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中考数学典型习题讲解（十五）1、在直角梯形ABCD中，ADBC，ABC=90，AB=BC，E为AB边上一点，BCE=15，且AE=AD连接DE交对角线AC于H，连接BH下列结论：ACDACE；CDE为等边三角形；=2；其中结论正确的是（）A只有B只有C只有D解：由题意可知ACD和ACE全等，故正确；又因为BCE=15，所以ACE=4515=30，所以ECD=60，所以CDE是等边三角形，故正确；AE=AE，ACDACE，CDE是等边三角形，EAH=ADH=45，AD=AE，AH=EH=DH，AHDE，假设AH=EH=DH=x，AE=x，CE=2x，CH=x，AC=（1+）x，AB=BC，AB2+BC2=（1+）x2，解得：AB=x，BE=x，=，故错误；RtEBC与RtEHC共斜边EC，SEBC：SEHC=（BEBC）：（HEHC）=（ECsin15ECcos15）：（ECsin30ECcos30）=（ECsin30）：（ECsin60）=EH：CH=AH：CH，故此选项正确故其中结论正确的是故选B2、已知在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形（用阴影表示），点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x轴上若正方形A1B1C1D1的边长为1，B1C1O=60，B1C1B2C2B3C3，则点A3到x轴的距离是（）ABCD解：过小正方形的一个顶点W作FQx轴于点Q，过点A3FFQ于点F，正方形A1B1C1D1的边长为1，B1C1O=60，B1C1B2C2B3C3，B3C3 E4=60，D1C1E1=30，E2B2C2=30，D1E1=D1C1=，D1E1=B2E2=，cos30=，解得：B2C2=，B3E4=，cos30=，解得：B3C3=，则WC3=，根据题意得出：WC3 Q=30，C3 WQ=60，A3 WF=30，WQ=，FW=WA3cos30=，则点A3到x轴的距离是：FW+WQ=+=，故选：D3、七年级我们曾学过“两点之间线段最短”的知识，常可利用它来解决两条线段和最小的相关问题，下面是大家非常熟悉的一道习题：如图1，已知，A，B在直线l同一侧，在l上求作一点，使得PA+PB只要作点B关于l对称点B，（如图2所示）根据对称性知，PB=PB因此，求AP+BP就相当于求AP+PB，显然当A、P、B在一直线上时AP+PB，因此连接AB，与直线l交点就是要求点P有很多都用类似方法去思考探究：（1）如图3，正方形ABCD边长为2，E为BC中点，P是BD上一动点连接EP，CP，则EP+CP值是 ；（2）如图4，平面直角坐标系中有三点A（6，4）、B（4，6）、C（0，2），在x轴上找一点D，使得四边形ABCD周长，则点D坐标应该是；操作：（3）如图5，A是锐角MON内部任意一点，在MON边OM，ON上各求作一点B，C，组成ABC，使ABC周长（不写作法，保留作图痕迹）解：（1）点A是点C关于BD的对称点，连接AE，则AE就是EP+CP的最小值，EP+CP的最小值=AE=；（2）作点C关于x轴的对称点C，连接AC，则AC与x轴的交点即为点D的位置，点C坐标为（0，-2），点A坐标为（6，4），直线CA的解析式为：y=x-2，故点D的坐标为（2，0）；（3）分别作点A关于OM的对称点A、关于ON的对称点A，连接AA，则AA与OM交点为点B的位置，与ON交点为C的位置；如图所示：点B、C即为所求作的点4、如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，B=90，AD=13厘米，BC=16厘米，CD=5厘米，AB为O的直径，动点P沿AD方向从点A开始向点D以1厘米/秒的速度运动，动点Q沿CB方向从点C开始向点B以2厘米/秒的速度运动，点P、Q分别从A、C两点同时出发，当其中一点停止时，另一点也随之停止运动（1）求O的直径；（2）求四边形PQCD的面积y关于P、Q运动时间t的函数关系式，并求当四边形PQCD为等腰梯形时，四边形PQCD的面积；（3）是否存在某一时刻t，使直线PQ与O相切？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由解：（1）过点D作DEBC于E，BE=AD=13，BC=16，EC=3，在RtDCE中，由于DC=5，则DE=4，所以圆的直径为4厘米；（2）当P，Q运动t秒时，由点P，Q的运动速度为1厘米/秒和2厘米/秒，所以PD=（13-t）厘米，CQ=2t厘米，所以四边形PQCD的面积为y=AB(PD+CQ)，即y=2t+26（0t8）；当四边形PQCD为等腰梯形时，CQ-PD=2CE，所以2t-（13-t）=6，解得t=，这时y四边形PQCD=厘米2（3）存在若PQ与圆相切，切点G，作PHBC于H，所以PA=PG=t，QG=QB=16-2t，又得到QH=QB-HB=（16-2t）-t=16-3t，PQ=BQ+AP=16-t，根据勾股定理得PQ2=PH2+QH2，所以（16-t）2=16+（16-3t）2，解得t1=4+，t2=4-，因为4+，4-，都在0t8内，所以在t=( 4+)或t=4-秒秒时，直线PQ与圆相切 5、如图，在函数的图象上有点P1、P2、P3、Pn、Pn+1，点P1的横坐标为2，且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是2，过点P1、P2、P3、Pn、Pn+1分别作x轴、y轴的垂线段，构成若干个矩形，如图所示，将图中阴影部分的面积从左至右依次记为S1、S2、S3、Sn，则S1=4，Sn=（用含n的代数式表示）解：当x=2时，P1的纵坐标为4，当x=4时，P2的纵坐标为2，当x=6时，P3的纵坐标为，当x=8时，P4的纵坐标为1，当x=10时，P5的纵坐标为：，则S1=2（42）=4=2；S2=2（2）=2=2；S3=2（1）=2=2；Sn=2=；故答案为：4，6、如图，在平面直角坐标系中，RtOAB的顶点A在x轴的正半轴上顶点B的坐标为（3，），点C的坐标为（，0），点P为斜边OB上的一个动点，则PA+PC的最小值为（）ABCD2解：作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，过D作DNOA于N，则此时PA+PC的值最小，DP=PA，PA+PC=PD+PC=CD，B（3，），AB=，OA=3，B=60，由勾股定理得：OB=2，由三角形面积公式得：OAAB=OBAM，AM=，AD=2=3，AMB=90，B=60，BAM=30，BAO=90，OAM=60，DNOA，NDA=30，AN=AD=，由勾股定理得：DN=，C（，0），CN=3=1，在RtDNC中，由勾股定理得：DC=，即PA+PC的最小值是，故选B7、如图所示，在直角坐标系中放置一个边长为1的正方形ABCD，将正方形ABCD沿x轴的正方向无滑动的在x轴上滚动，当点A离开原点后第一次落在x轴上时，点A运动的路径线与x轴围成的面积为（）ABC+1D：解：如图所示：点A运动的路径线与x轴围成的面积=S1+S2+S3+2a=+2（11）=+1故选C8、如图，在平面直角坐标系中，点O是原点，点B（0，），点A在第一象限且ABBO，点E是线段AO的中点，点M在线段AB上若点B和点E关于直线OM对称，则点M的坐标是（ ）解：点B（0，），OB=，连接ME，点B和点E关于直线OM对称，OB=OE=，点E是线段AO的中点，AO=2OE=2，根据勾股定理，AB=3，tanA=，即=，解得AM=2，BM=ABAM=32=1，点M的坐标是（1，） 故答案为：（1，）9、如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=3，边CD在直线l上，将矩形ABCD沿直线l作无滑动翻滚，当点A第一次翻滚到点A1位置时，则点A经过的路线长为 解：四边形ABCD是矩形，AB=4，BC=3，BC=AD=3