高中数学 112《四种命题及其相互关系》同步课件 新人教A版选修11.pptVIP

1 知识与技能了解四种命题的概念 并会判断命题的真假 2 过程与方法了解命题的逆命题 否命题 逆否命题 能写出原命题的其它三种命题 能利用四种命题间的相互关系判断命题的真假 本节重点 了解命题的逆命题 否命题 逆否命题 本节难点 分析四种命题的相互关系以及四种命题的真假之间的关系 1 要通过实例去发现四种命题间的关系 并能用命题间的关系去验证写出的命题是否正确 2 要注意否命题与命题的否定是不同的 例如 原命题 若 a b 则a b 的否命题是 若 a b 则a b 而原命题的否定是 若 a b 则a b 通过实例真正弄清一个命题的否命题与它的否定的本质区别 否命题是既否定条件又否定结论 命题的否定是只否定结论 1 四种命题的概念关于原命题的逆命题 否命题和逆否命题的写法 首先 把原命题整理成 如果p 则q 其次 1 换位 得到 如果q 则p 即为逆命题 2 换质 分别否定 得到 如果非p 则非q 即为否命题 3 既 换位 又 换质 得到 如果非q 则非p 即为逆否命题 注意 命题的否定 只否定结论 而否命题要对条件和结论分别进行否定 只有 如果p 则q 形式的命题才有否命题 形式为 如果綈p 则綈q 在写一个命题的否定或否命题时要注意一些关键词的否定 2 命题的四种形式间的关系 1 命题的四种形式中 哪个是原命题是相对的 不是绝对的 2 四种命题间有两对互逆关系 两对互否关系 两对互为逆否的关系 对互为逆否的两命题同真同假 在判断和证明中要注意它们之间的相互转化 3 间接证明有关问题由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性 所以在直接证明一个命题有困难时 可以通过证明它的逆否命题为真来间接证明原命题为真 即正难则反的思想 注意 间接法常用于证明否定性 存在性 惟一性 至多至少等 结论的反面是比原结论更具体 更易于研究和掌握的问题 1 一般地 对于两个命题 如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件 那么我们把这样的两个命题叫做 其中一个命题叫做 另一个叫做原命题的 2 一般地 对于两个命题 如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定 我们把这样的两个命题叫做 其中一个命题叫做 另一个叫做原命题的 互逆命题 原命题 逆命题 互否命题 原命题 否命题 3 一般地 对于两个命题 如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定 我们把这样的两个命题叫做 其中一个命题叫做 另一个叫做原命题的 4 原命题为真 它的逆命题 5 原命题为真 它的否命题 6 原命题为真 它的逆否命题 7 互为逆否的命题是等价命题 它们同同 同一个命题的逆命题和否命题是一对互为的命题 它们同同 互为逆否命题 原命题 逆否命题 不一定为真 不一定为真 为真 真 假 逆否 真 假 例1 写出下列命题的逆命题 否命题与逆否命题 1 负数的平方是正数 2 正方形的四条边相等 分析 此题的题设和结论不很明显 因此首先将命题改写成 若p 则q 的形式 然后再写出它的逆命题 否命题与逆否命题 解析 1 改写成 若一个数是负数 则它的平方是正数 逆命题 若一个数的平方是正数 则它是负数 否命题 若一个数不是负数 则它的平方不是正数 逆否命题 若一个数的平方不是正数 则它不是负数 2 原命题可以写成 若一个四边形是正方形 则它的四条边相等 逆命题 若一个四边形的四条边相等 则它是正方形 否命题 若一个四边形不是正方形 则它的四条边不相等 逆否命题 若一个四边形的四条边不相等 则它不是正方形 点评 例1 1 题还有另一种解答 原命题可以写成 若一个数是负数的平方 则这个数是正数 逆命题 若一个数是正数 则它是负数的平方 否命题 若一个数不是负数的平方 则这个数不是正数 逆否命题 若一个数不是正数 则它不是负数的平方 这两种解答都可以 实际上例1中的第 2 小题也有同样的另一种解答 写出下列命题的逆命题 否命题 逆否命题 1 若x2 y2 0 则x y全为0 2 若a b是偶数 则a b都是偶数 解析 1 逆命题 若x y全为0 则x2 y2 0 否命题 若x2 y2 0 则x y不全为0 逆否命题 若x y不全为0 则x2 y2 0 2 逆命题 若a b都是偶数 则a b是偶数 否命题 若a b不是偶数 则a b不都是偶数 逆否命题 若a b不都是偶数 则a b不是偶数 例2 判断下列命题的真假 写出它们的逆命题 否命题 逆否命题 并判断其真假 1 若a b 则ac2 bc2 2 若四边形的对角互补 则该四边形是圆的内接四边形 3 若在二次函数y ax2 bx c中 b2 4ac 0 则该函数图象与x轴有交点 解析 1 该命题为假 如c 0时 ac2 bc2 逆命题 ac2 bc2 则a b为真 否命题 若a b 则ac2 bc2为真 逆否命题 若ac2 bc2 则a b为假 2 该命题为真 逆命题 若四边形是圆的内接四边形 则四边形的对角互补 为真 否命题 若四边形的对角不互补 则该四边形不是圆的内接四边形 为真 逆否命题 若四边形不是圆的内接四边形 则四边形的对角不互补 为真 3 该命题为假 逆命题 若二次函数y ax2 bx c的图象与x轴有公共点 则b2 4ac 0 为假 否命题 若二次函数y ax2 bx c中b2 4ac 0 函数图象与x轴无公共点 为假 逆否命题 若二次函数y ax2 bx c的图象与x轴无公共点 则b2 4ac 0 为假 点评 写出一个命题的逆命题 否命题 逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论 然后按定义来写 在判断原命题及逆命题的真假时 常借助原命题与其逆否命题同真假 逆命题和否命题同真假进行判断 改写成 若p则q 的形式 并写出它的否命题和逆否命题 最后判断所有命题的真假 1 ac bc a b 2 已知x y为正整数 当y x 1时 y 3 x 2 3 当m 时 mx2 x 1 0无实根 4 当abc 0时 a 0或b 0或c 0 5 若x2 2x 3 0 则x 3或x 1 解析 1 原命题 若ac bc 则a b 假 否命题 若ac bc 则a b 假 逆否命题 若a b 则ac bc 假 2 原命题 已知x y为正整数 若y x 1 则y 3且x 2 假 否命题 已知x y为正整数 若y x 1 则y 3或x 2 真 逆否命题 已知x y为正整数 若y 3或x 2 则y x 1 假 4 原命题 若abc 0 则a 0或b 0或c 0 真 否命题 若abc 0 则a 0且b 0且c 0 真 逆否命题 若a 0且b 0且c 0 则abc 0 真 5 原命题 若x2 2x 3 0 则x 3或x 1 真 否命题 若x2 2x 3 0 则x 3且x 1 真 逆否命题 若x 3且x 1 则x2 2x 3 0 真 例3 有下列四个命题 1 若x y 0 则x y互为相反数 的否命题 2 若a b 则a2 b2 的逆否命题 3 若x 3 则x2 x 6 0 的否命题 4 对顶角相等 的逆命题 其中真命题的个数是 a 0b 1c 2d 3 答案 b 解析 1 若x y 0 则x y不是相反数 是真命题 2 若a2 b2 则a b 取a 1 b 0 因为ab2 故是假命题 3 若x 3 则x2 x 6 0 解不等式x2 x 6 0可得 2 x 3 而x 4 3 不是不等式的解 故是假命题 4 相等的角是对顶角 是假命题 故选b 点评 本题的解法中运用了举反例的办法 如 2 3 的解法 举出一个反例说明一个命题不正确是以后经常用到的方法 判断命题 若a 0 则x2 x a 0有实根 的逆否命题的真假 解析 解法一 写出逆否命题 再判断其真假 原命题 若a 0 则x2 x a 0有实根 逆否命题 若x2 x a 0无实根 则a 0 判断如下 因为x2 x a 0无实根 所以 1 4a 0 所以a 0 所以 若x2 x a 0无实根 则a 0 为真命题 解法二 利用原命题与逆否命题同真同假 即等价关系 证明 在为a 0 所以4a 0 所以4a 1 0 所以方程x2 x a 0的判别式 4a 1 0 所以方程x2 x a 0有实根 故原命题 若a 0 则x2 x a 0有实根 为真 又因原命题与逆否命题等价 所以 若a 0 则x2 x a 0有实根 的逆否命题为真 例4 写出下列命题的否命题及命题的否定形式 并判断真假 1 若m 0 则关于x的方程x2 x m 0有实根 2 若x y都是奇数 则x y是奇数 3 若abc 0 则a b c中至少有一个为0 解析 1 否命题 若m 0 则关于x的方程x2 x m 0无实根 假命题 命题的否定 若m 0 则关于x的方程x2 x m 0无实根 假命题 2 否命题 若x y不都是奇数 则x y不是奇数 假命题 命题的否定 若x y都是奇数 则x y不是奇数 真命题 3 否命题 若abc 0 则a b c全不为0 真命题 命题的否定 若abc 0 则a b c全不为0 假命题 点评 命题的否定形式及否命题是两个不同的概念 要注意区别 不能混淆 从形式上看 否命题既否定条件 又否定结论 而命题的否定 条件不变 只否定结论 例5 已知函数f x 在 上是增函数 a b r 对命题 如果a b 0 则f a f b f a f b 1 写出其否命题 判断其真假 并证明你的结论 2 写出其逆否命题 判断其真假 并证明你的结论 分析 由题目可获取以下主要信息 给出一个具体的命题 写出它的否命题及逆否命题 判断其真假并证明 解答这类题关键是根据命题的特点 选择合适的证明方法 解析 1 否命题 如果a b 0 则f a f b f a f b 为真命题 当a b 0时 a b f x 在 上是增函数 f a f b 又由a b 0 可知b a 同理f b f a 则f a f b f a f b 即 a b 0 f a f b f a f b 成立 2 逆否命题 如果f a f b f a f b 则a b 0 真命题 因为一个命题和它的逆否命题等价 所以可证明原命题为真命题 因为a b 0 所以a b b a 又因为f x 在 上是增函数 所以f a f b f b f a 所以f a f b f a f b 所以逆否命题为真 点评 当直接证明一个命题的真假有困难时 往往需转化为证明其逆否命题的真假 如原命题是全称命题或存在性命题 或原命题是以否定形式给出的时候 往往会采用这种思路 已知函数y f x 是r上的增函数 对a b r 若f a f b f a f b 成立 证明a b 0 证明 原命题的逆否命题为 若a b 0 则f a f b f a f b 以下证明其逆否命题 若a b 0 则a b b a 又因为f x 在r上是增函数 所以f a f b f b f a 所以f a f b f b f a 逆否命题为真命题 又因为原命题和逆否命题同真同假 得证 例6 写出命题 已知a b c d是实数 如果a b c d 则a c b d 的逆命题 否命题 并证明它们的真假 误解 逆命题 如果a c b d 则a b c d是实数 且a b c d 假命题 否命题 如果a b c d不是实数 a b c d 则a c b d 假命题 辨析 上述解法没有弄清命题的条件 将大前提 a b c d是实数 充当了条件 正解 逆命题 已知a b c d是实数 如果a c b d 则a b c d 假命题 否命题 已知a b c d是实数 如果a b c d 则a c b d 假命题 一 选择题1 命题 两条对角线相等的四边形是矩形 是命题 矩形是两条对角线相等的四边形 的 a 逆命题b 否命题c 逆否命题d 无关命题 答案 a 解析 依据逆命题定义 2 命题 对顶角相等 与它的逆命题 否命题 逆否命题中 真命题是 a 上述四个命题b 原命题与逆命题c 原命题与逆否命题d 逆命题与否命题 答案 c 解析 命题 对顶角相等 的逆命题 相等的角是对顶角 是假命题 选c 3 与命题 能被6整除的整数 一定能被3整除 等价的命题是 a 能被3整除的整数 一定能被6整除b 不能被3整除的整数 一定不能被6整除c 不能被6整除的整数 一定不能被3整除d 能被6整除的整数 一定不能被3整除 答案 b 解析 9能被3整除 但不能被6整除 排除a 9不能被6整除 但能被3整除 排除c 12能被6整除 也能被3整除 排除d 4 命题 若 a 60 则 abc是等边三角形 的否命题是 a 60 则 abc不是等边三角形 为 a 假命题b 与原命题真假性相同c 与原命题的逆否命题真假性相同d 与原命题的逆命题真假性相