内蒙古巴彦淖尔一中高二数学上学期期中试卷 文（含解析）.doc

2015-2016学年内蒙古巴彦淖尔一中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（125分=60分）在每小题给出的四个选项中只有一项正确.1若集合a=1，2，3，b=1，3，4，则ab的子集个数为（）a2b3c4d162若复数z满足=i，其中i为虚数单位，则z=（）a1ib1+ic1id1+i3数列an满足an+1=，a8=2，则a1=（）a0bc2d14已知，是平面，m，n是直线，给出下列命题：若m，m，则若m，n，m，n，则如果m，n，m、n是异面直线，那么n与相交若=m，nm，且n，n，则n且n其中正确命题的个数是（）a4b3c2d15设等差数列an的前n项和为sn，其公差为1，若s1，s2，s4成等比数列，则a1=（）a2b2cd6某四面体的三视图如图所示，正视图与俯视图都是斜边长为2的等腰直角三角形，左视图是两直角边长为1的三角形，该四棱锥的表面积是（）abcd27将函数y=sin（2x+）的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为（）abc0d8过点（1，2）且与直线2x3y+4=0垂直的直线方程为（）a3x+2y1=0b3x+2y+7=0c2x3y+5=0d2x3y+8=09已知，则的值是（）abcd10函数y=x2lnx的单调递减区间为（）a（1，1b（0，1c时，f（x）=x1，则不等式xf（x）0在上的解集为（）a（1，3）b（1，1）c（1，0）（1，3）d（1，0）（0，1）二、填空题（45分=20分）将最后结果直接填在答题纸上.13直线y=x被圆x2+（y2）2=4截得的弦长为14已知向量，夹角为45，且|=1，|2|=，则|=15（理科）若x，y满足约束条件，则z=xy的最小值是16已知曲线y=x+lnx在点（1，1）处的切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，则a=三、解答题（12+12分+12分+12分+12分+10=70分）17在abc中，a，b，c分别是角a，b，c的对边，且（a+b+c）（ab+c）=ac（1）求b的大小；（2）若sinasinc=，求c的大小18已知圆c：x2+y26x8y+20=0，过原点o作圆c的两条切线，切点分别设为p，q，（1）求切线的方程；（2）求线段pq的长19如图，四边形abcd是矩形，da平面abe，ae=eb=bc=2，f为ce上的点，且bf平面ace，ac和bd交于点g（1）证明：ae平面bfd；（2）求点f到平面bcd的距离20设等差数列an的公差为d，前n项和为sn，等比数列bn的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，s10=100（1）求数列an，bn的通项公式（2）当d1时，记cn=，求数列cn的前n项和tn21设函数f（x）=exax2（）求f（x）的单调区间；（）若a=1，k为整数，且当x0时，（xk）f（x）+x+10，求k的最大值（坐标系与参数方程）22已知曲线c1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线c2的极坐标方程为=2sin（）把c1的参数方程化为极坐标方程；（）求c1与c2交点的极坐标（0，02）（不等式选讲）23（2015秋巴彦淖尔校级期中）设a，b，c均为正数，且a+b+c=1求证：（1）ab+bc+ac；（2）2015-2016学年内蒙古巴彦淖尔一中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（125分=60分）在每小题给出的四个选项中只有一项正确.1若集合a=1，2，3，b=1，3，4，则ab的子集个数为（）a2b3c4d16【考点】交集及其运算【专题】计算题【分析】找出a与b的公共元素求出交集，找出交集的子集个数即可【解答】解：a=1，2，3，b=1，3，4，ab=1，3，则ab的子集个数为22=4故选c【点评】此题考查了交集及其运算，以及子集，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2若复数z满足=i，其中i为虚数单位，则z=（）a1ib1+ic1id1+i【考点】复数代数形式的乘除运算【专题】数系的扩充和复数【分析】直接利用复数的乘除运算法则化简求解即可【解答】解： =i，则=i（1i）=1+i，可得z=1i故选：a【点评】本题考查复数的基本运算，基本知识的考查3数列an满足an+1=，a8=2，则a1=（）a0bc2d1【考点】数列递推式【专题】等差数列与等比数列【分析】由数列an满足an+1=，a8=2，利用递推思想能求出a1=【解答】解：数列an满足an+1=，a8=2，2=，解得a7=，=，解得a6=1，1=，解得a5=2，2=，解得a4=，解得a3=1，1=，解得a2=2，2=，解得a1=故选：b【点评】本题考查数列的首项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意递推思想的合理运用4已知，是平面，m，n是直线，给出下列命题：若m，m，则若m，n，m，n，则如果m，n，m、n是异面直线，那么n与相交若=m，nm，且n，n，则n且n其中正确命题的个数是（）a4b3c2d1【考点】命题的真假判断与应用；平面的基本性质及推论【专题】综合题【分析】根据线面垂直的判定定理，可判断的对错；根据面面平行的判定定理，可得到的真假；根据空间线面关系的定义及判定方法，可以得到的正误，根据线面平行的判定方法，易得到的对错；结合判断结果，即可得到答案【解答】解：根据面面垂直的判定定理，我们易得正确；根据面面平行的判定定理，我们可得由于m与n不一定相交，则命题为假命题；如果m，n，m、n是异面直线，那么n与相交或平行，故也为假命题；若若=m，nm，且n，n，根据线面平行的判定定理，我们可得为真命题；故选c【点评】本题考查的知识点是空间直线与平面之间的位置关系判定及命题的真假判断与应用，其中熟练掌握空间直线与平面位置关系的判定方法是解答本题的关键5设等差数列an的前n项和为sn，其公差为1，若s1，s2，s4成等比数列，则a1=（）a2b2cd【考点】等差数列与等比数列的综合【专题】方程思想；分析法；等差数列与等比数列【分析】运用等差数列的求和公式和等比数列的中项的性质，解方程可得首项【解答】解：前n项和为sn=na1n（n1），由s1，s2，s4成等比数列，可得s22=s1s4，即为（2a11）2=a1（4a16），解得a1=，故选d【点评】本题考查等差数列的求和公式，同时考查等比数列的中项的性质，考查运算能力，属于基础题6某四面体的三视图如图所示，正视图与俯视图都是斜边长为2的等腰直角三角形，左视图是两直角边长为1的三角形，该四棱锥的表面积是（）abcd2【考点】由三视图求面积、体积【专题】计算题；作图题；空间位置关系与距离【分析】由题意作直观图，从而确定每一个三角形的面积即可【解答】解：由题意作直观图如右图，底面是等腰直角三角形，故sopq=21=1，侧面orq为等腰直角三角形，故sorq=21=1，侧面orp与rqp全等，且为边长为的正三角形，sopr=srpq=sin60=，故表面积s=1+1+2=2+，故选：c【点评】本题考查了学生的空间想象力与作图能力7将函数y=sin（2x+）的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为（）abc0d【考点】函数y=asin（x+）的图象变换【专题】三角函数的图像与性质【分析】由条件利用y=asin（x+）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的奇偶性，可得结论【解答】解：将函数y=sin（2x+）的图象沿x轴向左平移个单位后，得到函数的图象对应的函数解析式为y=sin=sin（2x+），再根据所得函数为偶函数，可得+=k+，kz故的一个可能取值为，故选：a【点评】本题主要考查y=asin（x+）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的奇偶性，属于基础题8过点（1，2）且与直线2x3y+4=0垂直的直线方程为（）a3x+2y1=0b3x+2y+7=0c2x3y+5=0d2x3y+8=0【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系【专题】直线与圆【分析】根据与已知直线垂直的直线系方程可设与直线2x3y+4=0垂直的直线方程为3x2y+c=0，再把点（1，2）代入，即可求出c值，得到所求方程【解答】解：所求直线方程与直线2x3y+4=0垂直，设方程为3x2y+c=0直线过点（1，2），3（1）22+c=0c=1所求直线方程为3x+2y1=0故选：a【点评】本题主要考查了互相垂直的两直线方程之间的关系，以及待定系数法求直线方程，属于常规题9已知，则的值是（）abcd【考点】两角和与差的正弦函数；同角三角函数基本关系的运用【分析】从表现形式上看不出条件和结论之间的关系，在这种情况下只有把式子左边分解再合并，约分整理，得到和要求结论只差的角的三角函数，通过用诱导公式，得出结论【解答】解：，故选c【点评】已知一个角的某个三角函数式的值，求这个角的或和这个角有关的角的三角函数式的值，一般需用三个基本关系式及其变式，通过恒等变形或解方程求解而本题应用了角之间的关系和诱导公式10函数y=x2lnx的单调递减区间为（）a（1，1b（0，1c故选：b【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，注重标根法的考查与应用，属于基础题11过三点a（1，0），b（0，），c（2，）则abc外接圆的圆心到原点的距离为（）abcd【考点】圆的标准方程【专题】直线与圆【分析】利用外接圆的性质，求出圆心坐标，再根据圆心到原点的距离公式即可求出结论【解答】解：因为abc外接圆的圆心在直线bc垂直平分线上，即直线x=1上，可设圆心p（1，p），由pa=pb得|p|=，得p=圆心坐标为p（1，），所以圆心到原点的距离|op|=，故选：b【点评】本题主要考查圆性质及abc外接圆的性质，了解性质并灵运用是解决本题的关键12函数f（x）是周期为4的偶函数，当x时，f（x）=x1，则不等式xf（x）0在上的解集为（）a（1，3）b（1，1）c（1，0）（1，3）d（1，0）（0，1）【考点】函数的周期性【专题】函数的性质及应用【分析】根据函数的周期性和奇偶性，求出当x上的解析式，结合图象将不等式转化为或，利用数形结合即可得到结论【解答】解：若x，则x，当x时，f（x）=x1，f（x）=x1，f（x）是偶函数，f（x）=x1=f（x），即当x时，f（x）=x1，即在一个周期内，f（x）=，若x，则x4，即f（x）=f（x4）=（x4）1=x+3，x，作出函数f（x）在上的图象如图：则当x时，不等式xf（x）0等价为或，即1x3或1x0，即（1，0）（1，3），故选：c【点评】本题主要考查不等式的解集的计算，根据函数的奇偶性和周期性求出函数的解析式，利用数形结合是解决本题的关键二、填空题（45分=20分）将最后结果直接填在答题纸上.13直线y=x被圆x2+（y2）2=4截得的弦长为【考点】直线与圆相交的性质【专题】直线与圆【分析】确定圆的圆心坐标与半径，求得圆心到直线y=x的距离，利用垂径定理构造直角三角形，即可求得弦长【解答】解：圆x2+（y2）2=4的圆心坐标为（0，2），半径为2圆心到直线y=x的距离为直线y=x被圆x2+（y2）2=4截得的弦长为2=故答案为：【点评】本题考查直线与圆相交，考查圆的弦长，解题的关键是求得圆心到直线y=x的距离，利用垂径定理构造直角三角形求得弦长14已知向量，夹角为45，且|=1，|2|=，则|=【考点】平面向量数量积的运算【专题】平面向量及应用【分析】利用数量积的性质即可得出【解答】解：向量，夹角为45，且|=1，|2|=，化为=10，化为，解得|=故答案为：【点评】本题考查了数量积的性质，属于基础题15（理科）若x，y满足约束条件，则z=xy的最小值是3【考点】简单线性规划【专题】不等式的解法及应用【分析】先根据条件画出可行域，设z=xy，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距最大，只需求出直线z=xy，过可行域内的点a（0，3）时的最小值，从而得到z最小值即可【解答】解：设变量x、y满足约束条件，在坐标系中画出可行域三角形，将z=xy整理得到y=xz，要求z=xy的最小值即是求直线y=xz的纵截距的最大值，当平移直线xy=0经过点a（0，3）时，xy最小，且最小值为：3，则目标函数z=xy的最小值为3故答案为：3【点评】借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定16已知曲线y=x+lnx在点（1，1）处的切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，则a=8【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】开放型；导数的综合应用【分析】求出y=x+lnx的导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再由于切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，有且只有一切点，进而可联立切线与曲线方程，根据=0得到a的值【解答】解：y=x+lnx的导数为y=1+，曲线y=x+lnx在x=1处的切线斜率为k=2，则曲线y=x+lnx在x=1处的切线方程为y1=2x2，即y=2x1由于切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，故y=ax2+（a+2）x+1可联立y=2x1，得ax2+ax+2=0，又a0，两线相切有一切点，所以有=a28a=0，解得a=8故答案为：8【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，主要考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的导数，设出切线方程运用两线相切的性质是解题的关键三、解答题（12+12分+12分+12分+12分+10=70分）17在abc中，a，b，c分别是角a，b，c的对边，且（a+b+c）（ab+c）=ac（1）求b的大小；（2）若sinasinc=，求c的大小【考点】余弦定理【专题】转化思想；数学模型法；解三角形【分析】（1）化简利用余弦定理即可得出（2）利用和差公式、三角函数的单调性即可得出【解答】解：（1）由（a+b+c）（ab+c）=ac，化为b2=a2+c2+ac，又b2=a2+c22accosb，cosb=，在abc中，0b，b=（2）sinasinc=即sin（）sinc=，展开整理得sin（2c+）=，2c+，2c+=，c=【点评】本题考查了余弦定理、和差公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18已知圆c：x2+y26x8y+20=0，过原点o作圆c的两条切线，切点分别设为p，q，（1）求切线的方程；（2）求线段pq的长【考点】圆的切线方程【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆【分析】（1）求出圆心坐标和半径，利用点c到切线的距离为d=，求出k，即可求切线的方程；（2）直角三角形中使用边角关系求出cos，二倍角公式求出cospo1q，三角形po1q中，用余弦定理求出|pq|【解答】解：（1）由已知得圆的方程为：（x3）2+（y4）2=5，圆心c（3，4），设切线：y=kx，即kxy=0，点c到切线的距离为d=，化简得4k224k+11=0，解得，切线的方程为y=x或y=x；（2）圆x2+y26x8y+20=0 可化为 （x3）2+（y4）2 =5，圆心（3，4）到原点的距离为5故cos=，cospo1q=2cos21=，|pq|2=（）2+（）2+2（）2=16|pq|=4【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查直角三角形中的边角关系，二倍角的余弦公式，以及用余弦定理求边长19如图，四边形abcd是矩形，da平面abe，ae=eb=bc=2，f为ce上的点，且bf平面ace，ac和bd交于点g（1）证明：ae平面bfd；（2）求点f到平面bcd的距离【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定【专题】计算题；转化思想；等体积法；空间位置关系与距离【分析】（1）连接gf，由三角形的中位线可得到gfae，再由线面平行的判定定理得证；（3）用等体积法，vdabe=veabd，求出f到平面bcd的距离【解答】解：（1）连接fg，因为bf垂直平面ace，bfce，eb=bc=2，f为ec的中点，gf为aec的中位线，gfae，所以ae平面bfd；（2）用等体积法：vdabe=veabd，da平面abe，daae，矩形abcd中，bcda，bcae，又bcbf，所以ae平面cbe，所以aece，在直角cbe中，eb=bc=2，ce=，在直角cae中，ea=2，ce=，ac=，h=f为ec的中点，f到平面abc的距离为【点评】本题主要考查线线，线面关系的转化，考查了线面平行，垂直的判定定理以及点到平面的距离，属中档题20设等差数列an的公差为d，前n项和为sn，等比数列bn的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，s10=100（1）求数列an，bn的通项公式（2）当d1时，记cn=，求数列cn的前n项和tn【考点】数列的求和【专题】等差数列与等比数列【分析】（1）利用前10项和与首项、公差的关系，联立方程组计算即可；（2）当d1时，由（1）知cn=，写出tn、tn的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可【解答】解：（1）设a1=a，由题意可得，解得，或，当时，an=2n1，bn=2n1；当时，an=（2n+79），bn=9；（2）当d1时，由（1）知an=2n1，bn=2n1，cn=，tn=1+3+5+7+9+（2n1），tn=1+3+5+7+（2n3）+（2n1），tn=2+（2n1）=3，tn=6【点评】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题21设函数f（x）=exax2（）求f（x）的单调区间；（）若a=1，k为整数，且当x0时，（xk）f（x）+x+10，求k的最大值【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【专题】综合题；压轴题；分类讨论；转化思想【分析】（）求函数的单调区间，可先求出函数的导数，由于函数中含有字母a，故应按a的取值范围进行分类讨论研究函数的单调性，给出单调区间；（ii）由题设条件结合（i），将不等式，（xk） f（x）+x+10在x0时成立转化为k（x0）成立，由此问题转化为求g（x）=在x0上的最小值问题，求导，确定出函数的最小值，即可得出k的最大值；【解答】解：（i）函数f（x）=exax2的定义域是r，f（x）=exa，若a0，则f（x）=exa0，所以函数f（x）=exax2在（，+）上单调递增若a0，则当x（，lna）时，f（x）=exa0；当x（lna，+）时，f（x）=exa0；所以，f（x）在（，lna）单调递减，在（lna，+）上单调递增（ii）由于a=1，所以，（xk） f（x）+x+1=（xk） （ex1）+x+1故当x0时，（xk） f（x）+x+10等价于k（x0）令g（x）=，则g（x）=由（i）知，当a=1时，函数h（x）=exx2在（0，+）上单调递增，而h（1）0，h（2）0，所以h（x）=exx2在（0，+）上存在唯一的零点，故g（x）在（0，+）上存在唯一的零点，设此零点为，则有（1，2）当x（0，）时，g（x）0；当x（，+）时，g（x）0；所以g（x）在（0，+）上的最小值为g（）又由g（）=0，可得e=+2所以g（）=+1（2，3）由于式等价于kg（），故整数k的最大值为2【点评】本题考查利用导数求函数的最值及利用导数研究函数的单调性，解题的关键是第一小题应用分类的讨论的方法，第二小题将问题转化为求函数的最小值问题，本题考查了转化的思想，分类讨论的思想，考查计算能力及推理判断的能力，综合性强，是高考的重点题型，难