高中数学《1.2.22 分段函数及映射》课件 新人教A版必修1.ppt

第2课时分段函数及映射 列举初中已经学过的一些对应 或日常生活中的一些对应案例 1 对于任何一个实数 数轴上都有唯一的点p和它对应 2 对于坐标平面内任何一个点a 都有唯一的有序实数对和它对应 3 对于任意一个三角形 都有唯一确定的面积和它对应 4 某影院的某场电影的每一张电影票都有唯一确定的座位与它对应 你还能说出一些对应的例子吗 1 在函数定义域内 对于自变量x的不同取值范围 有着不同的 这样的函数通常叫做分段函数 分段函数的定义域是各段定义域的 其值域是各段值域的 2 设a b是非空的集合 如果按照某一个确定的对应关系f 使对于集合a中的一个元素x 在集合b中都有的元素y与之对应 那么就称对应f a b为从集合a到集合b的一个映射 对应关系 并集 并集 任意 唯一确定 3 映射是的推广 函数是一种特殊的映射 即函数是数集到数集的映射 函数 2 已知集合a a b b 0 1 则下列对应不是从a到b的映射的是 解析 a b d均满足映射定义 c不满足集合a中任一元素在集合b中有唯一元素与之对应 且集合a中元素b在集合b中无唯一元素与之对应 答案 c 3 函数y x 1 x 1 4 则此函数的值域为 解析 函数y x 1 x 1 4 上的图象如下图所示 故y 0 3 答案 0 3 4 在映射f a b中 a b x y x y r 且f x y x y x y 则与a中的元素 1 2 对应的b中的元素为 解析 由题意知 与a中元素 1 2 对应的b中元素为 1 2 1 2 即 3 1 答案 3 1 思路分析 求分段函数的函数值时 应先判断自变量所在的范围 从而代入相应的解析式 对于多层求值 应由内向外求解 温馨提示 1 分段函数题求解时 一定要注意自变量的取值范围 从而确定相应的解析式 2 分类讨论时 各种条件下的解集一定要与各自的条件取交集 最后所有的解集取并集就是最终的解集 类型二分段函数的图象与值域 例2 作出函数y 2 x 1 3 x 的图象 并求其值域 思路分析 本题为绝对值函数 应先由零点分段讨论法去掉绝对值符号 再画出分段函数的图象 然后解之 温馨提示 本例利用图象法求函数值域 其关键是准确作出分段函数的图象 由于分段函数在定义域的不同区间内解析式不一样 因此画图象时要特别注意区间端点处对应点的实虚之分 思路分析 由题目可获取以下主要信息 判断对应是否为映射 用解析式给出了三个对应关系 解答本题可先由映射定义出发 观察a中任何一个元素在b中是否都有唯一元素与之对应 温馨提示 要判断对应f a b是否是a到b的是映射 必须做到两点 明确集合a b中的元素 根据映射定义判断a中每个元素是否在b中能找到唯一确定的对应元素 类型四分段函数在生活中的应用 例4 电讯资费调整后 市话费标准为 通话时间不超过3分钟收费0 2元 超过3分钟 以后每增加1分钟收费0 2元 不足1分钟以1分钟计费 求通话收费x元与通话时间t 分钟 的函数解析式 并画出其图象 思路分析 通话前3分钟的收费和以后每隔1分钟的收费都是不同值 并且不足1分钟以1分钟计费 因此 通话收费x元与通话时间t 分钟 的函数解析式用分段函数表示 2 函数f x 的图象如下图所示 3 由 2 知 f x 在 2 2 上的值域为 1 3 1 分段函数有些函数在它的定义域中 对于自变量x的不同取值范围 对应关系不同 这样的函数通常称为分段函数 理解分段函数应注意以下几点 1 分段函数是生产生活中的重要函数模型 应用非常广泛 2 分段函数的定义域是各段定义域的并集 值域是各段值域的并集 分段函数是一个函数 不是两个或多个函数 其本质是在定义域的不同区间 对应关系不同 3 分段函数的每一段或者说区间 可以是等长的 也可以是不等长的 4 画分段函数的图象时 要特别注意自变量取区间端点处的函数值情况 这也往往是判断图形是否为分段函数的图象的关键所在 2 映射首先 要准确理解映射的概念 映射的概念可以概括为 取元任意性 成象唯一性 即 a中元素不可剩 b中元素可剩 多对一行 一对多不行 映射具有方向性 f a b与f b a一般是不同的映射 其次 要准确把握映射与函数的关系 1 联系 映射的概念是在函数的现代定义 集合语言定义 基础上引申 拓展的 函数是一个特殊的映射 反过来 要善于用映射的语言来叙述函数的问题 2 区别 函数是非空数集a到非空数集b的映射 而对于映射而言 a和b不一定是数集 高斯函数高斯是德国数学家 天文学家和物理学家 他和牛顿 阿基米德 被誉为有史以来的三大数学家 高斯是近代数学的奠基者之一 在历史上影响很大 有 数学王子 之称 他幼年时就表现出超人的数学天才 1795年进入格丁根大学学习 第二年他就发现正十七边形的尺规作图法 并给出可用尺规作出的正多边形的条件 解决了欧几里得以来悬而未决的问题 高斯的数学研究几乎遍及所有领域 在数论 代数学 非欧几何 复变函数和微分几何等方面都作出了开创性的贡献 公元1800年 高斯在研究圆内整点问题时 引进了一个函数y x 后人称之为高斯函数 x 是表示数x的整数部分 如 3 4 75 5 1988 1988 1 高斯函数的定义设x r 用 x 表示不超过x的最大整数 如 0 6 0 3 4等 则y x 称为高斯函数 也叫取整函数 任意一个实数都能写成整数部分与非负纯小数部分之和 即x x 0 1 所以有 x x x 1 这里 x 是x的整数部分