学案3函数的基本性质.ppt

学案3函数的基本性质 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 返回目录 考纲解读 返回目录 1 函数的单调性与最值在高考中常以选择 填空题形式出现 但近几年高考常以导数为工具 研究函数的单调性 因此本部分内容在高考中占有十分重要的地位 2 函数的奇偶性常与函数的单调性 最值等结合考查 是高考考查的热点 3 函数的奇偶性 以选择 填空题居多 且是高考考查的热点 预测明年仍将是考查的热点 考向预测 返回目录 1 函数的单调性 1 单调函数的定义设函数f x 的定义域为I 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1 x2 当x1 x2时 若 则f x 在区间D上是 若 则f x 在区间D上是 f x1 f x2 f x1 f x2 增函数 减函数 返回目录 2 单调区间的定义若函数f x 在区间D上是或 那么就说函数f x 在这一区间上具有 严格的 单调性 叫做f x 的单调区间 2 判断函数单调性的方法 1 定义法 利用定义严格判断 2 利用函数的运算性质 如若f x g x 为增函数 则 f x g x 为增函数 为减函数 f x 0 为增函数 f x 0 f x g x 为增函数 f x 0 g x 0 f x 为减函数 增函数 减函数 区间D 3 利用复合函数关系判断单调性 法则是 即两个简单函数的单调性相同 则这两个函数的复合函数为 若两个简单函数的单调性相反 则这两个函数的复合函数为 4 图象法 5 奇函数在关于原点对称的区间上具有的单调性 偶函数在关于原点对称的区间上具有的单调性 返回目录 同增异减 增函数 减函数 相同 相反 6 导数法 若f x 在某个区间内可导 当f x 0时 f x 为函数 当f x 0时 f x 为函数 若f x 在某个区间内可导 当f x 在该区间上递增时 则f x 0 当f x 在该区间上递减时 则f x 0 3 奇函数 偶函数的概念一般地 如果对于函数f x 的定义域内任意一个x 都有 那么函数f x 就叫做偶函数 一般地 如果对于函数f x 的定义域内任意一个x 都有 那么函数f x 就叫做奇函数 返回目录 f x f x f x f x 增 减 返回目录 4 判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性 一般都按照定义严格进行 一般步骤是 1 考查定义域是否关于 2 根据定义域考查表达式f x 是否等于f x 或 f x 若f x 则f x 为奇函数 若f x 则f x 为偶函数 若f x 且f x 则f x 既是奇函数又是偶函数 若f x f x 且f x f x 则f x 既不是奇函数又不是偶函数 即非奇非偶函数 f x 原点对称 f x f x f x 5 奇偶函数的性质 1 奇函数在关于原点对称的区间上的单调性 偶函数在关于原点对称的区间上的单调性 填 相同 相反 2 在公共定义域内 两个奇函数的和是 两个奇函数的积是 两个偶函数的和 积是 一个奇函数 一个偶函数的积是 返回目录 奇函数 相同 相反 奇函数 偶函数 偶函数 返回目录 考点1函数单调性的判定及证明 试讨论函数f x x 1 1 的单调性 其中a 0 分析 可根据定义 先设 1 x1 x2 1 然后作差 变形 定号 判断 也可以求f x 的导函数 然后判断f x 与零的大小关系 返回目录 解析 解法一 任取x1 x2 1 1 且x10 则 y f x2 f x1 10 0时 y f x2 f x1 0 此时函数f x 在 1 1 上为增函数 返回目录 解法二 a 0时 f x 0 函数f x 在 1 1 上为增函数 对于给出具体解析式的函数 判断或证明其在某区间上的单调性问题 可以结合定义 基本步骤为取点 作差或作商 变形 判断 求解 可导函数则可以利用导数解之 返回目录 讨论函数f x x a 0 的单调性 解法一 显然f x 为奇函数 所以先讨论函数f x 在 0 上的单调性 设x1 x2 0 则 当01 则f x1 f x2 x2 时 00 即f x1 f x2 故f x 在 上是增函数 f x 是奇函数 f x 分别在 上为增函数 f x 分别在 0 0 上为减函数 返回目录 f x1 f x2 返回目录 解法二 由f x 1 0可得x 当x 时或x0 f x 分别在 上是增函数 同理0 x 或 x 0时 f x 0 即f x 分别在 0 0 上是减函数 考点2复合函数的单调性 判断函数f x 在定义域上的单调性 分析 此题f x 是由f x u x x2 1两个函数复合而成 只需判断这两个函数的单调性 返回目录 解析 函数的定义域为 x x 1或x 1 则f x 可分解成两个简单函数 f x u x x2 1的形式 当x 1时 u x 为增函数 为增函数 f x 在 1 上为增函数 当x 1时 u x 为减函数 为减函数 f x 在 1 上为减函数 返回目录 返回目录 1 复合函数是指由若干个函数复合而成的函数 它的单调性与构成它的函数u g x y f u 的单调性密切相关 其单调性的规律为 同增异减 即f u 与g x 有相同的单调性 则f g x 必为增函数 若具有不同的单调性 则f g x 必为减函数 2 讨论复合函数单调性的步骤是 求出复合函数的定义域 把复合函数分解成若干个常见的基本函数并判断其单调性 把中间变量的变化范围转化成自变量的变化范围 根据上述复合函数的单调性规律判定其单调性 但应注意这种方法主要用在填空题的求解过程中 解答题一般用定义或导数法 返回目录 求函数的单调区间 解析 由4x x2 0 得函数的定义域是 0 4 令t 4x x2 则y t 4x x2 x 2 2 4 t 4x x2的单调减区间是 2 4 增区间是 0 2 又y 在 0 上是减函数 函数y 的单调减区间是 0 2 单调增区间是 2 4 返回目录 2010年高考广东卷 若函数f x 3x 3 x与g x 3x 3 x的定义域均为R 则f x 为 g x 为 考点3判断函数的奇偶性 分析 判断函数奇偶性应分两步 1 定义域是否关于原点对称 2 判断f x 与f x 的关系 解析 f x 3x 3 x f x 3 x 3x f x f x 即f x 是偶函数 又 g x 3x 3 x g x 3 x 3x g x g x 即函数g x 是奇函数 返回目录 返回目录 返回目录 判断下列函数的奇偶性 1 f x 2 f x log2 x x R x2 x x0 4 f x lg x 2 分析 判断函数奇偶性应分两步 1 定义域是否关于原点对称 2 判断f x 与f x 的关系 3 f x 返回目录 解析 1 x2 1 0且1 x2 0 x 1 即f x 的定义域是 1 1 f 1 0 f 1 0 f 1 f 1 f 1 f 1 故f x 既是奇函数又是偶函数 2 已知f x 的定义域为R f x log2 x log2 log2 x f x f x 是奇函数 返回目录 3 当x0 则f x x 2 x x2 x f x 当x 0时 x0 得x 2 f x 的定义域 x x 2 关于原点不对称 故f x 既不是奇函数也不是偶函数 返回目录 2010年高考江苏卷 设函数f x x ex ae x x R 是偶函数 则实数a的值为 分析 利用f x f x 对任意x R恒成立 解a的值 解析 因为f x 是偶函数 所以恒有f x f x 即 x e x aex x ex ae x 化简得x e x ex a 1 0 因为上式对任意实数x都成立 所以a 1 考点4函数奇偶性的应用 返回目录 对任意x恒成立与解关于x的方程是不一样的 注意区别 返回目录 设函数f x x3 bx2 cx x R 已知g x f x f x 是奇函数 1 求b c的值 2 求g x 的单调区间与极值 解析 1 f x x3 bx2 cx f x 3x2 2bx c 从而g x f x f x x3 bx2 cx 3x2 2bx c x3 b 3 x2 c 2b x c是一个奇函数 g 0 0得c 0 由奇函数定义得b 3 2 由 1 知g x x3 6x 从而g x 3x2 6 由此可知 和 是函数g x 的单调递增区间 是函数g x 的单调递减区间 g x 在x 时 取得极大值 极大值为4 g x 在x 2时 取得极小值 极小值为 4 返回目录 返回目录 考点5函数的周期性 已知函数f x 的定义域为R 且满足f x 2 f x 1 求证 f x 是周期函数 2 若f x 为奇函数 且当0 x 1时 f x x 求使f x 在 0 2009 上的所有x的个数 分析 1 只需证明f x T f x 则f x 即是以T为周期的周期函数 2 由第 1 问可知只需求一个周期中f x 的x的个数便可知在 0 2009 上的x的个数 返回目录 解析 1 证明 f x 2 f x f x 4 f x 2 f x f x f x 是以4为周期的周期函数 2 当0 x 1时 f x x 设 1 x 0 则0 x 1 f x x x f x 是奇函数 f x f x f x x 即f x x 故f x x 1 x 1 又设1 x 3 则 1 x 2 1 f x 2 x 2 返回目录 又 f x 2 f 2 x f x 2 f x f x f x x 2 f x x 2 1 x 3 x 1 x 1 x 2 1 x 3 由f x 解得x 1 f x 是以4为周期的周期函数 故f x 的所有x 4n 1 n Z 令0 4n 1 2009 则 n 又 n Z 1 n 502 n Z 在 0 2009 上共有502个x使f x f x 返回目录 判断函数的周期只需证明f x T f x T 0 便可证明函数是周期函数 且周期为T 函数的周期性常与函数的其他性质综合命题 是高考考查的重点问题 返回目录 对函数f x 在 上满足f 2 x f 2 x f 7 x f 7 x 且在闭区间 0 7 上 只有f 1 f 3 0 1 试判断函数y f x 的奇偶性 2 试求方程f x 0在闭区间 2005 2005 上的根的个数 并证明你的结论 f 2 x f 2 x f 7 x f 7 x f x f 4 x f x f 14 x f 4 x f 14 x f x f x 10 从而知函数y f x 的周期为T 10 又f 3 f 1 0 而f 7 0 故f 3 0 故函数y f x 是非奇非偶函数 返回目录 1 由 返回目录 2 由 1 知y f x 的周期为10 又f 3 f 1 0 f 11 f 13 f 7 f 9 0 故f x 在 0 10 和 10 0 上均有两个解 从而可知函数y f x 在 0 2005 上有402个解 在 2005 0 上有400个解 所以函数y f x 在 2005 2005 上有802个解 返回目录 1 1 单调性首先要求函数的定义域 单调区间是定义域的子区间 2 根据函数的单调性的定义 证明 判定 函数f x 在其区间上的单调性 其步骤是 设x1 x2是该区间上的任意两个值 且x1 x2 作差f x1 f x2 然后变形 判定f x1 f x2 的符号 根据定义作出结论 3 求函数的单调区间首先应注意函数的定义域 函数的增减区间都是其定义域的子集 其次掌握一次函数 二次函数等基本初等函数的单调区间 常用方法有 根据定义 利用图象和单调函数的性质 还可以利用导数的性质 4 重要性质 注意函数y f x 与y kf x 的单调性与k k 0 的相关性 注意函数y f x 与y 的单调性间的关系 定义域关于原点对称的任何一个函数都可以表示成一个奇函数和一个偶函数和的形式 返回目录 返回目录 5 单调区间不能用并集表示 因为两个区间的并集 并不一定是一个单调区间 6 分段函数在连续区间上具有单调性时 要注意在区间端点处函数值的大小 2 1 函数的定义域关于原点对称是函数成为奇 偶 函数的必要条件 2 若函数f x 是奇函数 且在x 0处有定义 那么f 0 0 3 任何一个定义域关于原点对称的函数 都可以写成一个偶函数加一个奇函数的形式 例如y f x 的定义域关于原点对称 则g x 为偶函数 h x 为奇函数 且f x g x h x 4 利用