高中数学《2.3.1数学归纳法》2.3数学归纳法课件 新人教A版选修22.ppt

对于用不完全归纳法得到的某些与自然数有关的数学命题或猜想 可尝试采用数学归纳法来证明它们的正确性 1 证明当n取第一个值n0 例如n0 1 时结论正确 2 假设当n k k n k n0 时结论正确 证明当n k 1时结论也正确 在完成了这两个步骤以后 就可以断定这个命题或猜想对于从n0开始的所有正整数n都正确 找准起点 奠基要稳 注 观察 猜想 证明 是解决许多问题的有效途径 用上假设 递推才真 写明结论才算完整 数学归纳法 是一种证明与自然数有关的数学命题的重要方法 1 用数学归纳法证明等式1 2 3 2n 1 n 1 2n 1 时 当n 1时 左边所得项是 当n 2时 左边所得项是 1 2 3 1 2 3 4 5 2 用数学归纳法证明 在验证n 1成立时 左边所得项为 a 1 b 1 a c 1 a a2 d 1 a a2 a3 c 3 求证 3 求证 证 1 当n 1时 左边 右边 由于故不等式成立 2 假设n k 时命题成立 即 则当n k 1时 即当n k 1时 命题成立 由 1 2 原不等式对一切都成立 例是否存在常数a b 使得等式 对一切正整数n都成立 并证明你的结论 点评 对这种类型的题目 一般先利用n的特殊值 探求出待定系数 然后用数学归纳法证明它对一切正整数n都成立 解 令n 1 2 并整理得 以下用数学归纳法证明 练习1 用数学归纳法证明 练习2 证明不等式 用数学归纳法可以解决许多有关正整数的命题或猜想 练习3 平面内有n n2 条直线 任何两条都不平行 任何三条不过同一点 问交点的个数为多少 并证明 证 1 当n 2时 左边 不等式成立 2 假设当n k k 2 时不等式成立 即有 则当n k 1时 我们有 即当n k 1时 不等式也成立 由 1 2 原不等式对一切都成立 练习1 用数学归纳法证明 证 1 当n 1时 左边 1 右边 2 不等式显然成立 2 假设当n k时不等式成立 即有 则当n k 1时 我们有 即当n k 1时 不等式也成立 根据 1 2 可知 原不等式对一切正整数都成立 练习2 证明不等式 n 1n 2n 3n 4n 5f 1 0f 2 1f 3 3f 4 6f 5 10 猜想 f 1 0 f 2 0 1 f 3 1 2 f 4 1 2 3 f 5 1 2 3 4 f n 1 2 n 1 n n 1 然后用数学归纳法证明猜想的关键是 求初始值f 1 0 建立递推关系f n 1 f n n 练习3 平面内有n n2 条直线 任何两条都不平行 任何三条不过同一点 问交点的个数为多少 并证明 解 如图 练习3 平面内有n条直线 其中任何两条不平行 任何三条不过同一点 求证交点个数是f n n n 1 当n k 1时 第k 1条直线分别与前k条直线各交于一点 共增加k个点 由 1 2 可知 对一切n n 原命题均成立 证明 1 n 2时 两条直线交点个数为1 而f 2 2 2 1 1 命题成立 k 1条直线交点个数 f k k k k 1 k k k 1 2 k k 1