几何画板辅助数学命题的案例设计.doc

学号 密级_ 几何画板辅助数学命题的案例设计学 院 名 称：数 学 学 院专 业 名 称：数学与应用数学学 生 姓 名：孙 毅指 导 教 师：陈 婷 二一二年五月BACHELORS DEGREE THESIS OF LANZHOU CITY UNIVERSITY Assist the sketchpad mathematical proposition case designCollege : School of MathematicsSubject : Mathematics and Applied MathematicsName : Sun YiDirected by: Chen TingMay 2012郑 重 声 明 本人呈交的学位论文，是在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，所有数据、图片资料真实可靠。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含他人享有著作权的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确的方式标明。本学位论文的知识产权归属于培养单位。本人签名： 日期： 摘 要在新课程改革的背景下，如何使用信息技术以提高初中数学教学的有效性，如何让信息技术成为初中数学教学和学习的有力工具，是广大数学教师面临的迫切需要解决的问题。由于几何画板具有动态演示交互、计算精确等特点，非常适合于数学教学，因而引起了人们的关注。本研究主要从对具体案例的分析中，揭示几何画板如何更好的体现数学命题的本质。并结合实例总结了几何画板在数学教学中有效辅助应用的一些重要原则和需要注意的一些问题，以指导数学命题教学实践，促进几何画板在数学命题教学中发挥更大的作用，有效地促进数学课程目标的实现。关键词：初中数学，几何画板，数学命题ABSTRACT In the context of the new curriculum reform, how to use IT to improve the effectiveness of the junior high school mathematics teaching, how to make IT to become a powerful tool for junior high school mathematics teaching and learning, is the urgent need to address the problems faced by the majority of mathematics teachers.The Geometers Sketchpad dynamic demonstration of interaction, and calculate accurate, very suitable for the teaching of mathematics, and thus aroused concern. In this study, mainly from the analysis of specific cases, to reveal the Sketchpad how better reflect the nature of mathematical propositions. With examples and summarizes the Geometers Sketchpad in teaching mathematics effectively assist the application of a number of important principles and the need to pay attention to some of the problems, mathematical propositions to guide teaching practice, to promote the Geometers Sketchpad to play a greater role in the teaching of mathematical propositions, effective in promoting mathematics goals of the course.Keywords: junior high school mathematics, Geometers Sketchpad, mathematical propositions目 录第一章 引 论11.1 问题的提出11.2 文献综述21.3 研究意义31.4 研究方法4第二章几何画板辅助数学命题教学的案例设计42.1关于数学命题42.2具体案例设计与分析6第三章几何画板辅助数学命题教学的建议113.1几何画板辅助数学命题教学的原则113.2几何画板辅助数学命题教学应该注意的几个问题12结束语13参考文献14致谢15第一章 引 论1.1 问题的提出进入21 世纪，信息技术发展迅猛异常，以知识经济为主导的信息时代已全面到来，同时信息技术也全方位渗透到人们生活的各个层面，教育也囊括其中，在这样一个大背景下，几何画板，作为在信息时代下利用计算机辅助中学数学教学的软件，也越来越受到人们的重视和青睐，其重要的现实意义初显端倪。自19 世纪末以来，以克莱因贝利运动为发端的数学教育教学改革不断深化，其改革内容由最初的课程内容改革逐渐扩展到教学方法的改革。20 世纪40 年代以来，伴随原子能、电子计算机，空间技术、遗传工程等先进的高科技领域的相继出现，同时也给数学教育提出了现代化的要求。但是，传统的数学教学内容、教学理论和教学方法已无法适应这一时代发展的需要。在美国，首先兴起了数学教育现代化运动，到20 世纪60 年代，数学教育现代化运动已波及到了几乎所有的西方国家，当时的几次重要会议对数学教育现代化运动的兴起、发展起到很大的作用。从20 世纪60 年代初到70 年代初，“数学教育现代化运动”（ 简称“新数”运动），其范围也从发达国家逐步扩展到发展中国家，中小学数学教育的改革由最初的课程内容改革逐渐扩展到教学方法的改革。另外，与之相适应的师范学院的教学计划和课程内容也作了相应的改革。1980年8月，第四届国际数学教育大会（ICME4）在美国伯克利举行，会议进一步深化了数学改革，明确提出要充分发挥计算器和计算机在数学教学中的作用，加强讲授的直观性，加强技能训练，帮助学生理解数学概念、证明数学定理、解决数学问题及模拟复杂系统，提高学生学习数学的兴趣；用计算机管理教学，记录学习成绩，拟定教学程序，追踪、调控学习进度。当前，世界各国都在研究如何充分利用信息技术提高教学质量和效益的问题，加强信息技术的应用，己成为各国数学教学改革的重要方向。美国数学教师协会于2000 年4 月颁发的数学课程标准中，在数学教育史上第一次把信息技术列为六项基本原理之一。英、法、德、俄、日、新加坡、香港等发达国家和地区在数学课程大纲中都对计算器等信息技术的运用作了具体要求。目前，关于如何充分利用信息技术提高数学教学质量和效益的问题，也是我国教育教学改革的重要内容之一。我国全日制义务教育国家数学课程标准(实验稿)在基本理念中也指出:“特别要充分考虑计算器计算机对数学学习内容和方式的影响，把现代技术作为学生学习和解决问题的强有力工具，致力于改变学生的学习方式，使学生乐意并有更多的精力投入到现实的探索性的数学活动中去。”可见，借助多媒体技术实现教育教学内容的改革，已成为将来教学改革的重要方向。 而几何画板的运用就是对数学教学改革的一个重要推进，自1995年几何画板由人民教育出版社汉化发行推广以来，深受中学数学老师和广大学生的欢迎，它如同一块展现动态图形的黑板，打破了传统尺规的教学方法，为创新教学模式注人了无限的活力，已成为当前国内推广较好的专业性软件平台。很多一线教师都有运用几何画板进行教学的经验和体会，也出现了一些关于几何画板辅助中学数学教学的研究，但总的来说，在常规教学中运用不多，很多都是在日常教学条件下难以实现的教学模式，或是仅仅对一些图像的模拟再现，或是缺乏系统性、连贯性，还没有成熟的应用于计算机辅助教学的教学法。另外几何画板的使用对学生学习方式和学习效果产生什么样的影响，我们应该怎样合理地运用各种有利因素，帮助学生改变目前比较机械的学习方式，一直是个未彻底解决的问题，有待不断的研究。1.2 文献综述 为了掌握几何画板在初中几何教学中应用的研究现状，笔者从CNKI期刊全文数据库中查阅了大量相关文献，期望管中窥豹能见一斑从所查阅的文献分析来看，总结如下：在几何画板的介绍和推广上，自1995年引进我国以来，许多学者、教师在这方面进行了大量的宣传和普及工作，其中陶维林.几何画板实用范例教程, 北京：北京师大出版社 ,2008.陶维林的几何画板实用范例教程起到了推波助澜的作用，许多教师将自己使用几何画板的心得体会和一般经验进行了介绍，文认为几何画板具有动态形象性、简单实用性、不需要编程、容易学习、操作简单、具有强大的动画功能、具有记录和制作工具功能、交互性强的优特点，是一种形象化的强有力的工具、可用于“做数学”的实验室等特性，结合了具体的教学实例对几何画板的使用加以阐述和推广。在几何画板课件制作上，许多教师进行了研究实践，罗朝阳. 例谈几何画板在初等几何研究教学中的应用,昌吉学院学报,2006.罗朝阳、李庆锁,侯小华. 几何画板在做数学中的应用, 上海中学数学2007.李庆锁等利用几何画板的精髓就是图像在运动中保持给定的几何性质，来探索解决定值问题，利用动态追踪点的功能进行轨迹的探求，并将动态效果应用于几何概念的理解，应用于探究教学。司永斌利用几何画板课件突破函数教学难点等等，刘胜. 几何画板课件制作教程,北京高等教育出版社,2010刘胜利老师还专门出了几何画板课件制作教程一书，为几何画板课件的开发与运用提供了方法和依据。 在几何画板开展素质教育、创新教育上，由于几何画板可以很灵活地用鼠标拖动图形中的某些对象或用参数的变化来动态地显示图形或轨迹变化过程，展现动态几何魅力的特性胡华春, 付恩成. 对几何画板在初中几何中的应用,华东师范大学数学系, 2006.胡华春等对几何画板在初中几何中的应用进行了研究，得出运用几何画板创设直观情境，可以加深对概念的理解和区分；利用动态图形变换，进行变式教学，可以培养学生的迁移能力；利用动态几何作图功能，验证动态几何图形中隐藏的规律，可以增强直观感觉、加深认识许兴业在“信息技术与中学数学教学整合的探究”课题研究报告中提到通过几何画板所构建教与学的认知平台，还可以进行数学实验和探究性学习，学生以研究者的身份学习数学，突出学生的主体地位，使学生由“听数学转为“做数学，从被动地学习变为主动的发现，才能获得丰富的数学活动经验，才能比较全面地发展数学思维，通过实践取得了一定的成绩。1.3 研究意义 21世纪以计算机多媒体和互联网为代表的信息技术正迅速而深刻地改变着人们的工作方式、交往方式、生活方式和思维方式,不少专家指出信息技术必将改变传统的教学内容、教学方法教学模式与教学观念。信息技术在推动数学教学改革方面都有着巨大潜力。因此掌握信息技术应该是信息时代对教师的基本要求。几何画板功能强大，可以通过各种方法创设情境，从而形成具有启发性的教学环境，比如：语言、图形以及动画，在学生对命题的理解过程中有积极的作用，对于老师来说几何画板在命题教学中可以更加直观的向学生展示命题的本质，所以研究本课题对于教师的教和学生的学有重大意义。1.4 研究方法本论文主要采用了文献法展开课题讨论与研究。文献是指已发表过的，或虽未发表但已被整理、报道的那些记录有知识的“一切载体”。“一切载体”，不仅包括图书、期刊、学位论文、科学报告、档案等常见的纸面印刷品，也包括有实物形态在内的各种材料。文献法主要指搜集、鉴别、整理文献，并通过对文献的研究形成对事实的科学认识的方法。文献法是一种古老、而又富有生命力的科学研究方法。对现状的研究，不可能全部通过观察与调查，它还需要对与现状有关的种种文献做出分析。运用文献法可以“了解到前人对于本问题已经做了哪些研究，解决了哪些问题，还有哪些问题没有解决。”利用文献进行研究必须经过查阅、鉴别、整理等阶段，下面主要介绍文献法的使用过程。文献查阅的内容、范围包括以下几个方面：报纸、期刊上有关教科书的经验性、理论性以及评述性论文；中国近代数学教育史、近代学制等相关书籍。其中报纸、期刊主要查阅了数学通报、教育学报、数学教育学报上相关的文献资料，并通过中国学术期刊全文数据库进行相关文献检索。以“几何画板”、“命题教学”作为关键词，检索到大量相关学术论文。对查阅到的相关文献及著作进行分类和梳理，本论文在写作过程中的主要参考资料可大致分为两类：一类是关于几何画板在教学中的辅助作用的书籍文献资料；另一类是关于数学命题内容方面的文献资料。第二章几何画板辅助数学命题教学的案例设计21关于数学命题数学中的定义、公理、定理、公式、性质和法则等都是数学命题。由于数学命题是把概念联系起来，形成完整的数学学科的主干内容，因此，只有掌握好数学命题，才能通晓数学的体系结构，学好数学。有效的数学命题教学，有助于学生牢固掌握数学知识的结构，有助于数学思维的发展和解决问题能力的提高。数学命题教学的基本任务，是使学生认识命题的条件、结论，掌握数学命题的内容和表达形式，掌握命题的推理过程或证明方法，运用所学的数学命题进行计算、推理或论证，提高数学基本能力，解答实际问题。并在此基础上，熟悉基本的数学思想和数学方法，弄清数学命题间的关系，把学过的命题系统化，形成结构紧密的知识体系。教学中必须确信学生在他的直观形象中领悟了每一个要领和定理。某人可能忘记他学过的几何，但对于空间的感知和空间想象能力诸方面的痕迹将永远保留下来。几何画板一般总能抽象问题形象化，静态问题动态化，代数问题解析化，学生通过数量关系、图形的位置的变化，更好的理解数学命题的一般性，加深了对命题的理解。 数学公理是无条件承认的相互制约的规定，是一些不证自明的命题。在理论形式上，公理是逻辑推理的大前提，是数学需要用作自己的出发点的少数思想上的规定,它们的真实性不是由逻辑推理来确定的，而是经过人类长久以来的实践直接证实的。中学数学中的公理，大多出现在几何教材里。既然公理是不加证明的命题，其真实性又是长期生活、生产实践总结出来的，在中学数学中又是证明其他命题的出发点，所以，在教学中应该让学生很好地理解公理的真实性。这就要从日常生活中所熟知的实际事例或从给学生提供的实验资料等直观因素中，归纳地引进公理。例如，在教学公理“两点确定一条直线”时，可以举出以下学生熟悉的事例：木工通过木板上的两点可以弹出一条直的墨线；园林工人在人行道上植树时，只要先定出两棵树的位置，就能定出一行树所在直线的位置；射击队员将枪上的“缺口”和“准心”两点确定的一条直线，延长后对准目标，即可射击命中；等等。之后我们可以用几何画板直观的演示出来，让学生从日常生活中所熟知的实际事例得以验证。在此基础上，学生就会自然地用数学中的几何语言归纳出公理“两点决定一条直线，并且只能有一条直线。数学定理包括代数中的公式、法则和几何中的定理、推论。在定理的教学中，要使学生认识定理的条件和结论；了解怎样探索证明的途径；明确定理的适用范围；掌握相关定理间的内在联系。 定理的引入。这是定理教学的一个重要环节，这一环节处理的好坏，对培养学生的创新意识和实践能力有直接的影响通过实践、探索、猜想发现命题。在教学中有目的提出一些供研究、探讨的素材，对学生进行必要的启示引导，让学生在一定的情境中独立思考，通过运算、实践或观察、分析、类比、归纳、作图等步骤，探索规律、提出猜想、形成命题，然后再设法证明，获得定理。例如，“三角形内角和定理”，可以在几何画板上任意画出一个三角形，然后度量它的每一个内角并加起来，从而发现定理；“两数和的平方公式” 可以通过作图（如图1），引导学生分析图形中面积之间的关系得出。 图（1） 学习几何中的相交弦定理、割线定理、切割线定理、切线长定理以后，可以用运动变化的观点，生动巧妙地阐明它们之间的内在联系。2.2具体案例设计与分析案例1：正弦定理 数、形结合是一种重要的数学思想，能帮助学生更好地分析和解决数学问题。在传统的数学教学中，虽然教师也经常贯穿数、形结合思想，但在教学的实际操作中却很难实现数与形的完美结合。而利用几何画板则可轻松实现。例如在“正弦定理”的教学中，（正弦定理概述为：在一个三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等。）利用几何画板的度量和计算功能，可以绘制如图（2）的图形，并显示相关值的变化情况。从图中可以很明显地看出ABC 中，各边所对的角的正弦的比值相等，再任意拖动ABC 的任一顶点，若任意改变ABC 的形状，则会显示ABC 的三边和它的三个角的度量值都随着ABC 形状的改变而变化，但各边和它所对的角的正弦的比值却始终相等。通过这样的既有形象的图形动态展示，又有定量的数值研究的教学，使数与形得到了完美的结合。同时也使学生更好地理解了“三角形各边和它所对的角的正弦的比总是相等的”这一不变规律。 图（2）案例2：角平分线在讲解“一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线一定是这个角的平分线。”这个命题时，可以用几何画板先任意画出两个有公共边的且相等的角，如图（3）然后再做出大角角平分线，我们就可以看到角平分线和两角的公共边重合，让学生直观的看到演示过程。 图（3）案例3：二次函数的图象和性质利用几何画板提供的坐标系、度量和计算功能，可以很方便地绘制一般的函数图像和含有参数的函数图像。通过绘制有参数的函数图像，能很好地帮助学生建构知识，沟通相关知识间的联系，使学生在直观图形的帮助下形成较为完整的知识体系。如：教学“二次函数的图像和性质”时，用几何画板绘制一个以二次函数y = a x 2 + b x + c 的系数a、b、c为“动态参数”的图像，动态的演示参数a、b、c变化时函数图像的变化情况，从而直观形象地建立二次函数在各个特殊点的图像，借助几何画板学生就能较容易地、全面地、正确地自我探索和建构知识，从而使学生系统地掌握数学知识、提高分析和解决数学问题的能力。如图（4 图（4）案例4：函数y =A s i n(x+)的图像在三角函数的教学中，我们可以利用几何画板提供的坐标系、度量和计算功能，准确的画出三角函数的图像，应用几何画板，函数的精确图像可以快速、精确、直观的显示出来，这样可以大大提高课堂效率，进而起到事半功倍的效果。例如在讲授函数y A s i n( x+)的图像时，要用几个课时的时间分别对A、的不同取值做出图像，然后再“观察”总结，没有动态的演示，没有更多的比较、更多的探索。现在用几何画板展示“y =A s i n(x+)的图像”，让学生分别拖动控制按钮A、，就可以真正观察到函数图像生成的变化过程及结果（如图5）。 图（5）案例6：方程的近似根如果用常规方法解这个方程，会出现三次方程，这对初中生来说有很大困难。而从数形结合的角度看，求方程的近似解相当于求两个函数图象的交点坐标问题。如图（6） 图（6）在这个题中我们求的是近似根，三次方程的解法对学生来说有很大的困难，但在几何画板中学生可以直观的找出两个图像的交点，把困难的三次方程问题转化成了坐标问题，对学生解题起了很大的作用。第三章几何画板辅助数学命题教学的建议3.1几何画板辅助数学命题教学的原则从本质上来说，几何画板在几何动态教学的有效辅助应用要以新课程的基本理念为指导，结合具体的几何教学难点和几何教学过程，充分利用几何画板的特点，采取以学生为主体的教学模式，有效地开展研究性学习、探究教学，发展学生的认知能力、空间想象能力、问题解决能力、创新能力。在具体实践上，应加强提高对有效辅助应用的认识，把握好以下几个原则：1电脑虚拟实验与实物演示实验相结合原则新课程重视实验的作用，在有效辅助应用几何画板时，一方面应认识到实物实验在培养学生观察能力、动手能力、实验能力等方面所具有的不可替代的作用，不能用虚拟实验完全取代实物的演示实验，如学生首先遇到的就是考试时不能用电脑，无法用电脑虚拟；另一方面也应看到实物实验在可行性、可视性、可测性、精确性上有一定的局限和不足，这时需要结合虚拟实验来分析几何过程和几何原理，促进学生认知和思维方面的有效发展。2数形结合与拓展原则几何学的基本问题就是数与形的问题。传统的教学虽然也重视数与形的教学，但由于受到表现能力、计算能力的限制，使得教学更注重几何语言的描述和推理，以及简单的结论确定的问题和计算问题。几何画板能够有效地解决数的度量计算问题和形的动态表现问题，实现数形结合、数形转化来深入地研究和解决几何问题它的有效应用则需要在掌握了基本的几何知识之后，拓展传统的教学空间，从而由静态向动态拓展，由简单向复杂拓展，由抽象向形象拓展，由点、线问题向线、面、空间问题拓展，由验证已知规律向探索、验证未知规律拓展，由确定性问题向未知结论问题拓展，在教学的拓展过程中进一步提高和发展学生对数和形的认识与数形结合的能力。3主体参与原则建构主义教学强调学生在个体经验的基础上发挥主观能动性，通过教师创设的学习情境以及和数学学习活动的对话、交流积极主动地实现数学知识的意义建构。数学新课程标准中强调数学活动是师生共同参与、交往互动的过程有效的数学教学活动是教师教与学生学的统一，学生是数学学习的主体，教师是数学学习的组织者与引导者。数学教学活动必须激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生思考；要注重培养学生良好的学习习惯、掌握有效的学习方法学生学习应当是一个生动活泼的、主动地和富有个性的过程，除接受学习外，动手实践、自主探索与合作交流也是数学学习的重要方式，学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、验证、推理、计算、证明等活动过程。就几何画板辅助数学教学而言，几何画板自始至终只是学生学习的认知工具，只起辅助的脚手架作用，它不能替代学生的思考与自主建构，也不能替代起主导教师的作用。学生作为主体，参与的主要途径有数学实验等，能帮助学生更好地掌握、巩固几何规律、几何方法。4激发深层学习动机与兴趣原则建构主义理论和新课程理念都重视学生几何兴趣的激发和科学情感态度价值观的形成，在几何画板的有效辅助应用中也应注意把握这个原则，比如通过创设动态探究情境，引发学生学习的好奇心和兴趣；鼓励学生用几何画板探究几何问题，对学生产生的奇思妙想加以肯定，对做得好的课件加以展示，让学生从中体会成功的喜悦、创造的快乐。让学生在做中学、在学中做，促进学生更深入地理解几何规律、应用几何规律，最终培养学生对几何的深层兴趣。3.2几何画板辅助数学命题教学应该注意的几个问题 在我们应用几何画板辅助数学命题教学的过程中，应该注意以下几方面的问题：1几何画板软件的最大特点是能够动态地保持给定数或形的关系，克服了传统教学方法在反映变量关系和动态属性时的弱点，能有效突破几何教学中的重点、难点，培养学生以运动的观点来探究数形关系和图形性质的能力，达到事半功倍的教学效果因此，教师应重视提高几何画板操作技术水平和应用能力。在运用时要重视对几何的学科特点与学生的学习特点的认识，分析几何学习难点产生的原因，有针对性地利用几何画板来化解几何教学难点，有效降低学生学习的难度，使学生建立学习几何的信心。2、几何画板在动态制作与动态演示上的确有其独到之处。在课件制作的理念上，应充分考虑到教师的主导作用及学生的主体作用，不能搞成放电影式的教学，具体操作时节奏不能太快，只追求容量，这样往往造成虽然增大了课堂容量但授课效果比传统教学还大大不如，因此要设计适合的速度和容量，多留给学生思考的时间。3教师在运用时只是起辅助性作用，在教学中要给学生留出自主思考的时间和空间，只有在学生不易想到，教师不易讲清的地方运用，不能用几何画板的演示完全取代学生的思考过程、塞满学生的头脑，这样不仅是学生的空间能力得不到发展，也不利于学生思维的培养，而应让学生经历知识的主动建构过程。不然，在考试中学生讲无所适从。同时还应注意培养学生的自主思维、想象能力。4在几何教学中并不是所有的几何教学内容都适合运用几何画板来学习，如果用常规的教学用具就能很好的实现教学目标，就没必要使用几何画板；几何画板在动态、数形结合方面具有优势，但学生的实际动手能力、运算能力和思考能