全国各地高考数学三轮复习试题汇编 专题4 数列、推理与证明 第2讲 推理与证明（B卷）理（含解析） (2).DOC

1 专题专题 4 4 数列 推理与证明数列 推理与证明 第 2 讲 推理与证明 b 卷 一 选择题 每题 5 分 共 20 分 1 2015 肇庆市高中毕业班第三次统一检测题 8 对于非空集合a b 定义运算 baxbaxxba 且 已知 bxaxm dxcxn 其中a b c d满足dcba 0 cdab 则 nm a cbda b bdac c dbac d bdca 2 2015 佛山市普通高中高三教学质量检测 二 8 若集合 p 具有以下性质 pp 1 0 若pyx 则pyx 且0 x时 p x 1 则称集合 p 是 集 则下列结论不正确的是 a 整数集 z 是 集 b 有理数集 q 是 集 c 对任意的一个 集 p 若pyx 则必有pxy d 对任意的一个 集 p 若pyx 且0 x 则必有p x y 3 2015 厦门市高三适应性考试 10 如图所示 由直线 2 10 xa xaayx 及x轴围成的曲边梯形的面积介于相应小矩 形与大矩形的面积之间 即 1 222 1 a a adxxa 类比之 n n 111111 122121 a nnnnnn 恒成立 则实数a等于 a 2 1 b 5 3 c 2lnd 2 5 ln 4 2015 陕西省咸阳市高考模拟考试 三 12 oxa 1a y 2 二 非选择题 80 分 5 2015 济宁市 5 月高考模拟考试 15 6 2015 日照市高三校际联合 5 月检测 15 函数 yf x 图象上不同两点 1122 a x yb xy处的切线的斜率分别是 ab kk 规定 ab kk a b ab ab为 线段 ab 的长度 叫做曲线 yf x 在点 a 与点 b 之间的 弯曲度 给出以下命题 函数 32 1yxx 图象上两点 a 与 b 的横坐标分别为 1 和 2 则 3a b 存在这样的函数 图象上任意两点之间的 弯曲度 为常数 设点 a b 是抛物线 2 1yx 上不同的两点 则 2a b 设曲线 x ye e 是自然对数的底数 上不同两点 112212 1a x yb xyxx 且 3 若 1ta b 恒成立 则实数 t 的取值范围是 1 其中真命题的序号为 将所有真命题的序号都填上 7 2015 黑龙江省哈尔滨市第三中学高三第三次模拟考试数学 理 试题 16 设n为正 整数 n nf 1 3 1 2 1 1 计算得 2 3 2 f 2 4 f 2 5 8 f 3 16 f 观察上述结果 按照上面规律 可以推测 1024 f 8 2015 山东省济宁市兖州第一中学高三数学考试 15 在平面上有如下命题 o为 直线ab外的一点 则点p在直线ab上的充要条件是 存在实数yx 满足 obyoaxop 且1 yx 我们把它称为平面中三点共线定理 请尝试类比此命 题 给出空间中四点共面定理 应描述为 9 2015 合肥市高三第三次教学质量检测 15 已知向量 oa ob 满足 1 1 2 oaoboa ob 动点c满足ocxoayob 给出以下命题 若 1xy 则点c的轨迹是直线 若 1xy 则点c的轨迹是矩形 若1xy 则点c的轨迹是抛物线 若1 x y 则点c的轨迹是直线 若 22 1xyxy 则点c的轨迹是圆 以上命题正确的是 写出你 认为正确的所有命题的序号 10 2015 丰台区学期统一练习二 14 已知非空集合a b满足以下四个条件 1 2 3 4 5 6 7 ab ab a中的元素个数不是a中的元素 b中的元素个数不是b中的元素 如果集合a中只有 1 个元素 那么a 有序集合对 a b 的个数是 11 2015 北京市东城区综合练习二 14 如图 平面中两条直线 1 l和 2 l相交于点o 对 于平面上任意一点m 若 p q分别是m到直线 1 l和 2 l的距离 则称有序非负实数对 4 l1 l2 o m p q p q是点m的 距离坐标 给出下列四个命题 若0pq 则 距离坐标 为 0 0 的点有且仅有1个 若0pq 且0pq 则 距离坐标 为 p q的点有且仅有2个 若0pq 则 距离坐标 为 p q的点有且仅有4个 若pq 则点m的轨迹是一条过o点的直线 其中所有正确命题的序号为 12 2015 21 本小题满分 10 分 已知函数 ln1x f x x 1 当0 x 时 求证 2 2 f x x 2 当10 xx 且时 1 1 kx f x x 恒成立 求实数k的值 13 2015 山东省实验中学高三第三次诊断考试 20 本小题满分 12 分 定义 若两个椭 圆的离心率相等 则称两个椭圆是 相似 的 如图 椭圆 1 c与椭圆 2 c是相似的两个椭圆 并且相交于上下两个顶点 椭圆 22 1 22 10 xy cab ab 的 长轴长是 4 椭圆 22 2 22 10 yx cmn mn 短轴长是1 点 12 f f分别是椭圆 1 c的左焦点与右焦点 i 求椭圆 12 cc 的方程 ii 过 1 f的直线l交椭圆 2 c于点 m n 求 2 f mn 面积的最大值 14 2015 徐州 连云港 宿迁三市高三第三次模拟 23 本小题满分 10 分 设 nnba 且 ba 对于二项式 n ba 1 当4 3 n时 分别将该二项式表示为 nqpqp 的形式 5 2 求证 存在 nqp 使得等式qpba n 与qpba n 同时成立 15 2015 盐城市高三年级第三次模拟考试 20 本小题满分 13 分 设函数 2 1 1 f x pxqx 其中 22 0pq 且存在无穷数列 n a 使得函数在其定义域内 还可以表示为 2 12 1 n n f xa xa xa x 1 求 2 a 用 p q表示 2 当1 1pq 时 令 1 2 n n nn a b a a 设数列 n b的前n项和为 n s 求证 3 2 n s 3 若数列 n a是公差不为零的等差数列 求 n a的通项公式 6 专题 4 数列 推理与证明 第 2 讲 推理与证明 b 卷 答案与解析 1 答案 d 命题立意 本题综合考查了新定义 不等式的性质 集合的子集与交集并集的转换 解析 由已知 m x a x b a b 又 ab 0 a 0 b 同理可得 c 0 d 由 ab cd 0 c 0 b 0 ad cb a cd b cb 又 a b c d a c d b d bd b cb 又 c 0 b 0 d b 0 因此 a c 0 a c 0 d b m n n m n x a x c 或 d x b a c d b 故选 d 2 答案 a 命题立意 本题旨在考查信息给予题的做法 解析 当x 2 时 11 2 z x 所以整数集 z 不是 集 故 b 项错误 故选 b 3 答案 c 命题立意 本题旨在考查类比推理和微积分基本定理 解析 由题可得 1 111 1 n n dx nxn 122 121 111 ln1lnln2ln1 nnn nnn adxdxdxnnnn xxx ln2ln 21ln2lnln2nnnn 故选 c 4 答案 c 命题立意 新定义的理解与应用 解析 由题中所给定的关于 x 的定义可知 7 1 6 3 11 61 32 x 12 62 23 2 631 3 kkxk kkxk f kkxk kkxk kz 将 0 3 分成 0 1 0 1 2 1 kk 2 3 2 3kx 时f x 18 代入 k 的取值即可判断出结果 故选 c 5 答案 命题立意 本题是一个小综合题 主要考查含有逻辑连接词的命题真假判断 函数的零 点 直线和圆的位置关系及数学归纳法 解析 对于 由于 p q 都是真命题 故正确 对于 由于函数是单调的 且 0 1 0ff 所以命题正确 对于 由于圆心到直线的距离 22 00 1 1 cossin 又因为511 故圆上的点到直线的距离为 1 的点为 4 个 故命题错误 对于 由 所给出的等式可知命题正确 6 答案 命题立意 本题旨在考查新定义问题 距离公式和恒成立问题 解析 错 1 1 2 5 17 7 ab ababkk 7 3 17 a b 对 如1y 对 22222 22 2 2 1 ab ababab xx a b xxxxxx 错 1212 1212 222 12 1 xxxx xxxx eeee a b xxeeee 12 1212 2 2 1 11 11 xx xxxx ee a beeee 因为 1 t a b 恒成立 故1t 8 7 答案 6 命题立意 考查归纳推理 考查分析能力 转化能力 中等题 解析 由已知等式得 n 2 2 n n n f n 所以6 2 210 2 1024 10 ff 8 答案 o为平面abc外一点 则点p在平面abc内的充要条件是 存在实数 x y z满足opxoa yobzoc 且1xyz 命题立意 本题重点考查类比推理以及空间向量基本定理 难度中等 解析 将直线类比为平面 将 存在实数 x y满足opxoayob 且1xy 类 比为 存在实数 x y z满足opxoa yobzoc 且1xyz 所以给出空间中 四点共面定理 可描述为 o为平面abc外一点 则点p在平面abc内的充要条件是 存在实数 x y z满足opxoa yobzoc 且1xyz 9 答案 命题立意 本题重点考查平面向量的坐标运算以及点的轨迹问题 难度较大 解析 因为 1 1 2 oaoboa ob 所以 1 cos 2 oa ob 3 oa ob 建立如图所示的直角坐标系 不妨设 c x y 113 0 0 0 222 abo 则 13 22 oaob 1 2 3 2 因为 ocxoayob 所以 3 2 x y 1313 2222 xy 得 11333 22222 xxy yxy 得 11 23 11 23 xxy yxy 当1xy 时 得 2 3 y 11 得0y 故 正确 若 1xy 即 1111 1 2233 xyxy 因为 9 1111 0 0 2233 xyxy 时 21x 1 2 x 此时03 y 1 3 xy 11 0 23 xy 1 0 2 1111 1 2233 xyxy 即3y 此时 11 22 x 根据对称性可知 其轨迹为矩形 故 正确 若1xy 则 1111 1 2233 xyxy 整理得 22 11 1 23 yx 表示双曲线 故 错 误 若1 x y 由于0y 所以其不能表示直线只能表示两条射线 故 错误 当 22 1xyxy 时 2 31xyxy 所以 2 111 43 223 xyx 1 1 3 yx 整理得 22 3 1 2 xy 表示圆 故 正确 10 答案 6 32 命题立意 考查子集 真子集概念 考查分类讨论思想 中等题 解析 依题意 当 6 a时 7 5 4 3 2 1 b 满足条件 如果集合a中只有 1 个元素 6 a 7 5 4 3 2 1 b 有序集合对 10 a b 的个数是 1 对 如果集合a中只有 2 个元素 a中必含有元素 5 有5 1 5 c中取法 有序集合对 a b 的个数是 5 对 如果集合a中只有 3 个元素 a中必含有元素 4 有10 2 5 c中取法 有序集合对 a b 的个数是 10 对 如果集合a中只有 4 个元素 a中必含有元素 3 有10 3 5 c中取法 有序集合对 a b 的个数是 10 对 如果集合a中只有 5 个元素 a中必含有元素 2 有5 4 5 c中取法 有序集合对 a b 的个数是 5 对 如果集合a中只有 6 个元素 a中必含有元素 1 有1 5 5 c中取法 有序集合对 a b 的个数是 1 对 所以满足条件的有序集合对 a b 的个数是3215101051 个 11 答案 命题立意 本题重点考查新定义和逻辑推理能力 难度中等 解析 正确 此点为点o 正确 注意到 p q为常数 由 p q中必有一个为零 另一个非零 从而可知有且仅有 2 个点 这两点在其中一条直线上 且到另一直线的距离 为q 或p 正确 四个交点为与直线 1 l相距为p的两条平行线和与直线 2 l相距为 q的两条平行线的交点 若pq 则点m的轨迹是两条过o点的角分线 故 错误 12 答案 1 证明略 2 2 1 k 命题立意 本题旨在考查证明不等式以及恒成立的问题 思路分析 1 函数 xfy 在某个区间内可导 则若 0 x f 则 xf在这个区间 内单调递增 若 0 x f 则 xf在这个区间内单调递减 2 利用导数方法证明不等 式 xgxf 在区间d上恒成立的基本方法是构造函数 xgxfxh 然后根据函 数的单调性 或者函数的最值证明函数 0 xh 其中一个重要的技巧就是找到函数 11 xh在什么地方可以等于零 这往往就是解决问题的一个突破口 观察式子的特点 找到 特点证明不等式 解析 1 0 x 22 ln1 22 x f xx xx 1 分 2 22 214 ln1 0 21 212 xx g xxgx xx xxx 3 分 g x递增 所以 00g xg 所以 2 ln1 2 x x x 4 分 2 当10 x 不等式 2 1 1 ln1 1 kx f xxxxkx x 2 1 ln1xxxxkx 设h 1 ln12 2 1 hxxkx hxk x 因为 1 10 01 1 1 1 xx x 若 1 21 2 kk 即 0hx hx 所以 00hxh h x 00h xh 7 分 若21k 存在 0 1 0 x 使得 0 0 1 20 1 hxk x 当 0 0 xx 0hx hx 所以 00hxh h x 00h xh 这与 2 1 ln1xxxkx 矛盾 9 分 当0 x 不等式 2 1 1 ln1 1 kx f xxxxkx x 2 1 ln1xxxxkx 设h 12 1 ln12 2 1 hxxkx hxk x 1 0 11 01 1 xx x 若 1 21 2 kk 即 0hx hx 所以 00hxh h x 00h xh 所以不等式成立 12 分 若21k 存在 0 0 x 使得 0 0 1 20 1 hxk x 当 0 0 xx 0hx hx 所以 00hxh h x 00h xh 这与 2 1 ln1xxxkx 矛盾 综上所述 1111 10 0 1212 kxkx xf xkxf xk xx 1 0 xx 且 1 1 kx f x x 恒成立时 1 2 k 14 分 13 答案 i 椭圆 1 c的方程为 2 2 1 4 x y 椭圆 2 c的方程为 2 2 1 1 4 x y ii 1 2 命题立意 本题考查了对新定义的概念的理解 椭圆的标准方程 几何性质 直线与椭 圆的位置关系及运算能力 解析 设椭圆 1 c的半焦距为c 椭圆 2 c 2的半焦距为 c 由题意知 1 2 2 abm n 椭圆 1 c与椭圆 2 c的离心率相等 cc am 即 2 2 1 4 4 2 m m m 1m 13 则椭圆 1 c的方程为 2 2 1 4 x y 椭圆 2 c的方程为 2 2 1 1 4 x y 显然直线l的斜率不为 0 故可设直线l的方程为3xmy 联立 22 3 41 xmy yx 得 22 14 8 3110mymy 222 19244 1416440mmm 设 1122 m x yn xy 则 12 2 8 3 14 m yy m 12 2 11 14 y y m 2 2 2 411 2 1 14 m mnm m 又 2 f mn 的高即为点 2 f到直线 3l xmy 的距离 22 303 2 3 11 m h mm 2 f mn 的面积 2 2 2 2 14112 3 2 3 12 214 411 411 m smn h m m m 2 2 12 4112 124 3 411 m m 当且仅当 2 2 12 411 411 m m 即 23 2 m 时 等号成立 2 31 24 3 s 即 2 f mn 的面积的最大值为 1 2 14 答案 1 当n 3 时 3 3 3 abababab 当n 4 时 a b 4 2222 6 16 aabbab ab 2 略 命题立意 本题旨在考查二项式定理及其应用 考查分类讨论思维 14 解析 1 当n 3 时 3 3 3 abababab 22 3 3 a abb ba 2 分 当n 4 时 42222 464 6 4 abaa ababb abbaabbabab 2222 6 16 aabbab ab 4 分 2 证明 由二项式定理得 kknk n n k kn bacba 1 0 若n为奇数 则 113332220 nn n nn n n n n n n bacbacbacacba 11333222 nnnnnn nnnn cabcabcabcb 分析各项指数的奇偶性易知 可将上式表示为 bvauba n 11 的形式 其中 11 u v n 也即qpbvauba n 2 1 2 1 其中aup 2 1 bvq 2 1 p q n 6 分 若n为偶数 则 2222220nn n nn n n n n n n bcbacbacacba 1133333311 nnnnnn nnnn cabcabcabcab 类似地 可将上式表示为abvuba n 22 的形式 其中 22 u v n 也即qpabvuba n 2 2 2 2 其中 2 2 up abvq 2 2 p q n 所以存在 p q n 使得等式qpba n 8 分 同理可得 n ba 可表示为qpba n 从而有 qpqpqp nnn bababa 综上可知结论成立 10 分 15 答案 1 2 2 apq 2 略 3 1 n an 命题立意 本题旨在考查函数及其应用 数列的递推关系式 数列求和 等差数列 的通项及其应用 考查分析法 反证法等 15 解析 1 由题意 得 22 12 1 1 1 n n pxqxa xa xa x 显然 2 x x的系数为 0 所以 1 21 0 0 ap aa p q 从而 1 ap 2 2 apq