【优化方案】江苏省高考数学总复习 选修系列第四节课件 理 苏教版.ppt

第四节不等式选讲 第四节不等式选讲 考点探究 挑战高考 考向瞭望 把脉高考 双基研习 面对高考 双基研习 面对高考 1 不等式的基本性质 1 对于任意两个实数a b有且只有以下三种情况之一成立 a b ab b c a c a b a c b c a b 0 a b 0 a b 0 a b c d a c b d a b c 0 ac bc a b cb 0 c d 0 ac bd a b 0 an bn n n 且n 1 a b 0 n n 且n 1 2 含绝对值不等式的解法 1 含绝对值的不等式 x a的解集 2 ax b c c 0 和 ax b c c 0 型不等式的解法 ax b c c ax b c ax b c ax b c或ax b c 3 x a x b c c 0 和 x a x b c c 0 型不等式的解法方法一 利用绝对值不等式的几何意义求解 体现了数形结合的思想 方法二 利用 零点分段法 求解 体现了分类讨论的思想 方法三 通过构造函数 利用函数的图象求解 体现了函数与方程的思想 3 不等式的证明方法 1 比较法 作差比较法知道a b a b 0 ab 只要证明 即可 作商比较法由a b 0 1且a 0 b 0 因此当a 0 b 0时要证明a b 只要证明 即可 2 分析法从待证不等式出发 逐步寻找使它成立的充分条件 直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式 已知条件 定理等 a b 0 3 综合法从已知条件出发 利用不等式的性质或定理 经过推理论证 最终推导出所要证明的不等式成立 即 由因寻果 的方法 4 算术一几何平均不等式若a1 a2 an为正数 则 等号当且仅当a1 a2 an时成立 5 柯西不等式 1 柯西不等式 a2 b2 c2 d2 a b c d r 当且仅当ad bc时 等号成立 2 柯西不等式的向量形式 设 是两个向量 则 等号当且仅当 共线时成立 3 三角形不等式 ac bd 2 1 2011年无锡调研 解不等式 2x 1 x 1 2 已知x y r m x2 y2 1 n x y xy 比较m与n的大小关系 考点探究 挑战高考 绝对值不等式的常见类型及其解法1 形如 f x a f x a a r 型不等式此类不等式的简单解法是等价命题法 即 1 当a 0时 f x a a f x a f x a f x a或f x a 2 当a 0时 f x a无解 f x a f x 0 3 当a 0时 f x a无解 f x a f x 有意义 2 含有两个绝对值的不等式的解法 1 零点分段法零点分段法解绝对值不等式的步骤 a 求零点 b 划分区间 去绝对值号 c 分别解去掉绝对值的不等式 d 取每个结果的并集 特别注意在分段时不要漏掉区间的端点值 注意 在利用分类讨论解决含多个绝对值的不等式时 应做到分类不重 不漏 在某个区间上解出不等式后 不要忘了与前提条件求交集 2 利用 x a1 x a2 的几何意义利用数形结合法 把绝对值问题转化为数轴上的动点x到两个定点a1 a2的距离之和 差 的问题 解下列不等式 1 1 x 2 3 2 2x 5 7 x 3 x2 9 x 3 4 x 1 x 2 5 思路分析 分别利用平方法 公式法或零点分段法求解 解 1 1 x 2 3 1 x 2 3或 3 x 2 1 即3 x 5或 1 x 1 原不等式的解集为 x 3 x 5或 1 x 1 4 x 1 x 2 5 当x 1时 原不等式等价于x 1 x 2 5 即2x 4 x 2 1 x 2 当 2 x 1时 原不等式等价于1 x x 2 5即3 5恒成立 2 x 1 当x 2时 原不等式等价于1 x x 2 5即x 3 3 x 2 综上所述 原不等式的解集为 x 3 x 2 名师点评 绝对值不等式的解法主要是转化为不含绝对值的不等式或不等式组处理 而去掉绝对值的方式主要有以下三种 1 利用常见的等价命题 2 对绝对值内的式子符号进行讨论 3 两边平方 必须保证两边都是正数 用算术 几何平均不等式与柯西不等式证明不等式时 可直接应用其结论 可将要证的不等式拆成若干个不等式的和或积 名师点评 证明不等式的方法较多 如比较法 分析法 综合法等 准确选择适当的证明方法是解题的关键 对所证明的不等式整体结构特点要仔细分析才能选准证明方法 用算术 几何平均不等式求最大 小 值 要注意 一正 二定 三相等 用柯西不等式求最大 小 值 一要创造使用定理的条件 二要注意等号成立的条件 已知实数a b c r a b c 1 求4a 4b 4c2的最小值 并求出取最小值时a b c的值 思路分析 利用均值不等式 结合a b c的关系求之 名师点评 注意利用均值不等式的条件 利用a b c 1 转化为二次函数求最值 本题的处理非常巧妙 要注意学习和借鉴 变式训练2已知实数x y z满足x y z 2 求2x2 3y2 z2的最小值 方法技巧 1 对于两个不等式的加法 即 a b c d a c b d 也就是说两个同向不等式可以相加 但是对于两个不等式相减时 要慎重使用 这时往往转化为两个同向不等式后 再相加 2 对于不等式的各项取倒数问题 一定要分清各项的符号 对于同号的 可运用深化 2 若不同号 可根据符号进行判定 3 解含绝对值的不等式的指导思想是去掉绝对值 常用的方法是 由定义分段讨论 利用绝对值不等式的性质 平方 4 解含参数的不等式 如果转化不等式的形式或求不等式的解集时与参数的取值范围有关 就必须分类讨论 注意 要考虑参数的取值范围 用同一标准对参数进行划分 做到不重不漏 5 利用绝对值的定义和几何意义来分析 绝对值的特点是解决带有绝对值符号问题的关键 如何去掉绝对值符号 一定要认真总结规律与方法 6 绝对值不等式的证明通常与放缩法联系在一起 放缩常用如下绝对值不等式 a b a b a b a c c b 考向瞭望 把脉高考 不等式选讲是江苏高考的选考内容之一 主要考查绝对值的几何意义 绝对值不等式的解法以及不等式证明的基本方法 比较法 分析法 综合法 关于含有绝对值的不等式的问题 预测2012年江苏高考在本部分可能会考查不等式的证明或求最值问题 本题满分10分 2010年高考江苏卷 设a b是非负实数 求证 a3 b3 a2 b2 名师点评 在证明不等式时 要依据命题提供的信息选择合