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题组层级快练(十九)1.函数f(x)的图像如图所示,下列数值排序正确的是()A0f(2)f(3)f(3)f(2)B0f(3)f(3)f(2)f(2)C0f(3)f(2)f(3)f(2)D0f(3)f(2)f(2)f(3)答案B解析f(2),f(3)是x分别为2,3时对应图像上点的切线斜率,f(3)f(2),f(3)f(2)是图像上x为2和3对应两点连线的斜率,故选B.2(2015赣州模拟)函数yx2ex的图像大致为()答案A解析因为y2xexx2exx(x2)ex,所以当x0时,y0,函数yx2ex为增函数;当2x0时,y0,所以排除D,故选A.3设底面为等边三角形的直三棱柱的体积为V,那么其表面积最小时,底面边长为()A.B.C. D2答案C4.如图,某农场要修建3个养鱼塘,每个面积为10 000米2,鱼塘前面要留4米的运料通道,其余各边为2米宽的堤埂,则占地面积最少时,每个鱼塘的长、宽分别为()A长102米,宽 米 B长150米,宽66米C长、宽均为100米 D长150米,宽 米答案D解析设鱼塘长、宽分别为y米,x米,依题意xy10 000.设占地面积为S,则S(3x8)(y6)18x30 048,令S180,得x,此时y150.5(2015南昌一模)已知函数yf(x)对任意的x(,)满足f(x)cosxf(x)sinx0(其中f(x)是函数f(x)的导函数),则下列不等式成立的是()A.f()f() B.f()2f() Df(0)f()答案A解析由f(x)cosxf(x)sinx0知()0,所以g(x)在(,)上是增函数,所以g()g(),即,即f()g(),即,得f()f(),所以B不正确;由g()g(0),即,得f(0)g(0),即,得f(0)f(),所以D不正确故选A.6(2015绵阳市高三诊断性考试)已知f(x)(xR),若关于x的方程f2(x)mf(x)m10恰好有4个不相等的实数根,则实数m的取值范围为()A(,2)(2,e) B(,1)C(1,1) D(,e)答案C解析依题意,由f2(x)mf(x)m10,得f(x)1或f(x)m1.当x0时,f(x)xex,f(x)(x1)ex0时,f(x)xex,f(x)(x1)ex,若0x0,f(x)是增函数;若x1,则f(x)0,f(x)是减函数因此,要使关于x的方程f2(x)mf(x)m10恰好有4个不相等的实数根,只要求直线y1,直线ym1与函数yf(x)的图像共有四个不同的交点注意到直线y1与函数yf(x)的图像有唯一公共点,因此要求直线ym1与函数yf(x)的图像共有三个不同的交点,结合图像可知,0m1,即1m0,则当2a4时,有()Af(2a)f(2)f(log2a) Bf(2)f(2a)f(log2a)Cf(log2a)f(2a)f(2) Df(2)f(log2a)0,当x2时,f(x)0,f(x)是增函数;当x2时,f(x)0,f(x)是减函数又2a4,1log2a2.42a16;由f(2x)f(2x),得f(x)f(4x)f(log2a)f(4log2a)由1log2a2,得2log2a1.24log2a3.24log2a2a.f(2)f(4log2a)f(2a),即f(2)f(log2a)f(2a),故选D.8已知函数f(x)若关于x的方程f(x)k有两个不同的实根,则实数k的取值范围是_答案(0,1)解析当x0,说明函数在(,2上单调递增,函数的值域是(,1),函数在2,)上单调递减,函数的值域是(0,1因此要使方程f(x)k有两个不同的实根,则0k0.(1)求f(x)的单调区间;(2)求所有的实数a,使e1f(x)e2对x1,e恒成立(其中,e为自然对数的底数)答案(1)单调递增区间为(0,a),单调递减区间为(a,)(2)ae解析(1)因为f(x)a2lnxx2ax,其中x0,所以f(x)2xa.由于a0,所以f(x)的单调递增区间为(0,a),单调递减区间为(a,)(2)由题意得,f(1)a1e1,即ae.由(1)知f(x)在1,e上单调递增,要使e1f(x)e2对x1,e恒成立只要由得ae;由得ae.因此ae.故当e1f(x)e2对x1,e恒成立时,实数a的值为e.10(2013北京理)设l为曲线C:y在点(1,0)处的切线(1)求l的方程;(2)证明:除切点(1,0)之外,曲线C在直线l的下方答案(1)yx1(2)略解析(1)设f(x),则f(x).所以f(1)1.所以l的方程为yx1.(2)令g(x)x1f(x),则除切点之外,曲线C在直线l的下方等价于g(x)0(x0,x1)g(x)满足g(1)0,且g(x)1f(x).当0x1时,x210,lnx0,所以g(x)1时,x210,lnx0,所以g(x)0,故g(x)单调递增所以g(x)g(1)0(x0,x1)所以除切点之外,曲线C在直线l的下方11已知函数f(x)xln(xa)在x1处取得极值(1)求实数a的值;(2)若关于x的方程f(x)2xx2b在,2上恰有两个不相等的实数根,求实数b的取值范围答案(1)0(2)ln2b0),则g(x)2x3.令g(x)0,得x1,x21.当x变化时,g(x),g(x)的变化情况如下表:x(0,)(,1)1(1,2)2g(x)00g(x)极大值极小值b2ln2当x1时,g(x)的极小值为g(1)b2.又g()bln2,g(2)b2ln2,方程f(x)2xx2b在,2上恰有两个不相等的实数根,即解得ln2b0),若f(x)在1,1上的最小值记为g(a)(1)求g(a);(2)证明:当x1,1时,恒有f(x)g(a)4.答案(1)g(a)(2)略解析(1)因为a0,1x1,所以当0a1时,若x1,a,则f(x)x33x3a,f(x)3x230,故f(x)在(a,1)上是增函数所以g(a)f(a)a3.当a1时,有xa,则f(x)x33x3a,f(x)3x230,故f(x)在(1,1)上是减函数,所以g(a)f(1)23a.综上,g(a)(2)证明:令h(x)f(x)g(a)当0a1时,g(a)a3.若xa,1,则h(x)x33x3aa3,h(x)3x23,所以h(x)在(a,1)上是增函数,所以h(x)在a,1上的最大值是h(1)43aa3,且0a0,知t(a)在(0,1)上是增函数所以t(a)t(1)4,即h(1)4.故f(x)g(a)4.当a1时,g(a)23a,故h(x)x33x2,h(x)3x23.此时h(x)在(1,1)上是减函数,因此h(x)在1,1上的最大值是h(1)4.故f(x)g(a)4.综上,当x1,1时,恒有f(x)g(a)4.13(2014北京理)已知函数f(x)xcosxsinx,x.(1)求证:f(x)0;(2)若ab对x恒成立,求a的最大值与b的最小值答案(1)略(2)a的最大值为,b的最小值为1解析(1)证明:由f(x)xcosxsinx,得f(x)cosxxsinxcosxxsinx.因为在区间上f(x)xsinx0时,“a”等价于“sinxax0”;“b”等价于“sinxbx0对任意x恒
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