高考数学 第5节 空间中的垂直关系课件.ppt

第5节空间中的垂直关系 对应学生用书第104页 对应学生用书第104 105页 1 直线与平面垂直 1 直线与平面垂直的定义如果直线l与平面 内的任意一条直线都垂直 我们就说直线l与平面 互相垂直 2 直线与平面垂直的判定定理 3 直线与平面垂直的性质定理 质疑探究1 当直线ap与平面垂直时 它们所成的角是多少 当直线与平面平行或在平面内呢 3 平面与平面垂直 1 二面角 二面角的定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 这条直线叫做二面角的棱 两个半平面叫做二面角的面 如图 记作 二面角 l 或二面角 ab 或二面角pabq 二面角的平面角如图 二面角 l 若有 i o l ii oa ob iii oa l ob l 则 aob就叫做二面角 l 的平面角 2 平面与平面的垂直 定义 一般地 两个平面相交 如果它们所成的二面角是直二面角 就说这两个平面互相垂直 平面与平面垂直的判定定理 平面与平面垂直的性质定理 质疑探究2 垂直于同一平面的两平面是否平行 提示 不一定 可能平行也可能相交 1 设l m n均为直线 其中m n在平面 内 则 l 是 l m且l n 的 a a 充分不必要条件 b 必要不充分条件 c 充要条件 d 既不充分也不必要条件 解析 l l m l n 反之因为m n不一定相交 故l m且l n不一定推出l 2 如图 ab是 o的直径 pa垂直于 o所在的平面 c是圆周上不同于a b的任意一点 则图中互相垂直的平面共有 b a 4对 b 3对 c 2对 d 1对 解析 pa 平面abc 平面pab 平面abc 平面pac 平面abc 又ab是 o的直径 bc ac 又pa bc pa ac a bc 平面pac 故平面pbc 平面pac 共3对 选b 3 设m n是两条不同的直线 是两个不同的平面 则下列命题中正确的是 b a m n m n b m n m n c m n m n d m n m n 解析 a m m n n 则有可能 或 与 相交 排除a b m n m n成立 c d显然不正确 4 将正方形abcd沿ac折成直二面角后 dab 对应学生用书第105 106页 借助几何模型判断有关垂直命题的真假 例1 下列命题中 m n表示两条不同的直线 表示三个不同的平面 若m n 则m n 若 则 若m n 则m n 若 m 则m 正确的命题是 a b c d 运用几何模型中的线与面 面与面的关系判断命题的真假 是解决此类问题的常见方法 应注意以下几点 一是力求熟练画出几何体 最终达到不用画图 也能在头脑中想象出几何体的形状及其线面之间的关系 二是只要存在反例 则结论错误 而对于看似正确的结论 也要反复验证 必要时要运用判定或性质定理进行证明才能确定其正确性 变式探究11 2010年江南模拟 已知a b l表示三条不同的直线 表示三个不同的平面 有下列四个命题 若 a b 且a b 则 若a b相交 且都在 外 a a b b 则 若 a b a b 则b 若a b l a l b 则l 其中正确命题的序号是 解析 在正方体a1b1c1d1abcd中 可令平面a1b1cd为 平面dcc1d1为 平面a1b1c1d1为 又平面a1b1cd 平面dcc1d1 cd 平面a1b1c1d1 平面dcc1d1 c1d1 则cd与c1d1所在的直线分别表示a b 因为cd c1d1 但平面a1b1cd与平面a1b1c1d1不平行 即 与 不平行 故 错误 因为a b相交 假设其确定的平面为 根据a b 可得 同理可得 因此 正确 由两平面垂直 在一个平面内垂直于交线的直线和另一个平面垂直 易知 正确 当a b时 l垂直于平面 内两条不相交直线 不能得出l 错误 答案 直线和平面垂直的判定和性质 例2 如图 已知pa垂直于矩形abcd所在平面 m n分别是ab pc的中点 若 pda 45 求证 mn 平面pcd 思路点拨 证mn垂直于平面pcd内的两条相交直线cd和cp 需取cd的中点e 也可取pd的中点f 转化为证af 平面pcd 证明线面垂直 常用证法有两种 一是利用面面垂直的性质 二是利用线面垂直的判定定理 即证明直线a与平面 内的两条相交直线都垂直 变式探究21 若将例2条件改为 pad为正三角形 且平面pad 平面abcd 四边形abcd为矩形 m n分别是ab pc的中点 试问直线mn与平面pcd是否仍然垂直 平面与平面垂直的判定和性质 线线垂直 线面垂直 面面垂直 这三种垂直关系间的转化如下图 要熟练掌握 当两平面垂直时 常在其中一个平面内作交线的垂线 把面面垂直问题转化为线面垂直问题 然后进一步转化为线线垂直问题 找到或作出直线与平面所成的角 二面角的平面角或得到点到平面的距离等 例1 2009年高考北京卷 如图 在三棱锥pabc中 pa 底面abc pa ab abc 60 bca 90 点d e分别在棱pb pc上 且de bc 1 求证 bc 平面pac 2 当d为pb的中点时 求ad与平面pac所成的角的正弦值 3 是否存在点e使得二面角adep为直二面角 并说明理由 例2 2010年高考天津卷 如图 在五面体abcdef中 四边形adef是正方形 fa 平面abcd bc ad cd 1 ad 2 bad cda 45 1 求异面直线ce与af所成角的余弦值 2 证明cd 平面abf 3 求二面角befa的正切值 例3 如图 正方形acde所在的平面与平面abc垂直 m是ce和ad的交点 ac bc 且ac bc 1 求证 am 平面ebc 2 求直线ab与平面ebc所成的角的大小 3 求二面角aebc的大小 1 证明 四边形acde是正方形 ea ac am ec 平面acde 平面abc bc ac bc 平面eac am 平面eac bc am 又ec bc c am 平面ebc 错源 错用平面几何中的定理 例题 已知直线a 平面 a b b 求证 a 错解 由题设b 知直线b与平面 有交点 设交点为q 过直线a和点q作平面 交平面 于过点q的一条直线a 则a 如图所示 b b a 又 a b a a a a a 错解分析 在错解中 应用平面几何中的定理 垂直于同一条直线的两条直线平行 得a a 导致错误 该定理要求涉及的三条直线都在同一平面内 而现在仅有a和a 在平面 内 直线b不能保证也在平面 内 因而不能满足使用定理的条件 从而给出了错误的证明 选题明细表 一 选择题1 教室内任意放一支铅笔 则在教室的地面上必存在直线与铅笔所在的直线 d a 平行 b 相交 c 异面 d 垂直 解析 这支铅笔与地面存在三种位置关系 若在地面内 则c排除 若与地面平行则b排除 若与地面相交 则a排除选d 2 若m n是两条不同的直线 是三个不同的平面 则下列命题中的真命题是 c a 若m 则m b 若 m n m n 则 c 若m m 则 d 若 则 解析 两平面垂直并不能得到一个平面内的任一直线都与另一平面垂直 故a为假命题 以三棱柱的侧面和侧棱为例知b为假命题 若m 则 中必存在直线l与m平行 又m l 故 故选c 3 2010年烟台模拟 如图 在斜三棱柱abca1b1c1中 bac 90 bc1 ac 则c1在底面abc上的射影h必在 a a 直线ab上 b 直线bc上 c 直线ac上 d abc内部 解析 由ac ab ac bc1 ab bc1 b 得ac 平面abc1 ac 平面abc 平面abc1 平面abc c1在底面abc上的射影h必在两平面交线ab上 4 如图 在正四面体pabc中 d e f分别是ab bc ca的中点 下面四个结论不成立的是 d a bc 平面pdf b df 平面pae c 平面pdf 平面pae d 平面pde 平面abc 解析 因bc df 所以bc 平面pdf a成立 易证bc 平面pae bc df 所以结论b c均成立 点p在底面abc内的射影为 abc的中心 不在中位线de上 故结论d不成立 二 填空题7 正四棱锥sabcd的底面边长为2 高为2 e是边bc的中点 动点p在表面上运动 并且总保持pe ac 则动点p的轨迹的周长为 8 如图 在三棱柱abca1b1c1中 侧棱aa1 底面abc 底面是以 abc为直角的等腰直角三角形 ac 2a bb1 3a d是a1c1的中点 点f在线段aa1上 当af 时 cf 平面b1df