 5 下 临界值 20 05 4 9 49 拒绝同方差的原假设 原模型的加权最小二乘回归 对原模型进行OLS估计 得到随机误差项的近似估计量 i 以此构成权矩阵 2W的估计量 再以1 i 为权重进行WLS估计 得 各项统计检验指标全面改善 一 序列相关性概念二 实际经济问题中的序列相关性三 序列相关性的后果四 序列相关性的检验五 案例 4 2序列相关性 一 序列相关性概念 如果对于不同的样本点 随机误差项之间不再是不相关的 而是存在某种相关性 则认为出现了序列相关性 SerialCorrelation 对于模型Yi 0 1X1i 2X2i kXki ii 1 2 n 随机项互不相关的基本假设表现为Cov i j 0i j i j 1 2 n 或 称为一阶列相关 或自相关 autocorrelation 其中 被称为自协方差系数 coefficientofautocovariance 或一阶自相关系数 first ordercoefficientofautocorrelation 如果仅存在E i i 1 0i 1 2 n 自相关往往可写成如下形式 i i 1 i 1 1 由于序列相关性经常出现在以时间序列为样本的模型中 因此 本节将用下标t代表i i是满足以下标准OLS假定的随机干扰项 二 实际经济问题中的序列相关性 大多数经济时间数据都有一个明显的特点 惯性 表现在时间序列不同时间的前后关联上 由于消费习惯的影响被包含在随机误差项中 则可能出现序列相关性 往往是正相关 例如 绝对收入假设下居民总消费函数模型 Ct 0 1Yt tt 1 2 n 1 经济变量固有的惯性 2 模型设定的偏误 所谓模型设定偏误 Specificationerror 是指所设定的模型 不正确 主要表现在模型中丢掉了重要的解释变量或模型函数形式有偏误 例如 本来应该估计的模型为Yt 0 1X1t 2X2t 3X3t t 但在模型设定中做了下述回归 Yt 0 1X1t 1X2t vt 因此 vt 3X3t t 如果X3确实影响Y 则出现序列相关 又如 如果真实的边际成本回归模型应为 Yt 0 1Xt 2Xt2 t其中 Y 边际成本 X 产出 但建模时设立了如下模型 Yt 0 1Xt vt因此 由于vt 2Xt2 t 包含了产出的平方对随机项的系统性影响 随机项也呈现序列相关性 3 数据的 编造 例如 季度数据来自月度数据的简单平均 这种平均的计算减弱了每月数据的波动性 从而使随机干扰项出现序列相关 在实际经济问题中 有些数据是通过已知数据生成的 因此 新生成的数据与原数据间就有了内在的联系 表现出序列相关性 还有就是两个时间点之间的 内插 技术往往导致随机项的序列相关性 计量经济学模型一旦出现序列相关性 如果仍采用OLS法估计模型参数 会产生下列不良后果 二 序列相关性的后果 1 参数估计量非有效 因为 在有效性证明中利用了E NN 2I即同方差性和互相独立性条件 而且 在大样本情况下 参数估计量虽然具有一致性 但仍然不具有渐近有效性 2 变量的显著性检验失去意义 在变量的显著性检验中 统计量是建立在参数方差正确估计基础之上的 这只有当随机误差项具有同方差性和互相独立性时才能成立 其他检验也是如此 3 模型的预测失效 区间预测与参数估计量的方差有关 在方差有偏误的情况下 使得预测估计不准确 预测精度降低 所以 当模型出现序列相关性时 它的预测功能失效 然后 通过分析这些 近似估计量 之间的相关性 以判断随机误差项是否具有序列相关性 序列相关性检验方法有多种 但基本思路相同 基本思路 三 序列相关性的检验 1 图示法 恰好识别 JustIdentification 与过度识别 Overidentification 如果某一个随机方程具有一组参数估计量 称其为恰好识别 如果某一个随机方程具有多组参数估计量 称其为过度识别 恒等方程由于不存在参数估计问题 所以也不存在识别问题 但是 在判断随机方程的识别性问题时 应该将恒等方程考虑在内 二 从定义出发识别模型 例题1 第2与第3个方程的线性组合得到的新方程具有与消费方程相同的统计形式 所以消费方程也是不可识别的 第1与第3个方程的线性组合得到的新方程具有与投资方程相同的统计形式 所以投资方程也是不可识别的 于是 该模型系统不可识别 参数关系体系由3个方程组成 剔除一个矛盾方程 2个方程不能求得4个结构参数的确定值 也证明消费方程与投资方程都是不可识别的 例题2 消费方程是可以识别的 因为任何方程的线性组合都不能构成与它相同的统计形式 投资方程仍然是不可识别的 因为第1 第2与第3个方程的线性组合 消去C 构成与它相同的统计形式 于是 该模型系统仍然不可识别 参数关系体系由6个方程组成 剔除2个矛盾方程 由4个方程是不能求得所有5个结构参数的确定估计值 可以得到消费方程参数的确定值 证明消费方程可以识别 因为只能得到它的一组确定值 所以消费方程是恰好识别的方程 投资方程都是不可识别的 注意 与例题1相比 在投资方程中增加了1个变量 消费方程变成可以识别 例题3 消费方程仍然是可以识别的 因为任何方程的线性组合都不能构成与它相同的统计形式 投资方程也是可以识别的 因为任何方程的线性组合都不能构成与它相同的统计形式 于是 该模型系统是可以识别的 参数关系体系由9个方程组成 剔除3个矛盾方程 在已知简化式参数估计值时 由6个方程能够求得所有6个结构参数的确定估计值 所以也证明消费方程和投资方程都是可以识别的 而且 只能得到所有6个结构参数的一组确定值 所以消费方程和投资方程都是恰好识别的方程 注意 与例题2相比 在消费方程中增加了1个变量 投资方程变成可以识别 例题4 消费方程和投资方程仍然是可以识别的 因为任何方程的线性组合都不能构成与它们相同的统计形式 于是 该模型系统是可以识别的 参数关系体系由12个方程组成 剔除4个矛盾方程 在已知简化式参数估计值时 由8个方程能够求得所有7个结构参数的确定估计值 所以也证明消费方程和投资方程都是可以识别的 但是 求解结果表明 对于消费方程的参数 只能得到一组确定值 所以消费方程是恰好识别的方程 而对于投资方程的参数 能够得到多组确定值 所以投资方程是过度识别的方程 注意 在求解线性代数方程组时 如果方程数目大于未知数数目 被认为无解 如果方程数目小于未知数数目 被认为有无穷多解 但是在这里 无穷多解意味着没有确定值 所以 如果参数关系体系中有效方程数目小于未知结构参数估计量数目 被认为不可识别 如果参数关系体系中有效方程数目大于未知结构参数估计量数目 那么每次从中选择与未知结构参数估计量数目相等的方程数 可以解得一组结构参数估计值 换一组方程 又可以解得一组结构参数估计值 这样就可以得到多组结构参数估计值 被认为可以识别 但不是恰好识别 而是过度识别 如何修改模型使不可识别的方程变成可以识别 或者在其它方程中增加变量 或者在该不可识别方程中减少变量 必须保持经济意义的合理性 三 结构式识别条件 结构式识别条件 直接从结构模型出发一种规范的判断方法每次用于1个随机方程具体描述为 一般将该条件的前一部分称为秩条件 RankCondition 用以判断结构方程是否识别 将后一部分称为阶条件 OrderConditon 用以判断结构方程恰好识别或者过度识别 例题 判断第1个结构方程的识别状态 所以 该方程可以识别 因为 所以 第1个结构方程为恰好识别的结构方程 判断第2个结构方程的识别状态 所以 该方程可以识别 因为 所以 第2个结构方程为过度识别的结构方程 第3个方程是平衡方程 不存在识别问题 综合以上结果 该联立方程模型是可以识别的 与从定义出发识别的结论一致 四 简化式识别条件 简化式识别条件 如果已经知道联立方程模型的简化式模型参数 那么可以通过对简化式模型的研究达到判断结构式模型是否识别的目的 由于需要首先估计简化式模型参数 所以很少实际应用 例题 需要识别的结构式模型 已知其简化式模型参数矩阵为 判断第1个结构方程的识别状态 所以该方程是可以识别的 又因为 所以该方程是恰好识别的 判断第2个结构方程的识别状态 所以该方程是可以识别的 又因为 所以该方程是过度识别的 判断第3个结构方程的识别状态 所以该方程是不可识别的 所以该模型是不可识别的 可以从数学上严格证明 简化式识别条件和结构式识别条件是等价的 计量经济学 方法与应用 李子奈编著 清华大学出版社 1992年3月 第104 107页 讨论 阶条件是确定过度识别的充分必要条件吗 李子奈 数量经济技术经济研究 1988年第10期 五 实际应用中的经验方法 当一个联立方程计量经济学模型系统中的方程数目比较多时 无论是从识别的概念出发 还是利用规范的结构式或简化式识别条件 对模型进行识别 困难都是很大的 或者说是不可能的 理论上很严格的方法在实际中往往是无法应用的 在实际中应用的往往是一些经验方法 关于联立方程计量经济学模型的识别问题 实际上不是等到理论模型已经建立了之后再进行识别 而是在建立模型的过程中设法保证模型的可识别性 在建立某个结构方程时 要使该方程包含前面每一个方程中都不包含的至少1个变量 内生或先决变量 同时使前面每一个方程中都包含至少1个该方程所未包含的变量 并且互不相同 该原则的前一句话是保证该