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章末归纳整合 分类讨论思想是一种 化繁为简 化整为零 分别对待 各个击破 再化零为整 的思维策略 由于需要分类讨论的问题存在着诸多不确定性 所以在应用分类讨论思想时应明确分类的对象 确定对象的全体 确定分类的标准 正确分类 逐类进行讨论 获得阶段性的结果 归纳小结 综合结论 分类讨论思想 例1 已知一个平面把空间分成两部分 两个平面把空间可分成3部分或4部分 那么三个平面能把空间分成几部分 你能归纳出n个平面最多能把空间分成几部分吗 解析 设三个平面分别为 由于平面是无限延伸的 当平面 的位置关系如图 所示时 将空间分成4部分 当平面 的位置关系如图 所示时 将空间分成6部分 当平面 的位置关系如图 所示时 将空间分成6部分 当平面 的位置关系如图 所示时 将空间分成7部分 当平面 的位置关系如图 所示时 将空间分成8部分 因此n个平面最多能把空间分成2n个部分 变式训练1 如果平面 外有两点A B 它们到平面 的距离都是a 则直线AB和平面 的位置关系一定是 A 平行B 相交C 平行或相交D AB 答案 C 解析 结合图形可知选项C正确 通过添加辅助线或面 将空间几何问题转化为平面几何问题 这是一种降维转化思想 线线 线面 面面的位置关系可以相互转化 使它们建立联系 揭示本质 点面距 线面距 面面距 点线距之间也可相互转化 例如求点面距时 可沿平行线平移 找到一个合适的点求点面距离 这就体现了 点面距 线面距 点面距 的转化思想 等价转化思想 分析 1 证明线线垂直 应充分考虑平行 垂直的判定定理与性质定理以及转化思想的运用 2 考查空间角的求解 利用定义找出二面角的平面角是解决问题的关键所在 解析 1 证明 P在平面BCD内的射影为O 则PO 平面BCD BC 平面BCD PO BC BC CD CD PO O BC 平面PCD DP 平面PCD BC DP DP PB PB BC B DP 平面PBC 而PC 平面PBC PD PC 转化思想是证明线面平行与垂直的主要思路 其关系为 变式训练2 2015年江西宜春高一检测 在斜三棱柱A1B1C1 ABC 侧棱与底面不垂直 中 底面是等腰三角形 AB AC 侧面BB1C1C 底面ABC 若D是BC的中点 1 求证 AD CC1 2 过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱AA1于M 若AM MA1 求证 平面MBC1 侧面BB1C1C 解析 1 证明 连接AC 正四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面是正方形 AC BD 又AC DD1且BD DD1 D AC 平面BDD1B1 E F分别为棱AB BC的中点 EF AC EF 平面BDD1B1 EF 平面B1EF 平面B1EF 平面BDD1B1 求点到面的距离的关键是确定过点与平面垂直的线段 可通过外形进行转化 转化为易于求解的点 等体积法也是求点到平面的距离的常用方法 方法二 如图所示 过A作AE BC 过B作BF AC 交AE于点D 则四边形ACBD为正方形 连接SD 因为AC SA AC AD SA AD A 所以AC 平面SDA 所以AC SD 空间中直线与平面的位置关系是研究立体几何的核心问题 高考始终把直线与平面平行 垂直关系作为考查的重点 尤其是以多面体 主要是柱体和锥体 为载体的线面位置关系的论证是历年高考必考内容 预计在今后的高考中 选择题 填空题主要考查直线与平面的多重位置关系的判断 多面体模型中求空间角与距离的计算 解答题中主要考查直线与平面的平行与垂直 空间角与距离 或从探究的角度设问 研究直线与平面的位置关系 空间角和距离的计算 1 2015年山东 如图 在三棱台DEF ABC中 AB 2DE 点G H分别为AC BC的中点 1 求证 BD 平面FGH 2 若CF BC AB BC 求证 平面BCD 平面EGH 证明 1 因为DEF ABC是三棱台 AB 2DE 所以BC 2EF AC 2DF 因为点G H分别是AC BC的中点 所以GH AB 因为AB 平面FGH GH 平面FGH 所以AB 平面FGH 因为EF BH且EF BH 所以四边形BHFE是平行四边形 所以BE HF 因为BE 平面FGH HF 平面FGH 所以BE 平面FGH 因为AB BE B 所以平面ABE 平面FGH 因为BD 平面ABE 所以BD 平面FGH 2 连接HE 因为H是BC的中点 所以BC 2CH 又HC EF BC 2EF 所以四边形HCFE是平行四边形 所以HE CF 因为CF BC 所以HE BC 因为GH AB AB BC 所以GH BC 因为GH HE H 所以BC 平面EGH 又BC 平面BCD 所以平面BCD 平面EGH 2 2015年北京 如图 在三棱锥V ABC中 平面VAB 平面ABC VAB为等边三角形 AC BC且AC BC O M分别为AB VA的中点 1 求证 VB 平面MOC 2 求证 平面MOC 平面VAB 3 求三棱锥V ABC的体积 解析 1 证明 因为O M分别为AB VA的中点 所以OM VB 又OM 平面MOC VB 平面MOC 所以VB 平面MOC 2 证明 因为AC BC O为AB中点 所以OC AB 因为平面VAB 平面ABC 交线为AB OC 平面ABC 所以OC 平面VAB 又OC 平面MOC 所以平面MOC 平面VAB 3 2015年浙江节选 如图 在三棱柱ABC A1B1C1中 BAC 90 AB AC 2 A1A 4 A1在底面ABC的射影为BC的中点 D为B1C1的中点 求证 A1D 平面A1BC 证明 取BC的中点E 连接A1E AE DE 由题意得A1E 平面ABC 所以A1E AE 因为AB AC 所以AE