普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（重庆卷含答案）.doc

2015年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数 学（理工类）数学试题卷（理工农医类）共4页。满分150分。考试时间120分钟。注意事项： 1、答题前，务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡规定的位置上； 2、答选择题时，必须使用2b铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，在选涂其它答案标号。 3、答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。 4、所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效。 5、考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。特别提醒：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分。一、选择题：本大题10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）已知集合，则（ ） （a）ab （b） （c） （d）（2）在等差数列中，若，则（ ） （a）1 （b）0 （c）1 （d）6（3）重庆市2013年各月的平均气温（c）数据的茎叶图如下： 则这组数据的中位数是（ ） （a）19 （b）20 （c）21.5 （d）23（4）“”是“的”（ ） （a）充要条件 （b）充分而不必要条件 （c）必要而不充分条件 （d）既不充分也不必要条件（5）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） （a） （2） （3） （4）（6）若非零向量a，b满足，且，则a与b的夹角为（ ）（a） （b） （c） （d）（7）执行如题（7）图所示的程序框图，若输出k值为8，则判断框内可填入的条件是（ ）（a） （b）（c） （d）（8）已知直线：是圆c：的对称轴，过点a（-4，a）作圆c的一条切线，切点为b，则（ ）（a）2 （b） （c）6 （d）（9）若，则（ ） （a）1 （b）2 （c）3 （d）410、设双曲线（）的右焦点为f，右顶点为a，过f作af的垂线与双曲线交于b、c两点，过b、c分别作ac、ab的垂线，两垂线交于点d。若d到直线bc的距离小于，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（ ） （a） （b） （c） （d）二、填空题：本大题共6个小题，考生作答第5小题，每小题5分，共25分。把答案填写在答题卡相应的位置上。（11）设复数的模为，则 （12）的展开式中的系数是 （用数字作答）（13）在abc中，b120，ab，a的角平分线ad，则ac 考生注意：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分。（14）如题（14）图，圆o的弦ab，cd相交于点e，过点a作圆o的切线与dc的延长线交于点p，若pa6，ae9，pc3，ce：ed2：1，则be （15）已知直线的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线c的极坐标方程为，则直线与曲线c的交点的极坐标为 （16）若函数的最小值为5，则实数a 。三、解答题：本大题共6个小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分13分，（）小问5分，（）小问8分） 端午节吃粽子是我国的传统习俗。设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个。（）求三种粽子各取到1个的概率；（）设x表示取到的豆沙粽个数，求x的分布列与数学期望。（18）（本小题满分13分，（）小问7分，（）小问6分） 已知函数 （）求的最小正周期和最大值；（）讨论在上的单调性。（19）（本小题满分13分，（）小问4分，（）小问9分） 如题（19）图，三菱锥pabc中，pc平面abc，pc3，acb，d，e分别为线段ab，bc上的点，bc上的点，且cdde，ce2eb2。 （）证明：de平面pcd；（）求二面角apdc的余弦值。（20）（本小题满分12分，（）小问7分，（）小问5分） 设函数。（）若在x0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线在点处的切线方程；（）若在上为减函数，求a的取值范围。（21）（本小题满分12分，（）小问5分，（）小问7分） 如题（21）图，椭圆（）的左、右焦点分别为、，过的直线交椭圆于p、q两点，且。（）若，求椭圆的标准方程；（）若，求椭圆的离心率e。（22）（本小题满分12分，（）小问4分，（）小问8分） 在数列中，。（）若，求数列的通项公式；（）若，证明:2015年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学（理工类）参考答案一、选择题：每小题5分，满分50分（1）d (2)b (3)b (4)b (5)a（6）d (7) c (8) c (9) c (10) a二、填空题：每小题5分，满分25分（11）3 (12) (13) (14)2 (15) （16）-6或4 三、解答题：满分75分（17）（本题12份） 解：（）令a表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典型的概率计算公式有 （）x的所有可能值为0，1,2，且 综上知，x的分布列为 故（个）。（18）（本题13分） 解：（） 因此的最小周期为，最大值为 （）当时，从而 当时，单调递增， 当即时，单调递减。（19）（本题13分） （）证明：由pc平面abc，de平面abc，故pcde. 由ce=2，cd=de=得为等腰直角三角形，故cdde. 由pccd=c,de垂直于平面pcd内的两条相交直线，故de平面pcd。 （）解：由（）知，为等腰直角三角形，.如答（19）图，过d作df垂直ce于f，已知df=fc=fe=1，又已知eb=1，故fb=2. 由得dfac, 故ac= df= 以c为坐标原点，分别以的方向为轴，轴，轴的方向建立空间直角坐标系，则 设平面pad的法向量为 由得，故可取 由（）可知de平面pcd，故平面pcd的法向量可取为,即. 从而法向量，的夹角的余弦值为 故所求的二面角a-pd-c的余弦值为.（20）（本题12分） 解：（）对求导得 因为在处取得极值，所以即. 当时，=故从而在点（1，）处的切线方程为化简得 （）由（）知 令 由解得 当时，即，故为减函数； 当时，即，故为增函数； 当时，即，故为减函数； 由在上为减函数，知解得 故的取值范围为（21）（本题12分） 解：（）由椭圆的定义， 设椭圆的半焦距为c，又已知因此,即从而故所求椭圆的标准方程为（）解法一：如答（21）图，设点在椭圆上，且则 求得 由得从而 由椭圆的定义，.从而由有又由知因此即于是解得 解法二：如答（21）图，由椭圆的定义，从